基于獨(dú)立分量分析下的跳頻網(wǎng)臺分選?

楊蕓丞 孫雪麗 朱念斌

（1.海軍航空大學(xué) 煙臺 264001）（2.61923部隊(duì) 北京 102446）

1 引言

現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭中，跳頻通信由于其截獲概率低、組網(wǎng)方式靈活、信道衰減緩慢等優(yōu)點(diǎn)，在軍事通信、指揮、控制和情報系統(tǒng)均得到了廣泛應(yīng)用［1］。然而對于信號監(jiān)聽一方而言，如何在不具備一切先驗(yàn)條件的情況下，從混合信號中將多個跳頻電臺的信號分選出來，仍然是跳頻通信偵察中具有挑戰(zhàn)性的問題［2］。

傳統(tǒng)的跳頻網(wǎng)臺分選方法多依據(jù)信號的特征參數(shù)進(jìn)行電臺分選。文獻(xiàn)［3］利用時域頻域綜合處理和高精度參數(shù)估計(jì)進(jìn)行分選；文獻(xiàn)［4～6］通過對跳頻信號的跳周期、跳時、來波方位、功率等參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)聚類分選；文獻(xiàn)［7］通過對跳頻信號特征參數(shù)的估計(jì)搭建了稀疏貝葉斯模型進(jìn)行網(wǎng)臺分選。但在戰(zhàn)場環(huán)境中，這些網(wǎng)臺特征往往不能做到實(shí)時準(zhǔn)確的獲取，也就導(dǎo)致了這些算法的局限性。

本文將快速獨(dú)立分量算法［8］應(yīng)用到跳頻網(wǎng)臺的分選中，在未知網(wǎng)臺特征參數(shù)的前提條件下，建立一個負(fù)熵最大化的目標(biāo)函數(shù)，通過定點(diǎn)迭代［9］的固定點(diǎn)算法，以負(fù)熵最大［10］作為一個搜尋方向，順序地提取了獨(dú)立源，完成了對混疊跳頻信號的分離，從而實(shí)現(xiàn)了對跳頻網(wǎng)臺的盲分選。與傳統(tǒng)算法相比，該算法無需先驗(yàn)了解跳頻信號的特征參數(shù)，算法簡單，實(shí)時性好。在較低的信噪比條件下，分選效果仍比較理想。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 跳頻信號模型

跳頻信號的數(shù)學(xué)模型可以定義為［11］

其中Tc為跳變周期，fk為第k次跳變頻率，φk為對應(yīng)的初始相位，A為跳頻信號的幅值，gTc(t)是高為1，寬為Tc的閘門函數(shù)。

根據(jù)上面的數(shù)學(xué)模型，令 A=1，φk=0，采樣頻率為1kHz，跳周期為40ms，觀測時間為320ms，假設(shè)k取8，也就是共有8個跳頻頻率。令跳頻頻率集歸一 化 ，fk=[0.10，0.45，0.30，0.05，0.20，0.40，0.25，0.15]，單位為 kHz，在時域得到 320個樣本值。仿真得到該跳頻信號的時域信號如下：

2.2 獨(dú)立分量分析模型

獨(dú)立分量分析模型包括含噪線性模型和無噪線性模型［12］，本文主要使用含噪聲線性模型。觀測信號為含噪聲的源信號的瞬時線性組合，則待處理的觀測信號可表示為

其中s(t)為n維統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立的源信號矢量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sn(t)]T，x(t)為m（n≤m）維的觀測信號矢量，x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xm(t)]T，n(t)為m維的噪聲矢量，A為m×n維隨機(jī)矩陣。為了保證ICA是可解的，需對該模型有下列的限制：

1）源信號要具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性。這項(xiàng)假設(shè)是ICA可以應(yīng)用于各個不同領(lǐng)域的原因。用 p(s)表示源信號矢量s(t)的聯(lián)合概率密度，用p1(s1)，p2(s2)，p3(s3)，…pn(sn)表示各個源信號的邊緣概率密度，則源信號的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性可以概括為

2）所觀測矢量是非高斯分布的。若觀測矢量為高斯分布，其高階統(tǒng)計(jì)量為零，就無法估計(jì)ICA模型。

3）源信號數(shù)目要少于或等于觀測信號數(shù)目。當(dāng)源信號數(shù)目少于觀測信號數(shù)目時，可先利用主分量分析（PCA）降低數(shù)據(jù)維數(shù)，再進(jìn)行獨(dú)立分量分析。

在滿足上述三個條件的情況下，ICA的目的就是尋找一個解混矩陣W ，使得

式（5）中，y(t)是s(t)的估計(jì)矢量，當(dāng)解混矩陣W 是A的逆矩陣時，即WA=I，在未加噪聲的前提下，由觀測信號x(t)恢復(fù)成統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號s(t)。

