考慮巷道周邊有非均勻作用力的基爾希解修正

侯公羽 謝冰冰 李子祥 韓育琛

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京100083）

在巖體硐室工程穩(wěn)定性分析中，通常需要對硐室開挖后的圍巖應(yīng)力場和位移場進(jìn)行理論求解。基爾希解（Kirsch Solution）自1898年求解出來后，對地下工程有較好的指導(dǎo)作用。但基爾希解的不足之一是沒有考慮巷道周邊的支護(hù)力的作用，顯然，巷道周邊的非均勻支護(hù)力［1-2］對圍巖的應(yīng)力場和位移場必然會產(chǎn)生影響。

目前，已有不少學(xué)者對圓形巷道在對稱荷載作用下的彈塑性解進(jìn)行了多方面的研究工作，取得了有價(jià)值的研究成果。羅超文等［3］基于水壓致裂法對地應(yīng)力進(jìn)行了大量測量，并對圍巖應(yīng)力進(jìn)行了分析研究；劉寧等［4］監(jiān)測到了TBM掘進(jìn)過程中圍巖的應(yīng)力變化規(guī)律；孫闖等［5］將收斂—約束法應(yīng)用于高應(yīng)力軟巖巷道圍巖—支護(hù)相互作用分析中；侯公羽［6］根據(jù)開挖卸荷的概念和開挖面空間效應(yīng)原理，提出圍巖彈塑性變形二次釋放的概念解，研究圍巖—支護(hù)之間的相互作用；侯公羽、牛曉松［7］采用與卡氏方程求解相同的求解條件和求解假設(shè)，分別采用Levy—Mises本構(gòu)關(guān)系及Hoek—Brown屈服準(zhǔn)則，對軸對稱圓巷的理想彈塑性問題進(jìn)行了求解；Li、Wang等［8-9］引入與圍巖半徑相關(guān)的系數(shù)ε，利用復(fù)變函數(shù)方法給出帶內(nèi)壓支護(hù)圓形壓力隧洞應(yīng)力和位移彈性解；侯公羽等［10-11］對軸對稱圓巷在對稱的地應(yīng)力和支護(hù)力作用下的圍巖流變變形進(jìn)行了理論求解。但這些研究都局限于軸對稱荷載作用下這一理想條件對圓形巷道的作用結(jié)果，對實(shí)際工程中經(jīng)常遇到的非對稱荷載作用下的情況還不能很好地解決。

嚴(yán)克強(qiáng)［12］首次對非對稱荷載作用下圓洞圍巖塑性區(qū)進(jìn)行估算；侯公羽等［13］對兩向不等壓條件下軸對稱圓巷的彈塑性問題進(jìn)行攝動求解，給出彈性區(qū)域考慮二階微量的應(yīng)力分布和彈塑性交界線的攝動解析表達(dá)式；孫金山等［14］推導(dǎo)了非軸對稱荷載下圓形隧洞圍巖彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)和塑性殘余區(qū)的應(yīng)力場、應(yīng)變場、位移場和塑性區(qū)半徑的近似解析解。這些成果雖然考慮了兩向不等壓的條件，但并未對支護(hù)力的影響給予考慮。

總體而言，對于非均勻地應(yīng)力作用下的巷道/隧道圍巖的理論求解研究成果還非常少見。若要獲得突破性的求解進(jìn)展，首先必須搞清楚其彈性解，進(jìn)而才可能獲得其彈塑性求解。因?yàn)?，圍巖彈性應(yīng)力的求解同樣對圍巖塑性區(qū)的發(fā)展有著決定性的影響，圍巖塑性區(qū)半徑的求解也需要彈性解為其提供邊界條件。因此，深入地研究非均勻地應(yīng)力作用下的巷道/隧道圍巖的彈性解，具有重要的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

