在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐與研究

王澤瀅

小學(xué)生思維的心理特征是以具體形象思維為主要形式，逐步向抽象思維過渡。他們對數(shù)學(xué)概念的形成與建構(gòu)往往是基于大量的直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，沒有足夠的直觀經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，概念的建立是不完整的。所以在學(xué)生形成概念的過程中，教師必須給學(xué)生充分的積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會，在活動中展現(xiàn)概念的形成過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成過程的形象性和生動性，充分展現(xiàn)概念發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“個性化”的定義過程。

通過實(shí)踐研究，我發(fā)現(xiàn)在課前、課中、課后三個階段都可以設(shè)計適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，以此來幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

一、在課前激活數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

（一）充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)

（1）可以直接拿來促進(jìn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的生活經(jīng)驗(yàn)。這類直接源于生活經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動，必須有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，不能停留在原來的生活經(jīng)驗(yàn)上。

例如像體積這樣的非常原始的概念，小學(xué)里就主要是訴諸直覺。學(xué)生完全能夠理解體積的定義，我們的任務(wù)是幫助學(xué)生理解體積的特征。我們在教學(xué)活動中要做的，就是充分激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對接，讓學(xué)生在面積、體積的比較辨析中，在物體大小的比較中真正理解體積的內(nèi)涵，把握概念的本質(zhì)。

在比較具體實(shí)物的體積大小的過程中，學(xué)生已有活動經(jīng)驗(yàn)被不斷地提取出來。比如當(dāng)學(xué)生看到長寬高都不一樣的字典和報紙的時候，出現(xiàn)了兩種不同的意見：有的認(rèn)為字典厚就是體積大，有的認(rèn)為報紙正面大就是體積大，一下子無法準(zhǔn)確比較出誰大誰??？在我的追問下，學(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)把報紙折疊起來，試圖使兩者的某一個面大小基本相等，然后通過比較厚度來比較出整個物體的大小。當(dāng)學(xué)生無法比較出兩個長方體的大小的時候，我出示棱長為1厘米的小正方體作為標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生通過數(shù)一數(shù)的方式來比較兩個長方體的體積大小，也為體積單位的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。而比較桔子和香梨的體積，自然是激活了學(xué)生“烏鴉喝水”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或者是生活中往水中放物體引起水面上升的經(jīng)驗(yàn)。

通過這樣一系列的數(shù)學(xué)活動，能提升學(xué)生的“比較”經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步豐富了學(xué)生對體積概念的感知與理解。

（2）模擬生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。這些情境，依時間地點(diǎn)的不同，教師的關(guān)注程度，組織起適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，最后以數(shù)學(xué)建模的方式，獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。由于實(shí)際情境非常復(fù)雜，課堂上使用的情境，是經(jīng)過提煉、簡化、篩選的，離開實(shí)際狀況有一定的距離，但仍然是密切結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。

例如，在學(xué)習(xí)“垂直”、“平行”時，我就會創(chuàng)設(shè)看地圖的情境，當(dāng)然這些地圖都是簡化后的，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂直和平行關(guān)系的。再如，在學(xué)習(xí)“小數(shù)”時，則可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境，用一條只標(biāo)有“米”刻度的紙帶量一量教室黑板的底邊是多少米。學(xué)生通過動手測量，發(fā)現(xiàn)黑板比1米長，比2米短，無法測出精確的數(shù)值。于是通過思考和討論，嘗試著把1米平均分成10份，每1份長1分米，就是0.1米。為了讓數(shù)值更加精確，可以繼續(xù)把0.1米平均分成10份，每1份長1厘米，也就是0.01米。這樣，測量出來的黑板底邊長度就是1.33米。

這類活動的特征是模擬，我們生活中一般不會有如此簡化的地圖，在測量時也不會真的有刻度為“米”的尺。設(shè)計這樣的情境只是為了幫助學(xué)生利用一定的生活經(jīng)驗(yàn)來體驗(yàn)新概念的形成過程。

（3）可能對學(xué)生的概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響的生活經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生通過外顯的行為操作，對學(xué)習(xí)材料的第一手直觀感受、體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)一般是直接經(jīng)驗(yàn)，這類操作的直接價值并不是問題的解決，而是對學(xué)習(xí)材料的感性認(rèn)識。

