高中數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積概念探討

馮澤雨

平面向量數(shù)量積系統(tǒng)概念主要包括定義、幾何意義和坐標(biāo)運算等多個層面。通過概念的應(yīng)用可以理解為數(shù)量積是一個知識系統(tǒng)，學(xué)生在分析概念的基礎(chǔ)上最終的形成結(jié)果必然是要掌握本質(zhì)知識，靈活運用各種概念解決存在問題。因此作為高中數(shù)學(xué)教師，需要注重概念的分析教學(xué)，并且通過概念分析讓學(xué)生提高認識，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)科文化素養(yǎng)，符合當(dāng)前高考改革要求，同時促進數(shù)學(xué)學(xué)科的完善。本文對高中數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積概念進行分析。

平面高中數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積模塊知識的學(xué)習(xí)見于必修四教材中，而在此之前物理學(xué)科教學(xué)中已經(jīng)接觸了平面向量的概念，有關(guān)數(shù)學(xué)平面向量的學(xué)習(xí)更為理論化、系統(tǒng)化，因此掌握平面向量數(shù)量積概念以解決實際數(shù)學(xué)問題成為教學(xué)重點，這就需要數(shù)學(xué)教師提出有效應(yīng)用策略，從本質(zhì)上來剖析平面向量數(shù)量積概念中的三種形式和相互之間的關(guān)系。

1 加大運算深入認識向量本質(zhì)

數(shù)量積是向量的一種運算，而運算的法則就蘊含在平面向量數(shù)量積中，涉及到數(shù)量積的定義、幾何含義、坐標(biāo)運算等形式，想要從本質(zhì)上解決平面向量數(shù)量積問題，就要對概念中包含的各種指示加以深化。向量屬于大小和方向同時俱存的量，是矢量，這一特征的掌控是概念理解的基礎(chǔ)。高中教材中給出的平面向量數(shù)量積定義為：兩個向量 ，夾角為 ，那么 叫作 和 的數(shù)量積。表面定義看起來比較簡單，但是想要學(xué)生充分理解這一概念，并且做到靈活運用具有一定的難度，這需要教師在實際解決問題時重視向量運算的講解，以便引導(dǎo)學(xué)生正確把握向量計算中的規(guī)律，夯實向量基礎(chǔ)功底，以便為解決更為復(fù)雜的向量數(shù)量積問題打下堅實的基礎(chǔ)。因此教師可以從以下例題為切入點，為學(xué)生展示出向量知識的活用。

2 應(yīng)用圖形掌握向量規(guī)律

高中數(shù)學(xué)分析平面向量數(shù)量積概念時，不能僅僅局限于單純講解向量定義和客觀規(guī)律有關(guān)的知識點，還應(yīng)該學(xué)會利用圖形，有時能發(fā)揮意想不到的效果，讓學(xué)生更加全面系統(tǒng)理解向量知識在實踐中的應(yīng)用。

平面向量和三角函數(shù)相結(jié)合的題目是高考中的難點和重點內(nèi)容，想要順利解決此類題目，學(xué)生就必須熟練各種向量的運算技巧，而且還要對三角函數(shù)的多種形式轉(zhuǎn)換完全掌握。根據(jù)題目數(shù)形結(jié)合思想，列出以下演算過程： = cos∠CAD= ·cos∠CAD= sin∠CAB= = 。這種根據(jù)圖形來做出向量夾角cos 可以聯(lián)系三角函數(shù)中角的轉(zhuǎn)化，需要學(xué)生耐心、細心和用心，首先觀察圖形更加明確向量的方向指示。