基爾希解為非均勻地應(yīng)力作用下的巷道/隧道圍巖的理論求解奠定了一定基礎(chǔ)，但還不夠完善。因此，有必要對基爾希解進(jìn)行必要的修正。

本研究采用基爾希解的求解思路，對巷道周邊存在的非均勻支護(hù)力的形式進(jìn)行了合理假設(shè)，并結(jié)合彈性力學(xué)中半逆解法［15］進(jìn)行了兩向不等壓條件下圓巷圍巖在有非均勻力作用時(shí)的彈性應(yīng)力及位移進(jìn)行了求解。通過算例的計(jì)算，對求解的方程和解析解進(jìn)行了分析，研究了兩向不等壓條件下圓巷圍巖的應(yīng)力及巷道周邊位移的變化規(guī)律。

1 軸對稱圓巷兩向不等壓地應(yīng)力及非均勻支護(hù)力作用下的基爾希解修正

1.1 假設(shè)條件

（1）圍巖為均質(zhì)的、各向同性的、線彈性的、無蠕變性或線粘彈性半無限體。

（2）原巖應(yīng)力豎直向?yàn)?p0，水平向?yàn)棣藀0，λ＞1（λ＜1的情況類似，從略）。

（3）巷道斷面為圓形，長度為無限長（平面應(yīng)變問題），深埋Z＞20R0（忽略影響圈內(nèi)自重），結(jié)構(gòu)對稱，荷載僅對稱于豎軸和橫軸。

（4）巷道周邊非均勻力如圖1所示，其函數(shù)形式為q=1+kcos2θ）（0＜k＜1），如圖1所示。詳細(xì)討論見1.3節(jié)。

1.2 圍巖—支護(hù)相互作用機(jī)制

對于地下洞室，如果不考慮開挖面空間效應(yīng)的影響，那么，圍巖的彈塑性變形在被開挖體破碎的瞬間即發(fā)生并完成了，因此，在圍巖的彈塑性變形發(fā)生和完成之前，支護(hù)結(jié)構(gòu)是無法及時(shí)架設(shè)的［16］。由于支護(hù)結(jié)構(gòu)（如噴射混凝土、錨桿、格柵支撐等）都是被動受力的，即其作用力是在與圍巖的相互作用即變形協(xié)調(diào)中產(chǎn)生的，因此，在這種情況下支護(hù)結(jié)構(gòu)是支護(hù)不到圍巖的彈塑性變形的［16］。

如果考慮了開挖面空間效應(yīng)的影響，那么，支護(hù)結(jié)構(gòu)是可以及時(shí)架設(shè)的，在這種情況下，支護(hù)結(jié)構(gòu)是可以支護(hù)到圍巖的彈塑性變形的［17］。支護(hù)與圍巖因產(chǎn)生變形協(xié)調(diào)關(guān)系而發(fā)生相互作用，即：圍巖對支護(hù)結(jié)構(gòu)施加擠壓作用，支護(hù)結(jié)構(gòu)對圍巖產(chǎn)生被動的反作用力（即支護(hù)反力）。侯公羽等［17］對這一問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，創(chuàng)造性地將巷道圍巖周邊的徑向位移、開挖面空間效應(yīng)產(chǎn)生的虛擬支護(hù)力和支護(hù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的支護(hù)反力之間建立了力學(xué)與數(shù)學(xué)關(guān)系，對圍巖—支護(hù)相互作用的全過程進(jìn)行了求解。

為什么要對基爾希解進(jìn)行修正？因?yàn)椋孩倩鶢栂＝鉀]有考慮巷道周邊有支護(hù)反力作用情況的求解；②使用文獻(xiàn)［17］的方法對圍巖—支護(hù)相互作用的全過程進(jìn)行解析時(shí)需要這個(gè)求解。因此，需要對基爾希解進(jìn)行修正，即求解出考慮巷道周邊有非均勻支護(hù)反力作用的基爾希解。關(guān)于非均勻支護(hù)力形式的討論詳見1.3節(jié)。