當(dāng)然，要使這類經(jīng)驗(yàn)?zāi)芎侠淼胤e淀，有時還需要經(jīng)歷一個判斷、篩選、確認(rèn)的環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生首次操作感知的結(jié)果并不一定是正確的，而錯誤的經(jīng)驗(yàn)將會對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)帶來負(fù)面的影響。舉個例子來說，在教學(xué)“認(rèn)識角”時，我讓學(xué)生去摸一摸具體實(shí)物上的角，然后讓學(xué)生說一說有什么感覺。有的學(xué)生往往會回答：“角的頂點(diǎn)是尖尖的，摸上去有刺痛的感覺。”這個回答體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)及初始經(jīng)驗(yàn)處于“生活數(shù)學(xué)”范疇，不足以反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。如果教師不及時加以糾正和引導(dǎo)，那么在接下去的練習(xí)中就有可能會出現(xiàn)類似鐘面上指針的針尖也是角，墻角也是角的錯誤認(rèn)識。因此，數(shù)學(xué)活動所期望學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)與某些生活經(jīng)驗(yàn)加以區(qū)別。

（二）設(shè)計課前預(yù)習(xí)單，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)對接生活的過程，把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

例如在學(xué)習(xí)“折線統(tǒng)計圖”時，折線統(tǒng)計圖適用于表示隨著時間或次序逐漸變化的統(tǒng)計量，這對學(xué)生來說是一個全新的概念。能讓學(xué)生深刻地體會到這一點(diǎn)是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，怎樣才能突破這一難點(diǎn)呢？我仔細(xì)分析了教材，教材中是直接出示“上海市月平均氣溫變化情況”的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)據(jù)統(tǒng)計的過程，也就沒辦法體驗(yàn)到這些數(shù)據(jù)是隨著時間的推移一點(diǎn)點(diǎn)得到的。所以我設(shè)計了一個課前活動，讓學(xué)生自己統(tǒng)計教室溫度的變化情況，每隔一小時記錄一次溫度。通過這個活動，學(xué)生自然而然地就能體會到這些溫度是隨著時間推移一點(diǎn)點(diǎn)得到的，難點(diǎn)很順利地突破了。

二、在課中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

（一）概念引入時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

（1）以豐富的感性材料為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多樣化的體驗(yàn)過程。概念是反映思考對象空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經(jīng)驗(yàn)的抽象概括。

例如，在體積的后續(xù)學(xué)習(xí)中，有一些題目的題意對學(xué)生來說較難理解，比如“鐵塊熔鑄、沙坑鋪路、不同容器倒水”等等，由于教師沒有讓學(xué)生親歷過這樣的實(shí)驗(yàn)操作，缺乏相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致很多學(xué)生無所適從。其實(shí)這涉及到了體積的守恒性：物體的體積不會因物體的位置、形狀的改變而變化。在概念學(xué)習(xí)的起始課，讓學(xué)生通過操作、觀察，見證這樣的事實(shí)是很有必要的，可以讓學(xué)生建立等積變形的表象，感悟體積守恒性，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

（2）珍惜錯誤資源，以“問題”的形式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主的體驗(yàn)過程。沒有比較就沒有鑒別，一個數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中初步形成之后，如果缺少相應(yīng)的“變式”的理解，將會是模糊的、不全面的。

例如，在學(xué)習(xí)三角形的概念時，我首先讓學(xué)生準(zhǔn)備好各種平面圖形卡片，引導(dǎo)學(xué)生思考：將所有這些圖形分成幾類，你會怎么分？為什么？學(xué)生能夠容易地得到：可以將三角形單獨(dú)分為一類，因?yàn)樗鼈兌际怯腥龡l線段的圖形。其次，針對“三條線段”的圖形，我們可以出示反例：這兩個圖形也是由三條線段組成的，它們是三角形嗎？為什么？學(xué)生意識到，三角形不僅僅是由三條線段組成，而且是由三條線段圍成的。再次，針對“三條線段圍成”，我們進(jìn)一步出示反例：像這樣，由三條線段圍成的圖形是三角形嗎？很顯然，這時的三條線段沒有首尾相連，因而組成的圖形不是三角形。最后，為了強(qiáng)調(diào)“首尾相連”，我們可以繼續(xù)出示反例：像這樣，你認(rèn)為它們是不是符合首尾相連的要求，是三角形嗎？這時，學(xué)生會認(rèn)識到，三條線段沒有全部首尾相連，還有一個缺口，沒有封閉。通過反例，激起學(xué)生認(rèn)知沖突，促使學(xué)生在層層遞進(jìn)的矛盾解決中建立起數(shù)學(xué)概念，豐富對數(shù)學(xué)概念的理解，形成對數(shù)學(xué)概念全面、深刻的理解。