3 結(jié)合坐標(biāo)實現(xiàn)坐標(biāo)表示向量應(yīng)用

利用坐標(biāo)來解決問題是參考的圖形的幾何性質(zhì)決定的，建立坐標(biāo)系能夠準(zhǔn)確使用坐標(biāo)表示向量。根本難點在于坐標(biāo)系的建立需要準(zhǔn)確，箭頭方向要具體。從此進入到平面向量數(shù)量積概念的學(xué)習(xí)中，兩個數(shù)值之間相乘必然會得到數(shù)值，然而多數(shù)學(xué)生在平面向量數(shù)量積的概念中容易和平面向量相混合，存在誤區(qū)的學(xué)生會將數(shù)量積概念認為是兩個向量的相乘也應(yīng)該是向量，而不會在公式中表現(xiàn)出來大小和方向，由于兩個向量的模和兩個向量之間的夾角的余弦值相乘，最后得到的是數(shù)，因此這種情況才是數(shù)量積而并非向量。少數(shù)學(xué)生對于數(shù)量積和向量兩者之間的混合歸根結(jié)底是對數(shù)量積認識不到位，概念理解不夠徹底，從而缺乏應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，對此首先要讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上多加訓(xùn)練題目，這是對數(shù)學(xué)中基本概念和定義掌握，需要注意的是平面向量數(shù)量積是數(shù)不是向量，根據(jù)字面理解最后的乘積必然是數(shù)而并非其它形式。

4 結(jié)合題目提高復(fù)習(xí)效果

復(fù)習(xí)課的目的在于“溫故而知新”，從舊知識的學(xué)習(xí)過程中能夠發(fā)現(xiàn)新內(nèi)容。在高考環(huán)境下，高三復(fù)習(xí)課越來越受到人們的重視，從中發(fā)現(xiàn)自身存在的薄弱環(huán)節(jié)，是對知識進行再次加工的重要手段。教育心理學(xué)認為，開始思維過程的過程是以問題為基礎(chǔ)展開的，從本質(zhì)上來講，學(xué)習(xí)是提出問題，解決問題的過程，每當(dāng)學(xué)習(xí)中遇到新模塊和新知識時，如果已有的經(jīng)驗理論不足以轉(zhuǎn)化為新情境，那么在解決問題的過程中獲取到的知識與技能都會形成新的科學(xué)解決方法，逐漸形成正確的觀點態(tài)度。其次變中出彩還是以原始問題為核心，向著蘊涵的各方面進行拓展和深化，揭示出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，培養(yǎng)出學(xué)生知識情境轉(zhuǎn)化意識和辨別能力意識。

我們對這個難點題目進行變式，訓(xùn)練在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120度， ，那么 =？數(shù)形結(jié)合的解題思路正是當(dāng)前向量解題方法中最為重要且有效的一種，借助平面集合知識可以快速找到變量和定量。我們設(shè)置為變題2：已知向量 和b的夾角為120度， =1， =3，那么求出 ？首先從變題2中繼續(xù)思考以下問題。變題3：已知 向量 和 的夾角為60度，如果向量k + ， -2 的夾角為鈍角，那么求出實數(shù)k的取值范圍。有人提出：從題意中明顯可以得出（k + ）·（ 和-2 ）<0，化簡得出k>-7。由于上述沒有考慮到這兩個向量之間是否反向問題，因此要補充條件k - 。事實上從向量數(shù)量積公式中我們知道，無論向量a，b的夾角是銳角或者鈍角，我們都要考慮到兩個向量的共線問題。任何關(guān)于向量數(shù)量積的題目，都要從其本源入手，只有遵循探究本源，變中出彩這一原則，才會掌握更多的解題技巧，圍繞著平面向量數(shù)量積公式來從不同角度創(chuàng)造了使用公式的條件。

綜上所述，平面向量的數(shù)量積作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，同時也是高考必不可少的模塊。平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，而教學(xué)的重點和難點都集中在如何深化學(xué)生對平面向量數(shù)量積概念的掌握，以便提高學(xué)生對向量知識的靈活運用能力。數(shù)學(xué)概念的理解是建立在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的基礎(chǔ)上，因此高中數(shù)學(xué)教師必須重視對平面向量數(shù)量積概念的教學(xué)。本文分析了平面向量數(shù)量積的概念，以此提出在解決實際問題中的應(yīng)用，希望具有一定的借鑒意義和參考價值。

（作者單位：衡水二中）