1.3 關(guān)于巷道周邊非均勻力的分布形式的討論

對于非均勻的徑向圍巖壓力，目前沒有明確的分布曲線，常用一些函數(shù)曲線近似表示荷載分布規(guī)律的不均勻性［18］。例如：采用倍角余弦曲線的非均勻徑向圍巖壓力分布形式，即

也有采用了單角正弦函數(shù)形式，即

吳慶良等［18］為了克服式（1）和式（2）在 θ=0°、90°處荷載為零的缺點(diǎn)，又提出

式中，q為作用在巷道外側(cè)非均勻壓力，q頂為圓形頂點(diǎn)處的壓力，β為荷載分布規(guī)律的不均勻性系數(shù)，θ為圓筒不同位置的角度，m為荷載非均勻程度系數(shù)。

侯鵬翔［19］提出不均勻荷載的分布，即

式中，α為與水平方向的夾角，β意義同式（1）。

以上是圍巖對支護(hù)結(jié)構(gòu)的荷載形式的研究，但由于非均勻的徑向圍巖壓力和支護(hù)力是一對作用力和反作用力，因此，綜合以上研究，本文提出巷道周邊非均勻的徑向圍巖壓力（即支護(hù)反力）的分布形式如公式（5）及圖1。

1.4 關(guān)于求解思路

如圖2在基爾希解（問題（i））的基礎(chǔ)上，本研究將求解的問題（ii）分解為模型Ⅰ和模型Ⅱ的疊加。

模型Ⅰ：兩向不等壓應(yīng)力作用，豎向 p0，橫向?yàn)棣藀0，巷道周圍無作用力，如圖3所示。

模型Ⅱ：在巷道周邊作用非均勻力，如圖4所示。其函數(shù)形式為q=q0（1+kcos2θ），（0＜k＜1）。

1.5 問題（?。┑那蠼猓丛鶢栂＝猓?0］）

其中，M=r2。

1.6 對于只在巷道周邊作用非均勻作用力時(shí)（ⅱ）的求解

巷道周邊處的非均勻作用力的函數(shù)形式（如圖1）為q=1+kcos2θ），（0＜k＜1），可 展 開 為q=（1+0.5k）q0+（0.5kcos2θ）q0。

按疊加法可將非均勻作用力q分解為

1.6.1 問題（Ⅰ）的解

第一組面力所對應(yīng)的問題是巷道內(nèi)邊界所受等壓支護(hù)力為(1+0.5k)q0，邊界條件為

由拉梅解求解思路得出各個(gè)應(yīng)力分量為

其 中 ，邊 界 條 件 (τrθ)r=R0=0 及 (τrθ)r=b=0 已 自 動 滿足。只需要代入其余2項(xiàng)即可，即將式（9）、式（10）分別代入式（13）得

再由 b＞＞R0，可令 R0/b→0，得各應(yīng)力分量A=q0(1+k/2)R20，C=0，將其代入式（13）、式（14）、式（15）得

1.6.2 問題（Ⅱ）的解

運(yùn)用彈性力學(xué)中半逆解法思路邊界條件為

可以看出，要滿足外邊界條件，則應(yīng)力函數(shù)φ中應(yīng)當(dāng)含有cos2θ因子，而從內(nèi)邊界到外邊界σr和τrθ都是變化的，即σr、τrθ與r有關(guān)，φ是r的函數(shù)。因此，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為φ=f（r）cos2θ，應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程?4φ=1.1。由此可得

化簡并整理得

上式的通解為

將式（20）代入應(yīng)力函數(shù)，得

將式（21）代入如下應(yīng)力分量

整理得

根據(jù)邊界條件求解積分常數(shù)，將式（21）～式（24）代入式（30）～式（32），并令 r→∞ 得 A=B=0，C=-q0k/4，D=q0k12。

將其再代入式（30）～式（32），得

將式（18）～式（20）與式（33）～式（35）分別對應(yīng)相加，即可得到巷道周邊處有非均勻作用力條件下的應(yīng)力解為

將基爾希解與此解進(jìn)行疊加即為最終修正解

其中，M=。

2 與基爾希修正解對應(yīng)的位移解

圍巖應(yīng)力值求出后再根據(jù)幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系求出位移解。其中，幾何關(guān)系如下