（二）概念形成時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

（1）充分利用學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作與思考的過程，幫助學(xué)生積累操作性經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)的過程，而且小學(xué)生的思維處在具體運(yùn)算階段，其對于概念的理解是建立在直觀形象的基礎(chǔ)之上的，所以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師必須給學(xué)生充分動手操作的機(jī)會，在動手操作中展現(xiàn)概念的形成過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成過程中形象而生動的性質(zhì)，充分展現(xiàn)概念發(fā)生、發(fā)展、形成的過程；讓學(xué)生充分經(jīng)歷“個性化”的定義過程，以便使學(xué)生對概念的自主建構(gòu)和真正理解成為可能。

例如，在二年級《平均分》這一課中，我試圖讓學(xué)生在具體的操作活動中，體會平均分的操作方法，通過操作與交流進(jìn)一步體驗(yàn)什么叫平均分。通過個性化學(xué)習(xí)成果的共享，體會到平均分可以有不同的分的過程，其背后也是因?yàn)橛胁煌乃伎挤椒?，并在“不同”中體會“相同”之處，從而更好地理解平均分的含義，同時發(fā)展學(xué)生解決問題策略的多樣化。培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與人交流的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。

學(xué)生“分草莓的過程”不僅豐富了感覺、知覺的經(jīng)驗(yàn)，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源。動手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運(yùn)動”，更是豐富、生動的思維活動，并在這一過程中實(shí)現(xiàn)操作經(jīng)驗(yàn)與思考經(jīng)驗(yàn)、策略性經(jīng)驗(yàn)的有機(jī)融合，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

（2）充分把握教材，設(shè)計探究性教學(xué)活動，幫助學(xué)生積累探究性經(jīng)驗(yàn)。積累探究經(jīng)驗(yàn)不是通過簡單的活動和思考就可以完成，它更強(qiáng)調(diào)的是一種真實(shí)的情境，對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和體驗(yàn)。

例如，在《長度比較》一課中，我設(shè)計了一個學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)單上的活動，自己探究比較的方法。其中一共有4個學(xué)習(xí)活動，活動1是讓學(xué)生比較2根長短很明顯的小棒，他們基本上只需看一眼就能判斷出長短?；顒?是比較2根長短不明顯的吸管，這時一眼無法判斷，就需要把2根吸管的一端對齊后再比長度?；顒?是比較2根長短不明顯的絲帶，這時不但要一端對齊，還要拉直后才能比出長短。這3個活動學(xué)生都能完成，我只是幫他們整理歸納出3個比較的方法。然后我們再完成活動4，學(xué)生可以靈活運(yùn)用各種長度比較的方法，從中體會多角度思考的樂趣，同時也能從直接比較向間接比較過渡。

（3）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程，幫助學(xué)生積累抽象概括的思考性經(jīng)驗(yàn)。抽象概括是形成概念、得出規(guī)律的關(guān)鍵手段，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法。例如，在教學(xué)“加法交換律”時，我先通過一系列教學(xué)環(huán)節(jié)得到了如下算式：45+32=32+45，12+40=40+12，0+67=67+0……之后，我引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些算式中共同的規(guī)律：把相加的兩個數(shù)交換之后，它們的結(jié)果相等。接著我追問：交換了什么？在加法中的結(jié)果可以說成什么？學(xué)生回答：交換加數(shù)的位置，它們的和不變。我接著問：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。具有這樣規(guī)律的等式你們還能寫嗎？能寫出多少個？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)，能寫出無數(shù)個。于是我就問學(xué)生有沒有更好的辦法來解決，學(xué)生通過思考后，有的就能自己想到：我們之前學(xué)過用字母表示數(shù)，這里就可以用一個字母來表示一個數(shù)。也就是a+b=b+a表示。a表示加數(shù)，b也表示加數(shù)，位置交換之后結(jié)果還是相等。

在上述教學(xué)案例中，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生成是在思維層面進(jìn)行的，沒有依附于具體的情境，僅在頭腦中進(jìn)行合情推理，并且整個過程更趨于有序。從獲得的經(jīng)驗(yàn)類型來看，這類活動中獲得的經(jīng)驗(yàn)相對前兩種更側(cè)重策略和方法，也更為理性。從這點(diǎn)上可以看出，思考性經(jīng)驗(yàn)的獲取是派生出思維模式和思維方法的重要渠道，這些成分對學(xué)生開展創(chuàng)新性活動具有十分重要的奠基作用。就一個人的理性而言，思維過程也能積淀出一種經(jīng)驗(yàn)，這種經(jīng)驗(yàn)就屬于思考性經(jīng)驗(yàn)。一個數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)相對豐富并且善于反思的學(xué)生， 他的數(shù)學(xué)直覺必然會隨著經(jīng)驗(yàn)的積累而增強(qiáng)。