ICA模型的求解，本質(zhì)上是一類最優(yōu)化求解問題，關(guān)鍵在于建立目標(biāo)函數(shù)和找到合適的尋優(yōu)算法。首先，基于信息論或者統(tǒng)計(jì)理論，以各獨(dú)立分量的非高斯性程度作為優(yōu)化判據(jù)，以解混矩陣W為自變量建立一個目標(biāo)函數(shù)，找到該目標(biāo)函數(shù)的極大或者極小值，即為最接近真實(shí)解的最優(yōu)解W ；其次，尋找某種有效的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化算法以求解W ，常見的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化算法包括：基于特征矩陣的聯(lián)合近似對角化法（JADE法）梯度法、成對數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)法、基于負(fù)熵的固定點(diǎn)算法等。本文采用基于負(fù)熵最大化的固定點(diǎn)算法對跳頻信號網(wǎng)臺進(jìn)行盲分選。

3 算法原理

算法思想：首先對跳頻信號的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后基于負(fù)熵最大的優(yōu)化判據(jù)建立目標(biāo)函數(shù)，最后采用固定點(diǎn)算法迭代尋優(yōu)，求解混矩陣W ，從而實(shí)現(xiàn)跳頻網(wǎng)臺的盲分選。下面詳細(xì)說明算法原理。

3.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

在對觀測信號進(jìn)行盲源分解［13］前，通常都需要進(jìn)行一些預(yù)處理，包括中心化和白化兩部分內(nèi)容。在本文中，假設(shè)各個觀察源是均值為零的隨機(jī)變量，為了能符合這一數(shù)學(xué)模型，必須預(yù)先去除信號的均值。設(shè)x為均值不為零的隨機(jī)向量，只需用x0=x-E(x)代替 x即可，對中心化的信號經(jīng)過ICA分析得到解混矩陣W后，最后再在源信號的估計(jì)值上加上均值。另一方面，為了去除各觀測信號之間的相關(guān)性，簡化后續(xù)分量的提取過程，對去均值后的觀測信號進(jìn)行白化處理。對觀測信號x(t)，我們應(yīng)該尋找一個線性變換，使x(t)投影到新的子空間后變成白化向量z(t)，即：

其中，W0為白化矩陣，z為白化向量。利用PCA分析，我們通過計(jì)算樣本向量可以得到：

其中U和Λ分別代表協(xié)方差矩陣Cx的特征向量矩陣和特征值矩陣。可以證明，線性變換W0滿足白化變換的要求，使E[zzT]=I。白化使原來所求的解混合矩陣A退化成一個正交陣，這種預(yù)處理方法使自由度從N2降為N×( )N-1/2，且算法收斂性更好。

3.2 負(fù)熵最大的優(yōu)化判據(jù)（目標(biāo)函數(shù)）

設(shè)隨機(jī)變量 y的概率密度為 p(y)，則其微分熵：

由微分熵引出負(fù)熵：

根據(jù)信息理論，在具有相同方差的隨機(jī)變量中，高斯分布的隨機(jī)變量具有最大的微分熵。y的非高斯性越強(qiáng)，其微分熵越小，J()y值越大，所以J()

y可以檢驗(yàn)隨機(jī)變量y的非高斯性，進(jìn)而衡量各獨(dú)立分量的分離程度。采用負(fù)熵需要知道y的概率密度分布函數(shù)，這很困難，因此我們采用一個經(jīng)典的近似公式：

其中，E[·]為均值運(yùn)算；G(·)為非線性函數(shù)，可取，G2(y)=-exp(- y2/2 )或等非線性函數(shù)，a通常取1。

3.3 固定點(diǎn)算法

為找到一個獨(dú)立分量或者投影追蹤的方向，在WTx的方差約束為1的條件下，令WTx具有最大的非高斯性，負(fù)熵最大化目標(biāo)函數(shù)如下：

根據(jù)Kuhn-Tucker條件，E{g (WTx ) }的最優(yōu)值能在滿足下式的點(diǎn)上獲得：

則稱算法A滿足ε-差分隱私.其中，Pr[.]表示隱私被披露的概率，它是由算法A的隨機(jī)性所控制(與攻擊者的背景知識無關(guān))；ε是隱私保護(hù)參數(shù)，表示隱私保護(hù)的力度，ε越小意味著隱私保護(hù)力度越強(qiáng).定義3本質(zhì)上刻畫了基于隨機(jī)算法A輸出的兩個相鄰矩陣的不可分程度.

其中，β 是一個恒定值，g(·)是G(·)的導(dǎo)數(shù)，β=E{xg(W0Tx ) }，W0是優(yōu)化后的W 值。利用牛頓迭代法解方程。用F表示式上式左邊的函數(shù)，可得F的雅可比矩陣JF(W )如下：

由于數(shù)據(jù)被白化，E{x xTg'(WTx ) }≈E{x xT}·E{g'(WTx)}=E{g'(WTx)}I。因而雅可比矩陣變成了對角陣，得到下面的近似牛頓迭代公式：