本構(gòu)方程如下

將式（39）、式（40）代入式（45）并注意到ur=dr，且r→∞時(shí)ur=0可得徑向位移

其中，Q=r，N=(1+v)(2E)。

同理將式（39）、式（40）代入（46）并注意到uθ=-ur)dθ，可得切向位移

3 算例與分析

為了便于進(jìn)行比較，本文算例基礎(chǔ)數(shù)據(jù)取用文獻(xiàn)［13］的數(shù)據(jù)，即：原巖應(yīng)力 p0=13.1 MPa，圍巖彈性模量E=6 GPa，泊松比v=0.3，側(cè)向不均勻系數(shù)λ分別取1.1、1.2、1.3、1.4，k暫取0.5。

（1）應(yīng)力分析。圖5條件為q0=0.5 MPa時(shí)，巷道周邊不同角度θ及不同λ值時(shí)，徑向應(yīng)力σr及環(huán)向應(yīng)力σθ的對比結(jié)果。從圖5可知，在圖5的條件下，角度θ和λ對環(huán)向應(yīng)力σθ的影響規(guī)律是：①在巷道的周邊處，角度從0°增大至90°，其環(huán)向應(yīng)力σθ大約從21～24 MPa增加到30～40 MPa；②從巷道周邊往里，隨著角度增大，不同λ值的曲線分布越來越發(fā)散。角度θ和λ值對徑向應(yīng)力σr的影響規(guī)律是：角度越小，圍巖深處的不同λ值的曲線分布越發(fā)散；反之，則曲線分布越聚集，說明此種情況下λ值的影響較小。

（2）位移分析。圖6為λ=1.2，r=R0時(shí)，不同q0條件下任一角度的徑向位移ur的對比結(jié)果。圖7為q0=0.5 MPa，r=R0時(shí)，不同λ值條件下任一角度的徑向位移ur的對比結(jié)果。

由圖6可知，非均勻力q0越大時(shí)，巷道周邊任意角度徑向位移越來越小，但總的來看，影響不大。由圖7可知，側(cè)壓力系數(shù)λ變化時(shí)，對巷道周邊不同角度的徑向位移的影響較大。例如：隨著λ的增大，水平方向即0°處的徑向位移也增大，但隨著角度增加至90°處及豎直方向的徑向位移卻會減小。由此可知，巷道周邊存在的非均勻力及兩向不等壓力對巷道周邊的徑向位移的影響機(jī)理不相同。

4 結(jié)論

（1）采用了與基爾希解相同的求解思路，進(jìn)行了以下工作：①將作用于巷道周邊處的非均勻力分解為對稱條件和非對稱條件的疊加，其中對稱條件下的應(yīng)力解采用彈性力學(xué)中拉梅解的求解方法，非對稱條件下的應(yīng)力解采用彈性力學(xué)中的半逆解法求解，將二者進(jìn)行疊加即求得非均勻力作用于巷道圍巖周邊的彈性應(yīng)力解的解析式；②將此解析式與原基爾希解再進(jìn)行疊加即可得到基爾希解的修正解；③利用巷道圍巖的幾何方程和本構(gòu)方程推導(dǎo)出了巷道周邊處的徑向位移和環(huán)向位移；④通過工程算例的計(jì)算，分別對比分析了λ和q0的變化對σr、σθ和巷道周邊徑向位移ur的影響。