（三）概念鞏固時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

（1）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對概念反思辨析的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。例如，五年級《平均數(shù)》這一課中“平均數(shù)”的概念就比較有難度，因?yàn)槠骄鶖?shù)是一個統(tǒng)計意義上的數(shù)，并不是一個看得見摸得著的數(shù)。對于學(xué)生來說，雖然知道了“平均數(shù)是一個統(tǒng)計數(shù)值，沒有實(shí)物可以對照”，也會根據(jù)一組數(shù)據(jù)算出平均數(shù)，似乎已經(jīng)掌握了“平均數(shù)”的概念。但是，實(shí)際并非如此，這時就需要對概念進(jìn)行反思和辨析，在這一過程中進(jìn)一步加深對“平均數(shù)”的理解。

如“一籃子雞蛋，每個雞蛋的重量如下：56克，55克，54克，58克，55克，53克，54克，這一籃子雞蛋平均一個重52克?！边@道判斷題，就能幫助學(xué)生進(jìn)一步探索平均數(shù)的取值范圍。有的學(xué)生能一眼看出雞蛋的平均重量不可能是52克，因?yàn)槊總€雞蛋的重量都比52克重，而有的學(xué)生則需要通過計算出這些雞蛋的平均重量后，再與52克相比較，從而發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的取值范圍是有一定規(guī)律可循的。再如這題：①9只籃球平均分放到3只木框中，每筐有（ ）只籃球；②3個筐子，一共有9只籃球，平均每框有（ ）只籃球。這兩句話有什么區(qū)別？哪個數(shù)是平均數(shù)？這就是幫助學(xué)生辨析“平均分”和“平均數(shù)”，前者可以通過動手分一分，實(shí)際看到這個數(shù)值。而后者是一個統(tǒng)計數(shù)值，沒有對應(yīng)的實(shí)物可參照。有的學(xué)生通過新課的學(xué)習(xí)后，可以馬上辨析出這兩者之間的關(guān)系，而有的學(xué)生則需要借助實(shí)物或是簡易圖來幫助理解這兩句話，從而進(jìn)行辨析。無論學(xué)生的能力強(qiáng)弱，他們都能通過對概念反思辨析的過程，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，而且對概念的理解也能更加深刻和清晰。

（2）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對概念應(yīng)用的過程，幫助學(xué)生積累應(yīng)用性經(jīng)驗(yàn)。由于數(shù)學(xué)概念的抽象性和嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)概念的理解不是一次能完成的，要逐步深化和系統(tǒng)建構(gòu)。用新概念解決數(shù)學(xué)問題，是鞏固概念的最有效的方式。數(shù)學(xué)概念形成之后，應(yīng)通過實(shí)際應(yīng)用加深對概念本質(zhì)的理解，在問題解決中領(lǐng)會概念的價值和作用。

例如，當(dāng)學(xué)生掌握“平均數(shù)”的概念后，為了讓學(xué)生能深刻理解平均數(shù)的本質(zhì)屬性，我組織學(xué)生計算班級一組同學(xué)的平均身高，以此來估計全班的平均身高。在實(shí)際運(yùn)用中使學(xué)生系統(tǒng)掌握平均數(shù)的概念，學(xué)生從中了解平均數(shù)的來龍去脈，將它納入到原有的概念系統(tǒng)中。不但能使學(xué)生全面、深刻地理解新概念，而且能使原有概念得到充實(shí)和發(fā)展，更加鞏固。

（3）在課后運(yùn)用數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，將數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)。所以，幫助學(xué)生在日常生活中再次感悟所學(xué)的概念，并獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)也顯得十分重要。

例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了表面積的概念及計算方法后，可以讓他們幫助父母測算裝修住房平鋪地磚的費(fèi)用。首先讓學(xué)生測量、計算房間的面積。了解各種圖形面積的計算方法在實(shí)際中的運(yùn)用。再了解市面上地磚的種類。比如有正方形、長方形等，可以一起探討用什么形狀的地磚可以更節(jié)省材料。從中還可以關(guān)注地磚的花色品種選擇后拼成的圖案是否和軸對稱圖形有關(guān)。然后通過了解地磚的單價、地磚的數(shù)量、安裝地磚的工錢如何支付等，最后測算出需要的總費(fèi)用。通過讓學(xué)生主動從數(shù)學(xué)的角度測算平鋪地磚所需費(fèi)用，使學(xué)生切實(shí)了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中無處不在，能夠主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)的知識和方法尋求解決問題的策略。

總之，在概念教學(xué)中必須創(chuàng)設(shè)情境，教學(xué)過程要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過直觀動作體驗(yàn)、表象抽象、語言概括，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并在解決問題的過程中系統(tǒng)地構(gòu)建概念。