其中，W*是W 的新值，β=E{WTg(WTx ) }，歸一化能提高解的穩(wěn)定性。簡化后得到FastICA算法的迭代公式：

4 算法流程

按照上文FastICA算法原理，對觀測到的混疊跳頻信號進(jìn)行盲分選，具體的算法流程如下：

步驟1：對觀測信號x進(jìn)行中心化，使它的均值為0；再對中心化的數(shù)據(jù)白化處理得到z(t)。

步驟2：隨機(jī)選擇一個具有單位范數(shù)的初始權(quán)矢量Wp。

步驟3：設(shè)迭代次數(shù) p初始值為1，設(shè)需要估計(jì)的分量個數(shù)為n。

步驟4：令Wp=E{z g (z) } -E{g ' (WpTz)} Wp，取g(y)=G'(y)=tanh(ay)。

步驟5：對Wp正交化

步驟6：對Wp歸一化：令Wp=Wp/‖‖Wp。

步驟7：若Wp收斂，加上均值得到源信號；Wp不收斂，返回步驟四。

步驟8：令 p=p+1，如果 p≤n，返回步驟3，進(jìn)行下一個獨(dú)立分量的估計(jì)。

通過上述實(shí)現(xiàn)步驟，可以根據(jù)觀測信號估計(jì)出源信號。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 無噪聲條件下網(wǎng)臺分選實(shí)驗(yàn)

針對上述算法，對混疊跳頻信號進(jìn)行網(wǎng)臺分選實(shí)驗(yàn)。依據(jù)前文數(shù)學(xué)模型，信號源由三組不同頻率集的同步正交跳頻網(wǎng)臺產(chǎn)生。三組跳頻信號跳頻速率同為250hop/s，采樣率同為1kHz，抽取前320個點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)樣本。

三組歸一化跳頻頻率集分別為

隨機(jī)混合矩陣為

仿真后，得到圖2所示的源信號圖，圖3所示的觀測信號圖。通過固定點(diǎn)算法對圖三中的觀測信號進(jìn)行處理，得到解混矩陣：

在未加噪聲的前提下，分離信號如圖4。由圖4可知，未加噪聲時，ICA對跳頻信號分選效果非常好。美中不足的是，分離信號的次序較源信號發(fā)生了變化；分離信號的幅度和相位也發(fā)生了變化。但這并不影響跳頻信號主要參數(shù)的獲取。三個跳頻網(wǎng)臺中源信號與分離信號的的相關(guān)系數(shù)分別為0.9966，0.9970，0.9968。結(jié)合四階累積量和所取的初始跳頻源信號，可以得出結(jié)論：ICA進(jìn)行跳頻網(wǎng)臺分選，初始跳頻源信號的非高斯性越強(qiáng)，分離效果越好；反之，分離效果越差。

5.2 帶噪聲條件下網(wǎng)臺分選實(shí)驗(yàn)

實(shí)際戰(zhàn)場上，電磁環(huán)境十分復(fù)雜，故必須要考慮噪聲干擾。原條件不變，對原仿真加以高斯白噪聲影響，做出仿真分析，仿真結(jié)果如圖5所示。在不同信噪比下，用FastICA算法和非線性PCA算法蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)500次后，源信號與分離信號相關(guān)系數(shù)的性能分析（取三組信號相關(guān)系數(shù)中的最小值）如圖6所示。

通過仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，對源信號的分離效果來看，F(xiàn)astICA算法明顯優(yōu)于非線性PCA算法。當(dāng)觀測信號的信噪比低于-3dB時，F(xiàn)astICA算法分選效果顯著下降，當(dāng)信噪比高于-3dB時，F(xiàn)astICA算法可以較好地分選出不同跳頻電臺的跳頻信號。

其次是FastICA算法與非線性PCA算法運(yùn)算量的比較，設(shè)定實(shí)驗(yàn)次數(shù)分別為：50、100、500，將分別記錄傳FastICA算法與非線性PCA算法完成分選所需要的時間，記錄的時間如表1所示。

從表1中可以看出，非線性PCA算法完成網(wǎng)臺分選所需要的時間要多于FastICA算法所需要的時間，特別是當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加后，傳統(tǒng)算法與新算法所耗費(fèi)的時間差距更加明顯。

表1 -3dB時兩算法分選時間對照

綜合以上兩個方面，可以得出結(jié)論：在跳頻混疊信號分選中，F(xiàn)astICA算法分選效果明顯優(yōu)于非線性PCA算法。

6 結(jié)語

本文通過建立數(shù)學(xué)模型仿真出跳頻信號，詳細(xì)推導(dǎo)和闡述了基于負(fù)熵最大的優(yōu)化判據(jù)和固定點(diǎn)算法，仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性，在較低的信噪比條件下，在-3dB的信噪比條件下，分離速度較非線性PCA算法提升45%左右，分選準(zhǔn)確度達(dá)到95%以上。在以后的工作中，一方面，將對ICA算法的目標(biāo)函數(shù)和尋優(yōu)算法做出改進(jìn)，提高分選結(jié)果的準(zhǔn)確度和收斂性；另一方面，將結(jié)合ICA降維的方法，對欠定條件下的跳頻網(wǎng)臺進(jìn)行盲分選。

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