（2）通過對算例的計(jì)算與分析可知，側(cè)壓力系數(shù)λ增大時(shí)，σr與σθ均增大，q0值增大時(shí)，σr增大、σθ減小。但是由于非均勻力q相比較原巖應(yīng)力小得多［21］，因此，它對圍巖彈性應(yīng)力的影響有限。

（3）本研究獲得的修正解具有重要的理論意義。與原基爾希解相比，將巷道周邊存在的非均勻支護(hù)反力考慮在內(nèi)，更加合理地描述了巷道圍巖的實(shí)際受力狀態(tài)，進(jìn)而能更加準(zhǔn)確地計(jì)算巷道圍巖的彈性應(yīng)力及位移場的分布情況。

（4）本研究提出的巷道周邊非均勻的徑向圍巖壓力（即支護(hù)反力）的分布形式并不是唯一的。按照本文的求解思路，讀者可以使用自己更易接受的分布形式，對基爾希解進(jìn)行修正求解。

（5）利用本研究的修正解和文獻(xiàn)［17］給出的解析思路，可以進(jìn)一步地探索非均勻地應(yīng)力作用下的巷道/隧道圍巖與支護(hù)的相互作用機(jī)制以及全過程的求解。

［1］ 楊 超，陸士良，姜耀東.支護(hù)阻力對不同巖性圍巖變形的控制作用［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2000（2）：170-173.Yang Chao，Lu Shiliang，Jiang Yaodong.Controlling effects of support resistance on roadway deformation under different rock conditions［J］.Journal of China University of Mining&Technology，2000，29（2）：170-173.

［2］ 柏建彪，侯朝炯.深部巷道圍巖控制原理與應(yīng)用研究［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，35（2）：145-148.Bai Jianbiao，Hou Chaojiong.Control principle of surrounding rocks in deep roadway and its application［J］.Journal of China University of Mining＆Technology，2006，35（2）：145-148.

［3］ 羅超文，李海波，劉亞群.深埋巷道地應(yīng)力測量及圍巖應(yīng)力分布特征研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，29（7）：1418-1423.Luo Chaowen，Li Haibo，Liu Yaqun.Study of distributing characteristics of stress in surrounding rock masses and in-situ stress measurement for deeply buried tunnels［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010，29（7）：1418-1423.

［4］ 劉 寧，張春生，陳祥榮，等.深埋隧洞開挖圍巖應(yīng)力演化過程監(jiān)測及特征研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011，30（9）：1729-1737.Liu Ning，Zhang Chunsheng，Chen Xiangrong，et al.Monitoring and characteristics study of stress evolution of surrounding rock during deep tunnel excavation［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2011，30（9）：1729-1737.

［5］ 孫 闖，張向東，李永靖.高應(yīng)力軟巖巷道圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)相互作用分析［J］.巖土力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（9）：2601-2608.Sun Chuang，Zhang Xiangdong，Li Yongjing.Analysis of interaction between surrounding rock and support structure in high stressed soft rock roadway［J］.Chinese Journal of Rock and Soil Mechanics，2013，34（9）：2601-2608.

［6］ 侯公羽.基于開挖面空間效應(yīng)的圍巖—支護(hù)相互作用機(jī)制［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011，30（S1）：2871-2877.Hou Gongyu.Interaction mechanism between surrounding rock and support based on spatial effect of excavation face［J］.Chi-nese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2011，30（S1）：2871-2877.

［7］ 侯公羽，牛曉松.基于Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系及Hoek-Brown屈服準(zhǔn)則的軸對稱圓巷理想彈塑性解［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，29（4）：765-777.Hou Gongyu，Niu Xiaosong.Perfect elastoplastic solution of axisymmetric circular openings in rock mass based on Levy-Mises constitutive relation and Hoek-Brown yield criterion［J］.Chinese Journal of'Rock Mechanics and Engineering，2010，29（4）：765-777.

［8］Li S C，Wang M B.An elastic stress-displacement solution for a lined tunnel at great depth［J］.International Journal of Rock Mechanics&Mining Sciences，2008，45（4）:486-494.

［9］Wang M B，Li S C.A complex variable solution for stress and displacement field around a lined circular tunnel at great depth［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2009，33（3）:939-951.

［10］侯公羽，李晶晶，裘 彬，等恒載作用下軸對稱圓巷圍巖的流變變形方程求解，巖土力學(xué)，2011，32（2）：341-346.Hou Gongyu，Li Jingjing，Qiu Bin，et al.Solving equation of rheological deformation in axisymmetric round well under dead load［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32（2）：341-346.

［11］侯公羽，李晶晶，楊 悅，等.支護(hù)反力變化條件下軸對稱圓巷圍巖蠕變變形計(jì)算方法［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014，33（S1）：3355-3360.Hou Gongyu，Li Jingjing，Yang Yue，et al.Calculation method for creep deformation of axisymmetric round well with changing support force［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2014，33（S1）：3355-3360.

［12］嚴(yán)克強(qiáng).不對稱荷載作用下圓洞圍巖塑性區(qū)的估算方法［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1980，2（2）：74-79.Yan Keqiang.Estimation method for plastic zone of circular tunnel under unsymmetrical load［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1980，2（2）：74-79.

［13］侯公羽，李晶晶，趙偉偉，等.兩向不等壓圓形巷道彈塑性攝動解［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014，33（S2）：3639-3647.Hou Gongyu，Li Jingjing，Zhao Weiwei，et al.Perturbation solutions for elasto-plastic problems of circular tunnel under unequal compression［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2014，33（S2）：3639-3647.

［14］孫金山，盧文波.非軸對稱荷載下圓形隧洞圍巖彈塑性分析解析解，巖土力學(xué)，2007，28（S）：327-332.Sun Jinshan，Lu Wenbo.Analytical elastoplastic solutions to supporting rock masses of circular tunnels under asymmetric load［J］.Rock and Soil Mechanics，2007，28（S）：327-332.

［15］徐芝綸，彈性力學(xué)［M］.高等教育出版社，2011：52-71.Xu Zhilun.Elastic Mechanics［M］.Higher education press，2011：52-71.

［16］侯公羽.圍巖—支護(hù)作用機(jī)制評述及其流變變形機(jī)制概念模型的建立與分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2008，27（S2）：3618-3629.Hou Gongyu.Review of interaction mechanism between surrounding rock and support and analysis of conceptual model of rheological deformation mechanism ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008，27（S2）：3618-3629.

［17］侯公羽，李晶晶.彈塑性變形條件下圍巖-支護(hù)相互作用全過程解析［J］.巖土力學(xué)，2012，33（4）：961-970.Hou Gongyu，Li Jingjing Analysis of complete process of interaction of surrounding rock and support under elastioplastic deformation condition［J］.Rock and Soil Mechanics，2012，33（4）：961-970.

［18］吳慶良，呂愛鐘.一類非均布荷載作用下厚壁圓筒平面問題的應(yīng)力解析解［J］.工程力學(xué)，2011，28（6）：6-18.Wu Qingliang，Lu Aizhong.Stress analytical solution for plane problem of a thick-walled cylinder subjected to a type of non-uniform distributed pressures［J］.Engineering Mechanics，2011，28（6）：6-18.

［19］侯彭翔.采礦設(shè)計(jì)手冊（3）井巷工程卷［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1989.Hou Pengxiang.Mining Design Manual（3）Shaft and Tunel Engineering Volume［M］.Beijing:China Construction Industry Press，1989.

［20］Kirsch G.Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre［J］.Z Ver Dtsch ing 1898，42:797-807.

［21］王同旭，麻洪蕊.巷道支護(hù)力作用及影響因素分析［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，28（4）：40-42.Wang Tongxu，Ma Hongrui.The effect of roadway supporting forces and analysis of its influence factors［J］.Journal of Shandong University of Science and Technology：Natural Science，2009，28（4）：40-42.