基于正則化的陸基偽衛(wèi)星整周模糊度解算方法

張晨皓，孫發(fā)魚(yú)，白瑞青

(機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，人們對(duì)全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)[1](GNSS)定位精度的要求越來(lái)越高。GNSS的定位精度依賴于可見(jiàn)星的數(shù)目及其空間幾何分布的狀況，然而在特殊的地形條件下，如“城市峽谷”、深山礦區(qū)、地下通道等地，GNSS的接收機(jī)天線受到遮擋使可見(jiàn)星數(shù)目減少，無(wú)法保證定位精度。為了解決GNSS可見(jiàn)星數(shù)目不足的問(wèn)題，人們發(fā)明了陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以作為GNSS的地面增強(qiáng)系統(tǒng)，也可以在GNSS完全失效的情況下代替其進(jìn)行獨(dú)立定位。陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)使用載波相位定位的方法，這種方法利用載波相位觀測(cè)量進(jìn)行定位，其定位精度較高，且對(duì)環(huán)境的適應(yīng)性強(qiáng)。然而在利用載波相位觀測(cè)量進(jìn)行定位時(shí)會(huì)引入一個(gè)新的誤差：整周模糊度。想要得到高精度的位置信息，就必須妥善解決整周模糊度的解算問(wèn)題[2]。

關(guān)于整周模糊度的解算問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)進(jìn)行了許多研究。傳統(tǒng)的解算方法是文獻(xiàn)[2]提出的靜態(tài)初始化法(Known Point Initialization，KPI)，這種方法技術(shù)比較成熟且系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，然而使用此法的先決條件是在解算開(kāi)始之前已知接收機(jī)的初始坐標(biāo)，否則便無(wú)法完成解算，因此這種方法不適用于陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)。文獻(xiàn)[3]基于GPS系統(tǒng)提出了最小二乘法和LAMBDA搜索算法[7]相結(jié)合的整周模糊度在線解算方法，這種方法不需要提前獲知接收機(jī)的初始坐標(biāo)，能夠滿足特殊地形條件下的定位需求，適用于陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)。然而使用最小二乘法進(jìn)行在線解算的過(guò)程中，觀測(cè)方程的法方程會(huì)存在病態(tài)性問(wèn)題，這會(huì)極大地影響解算精度。文獻(xiàn)[5]提出了用嶺估計(jì)法和截?cái)嗥娈愔捣ù孀钚《朔ǖ脑诰€解算方法，此方法的解算精度雖有所提升，但仍無(wú)法滿足陸基偽衛(wèi)星系統(tǒng)的定位需求。本文針對(duì)特殊地理環(huán)境下陸基偽衛(wèi)星系統(tǒng)整周模糊度解算精度不足的問(wèn)題，提出了基于TIKHONOV正則化方法[6]的陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)整周模糊度在線解算的方法。

1 基于最小二乘法的陸基偽衛(wèi)星整周模糊度浮點(diǎn)解解算方法

通常GNSS利用雙差分觀測(cè)的方式得到觀測(cè)方程[7]，然后利用雙差分觀測(cè)方程進(jìn)行整周模糊度的解算。陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)的基站位于地面，一般不會(huì)存在很大的電離層誤差，考慮到系統(tǒng)精度、系統(tǒng)復(fù)雜程度、系統(tǒng)成本等多方面因素，本文采用單差分觀測(cè)的方式進(jìn)行觀測(cè)[2]。

先假設(shè)一個(gè)參考信號(hào)為接收機(jī)到偽衛(wèi)星基站節(jié)點(diǎn)j的信號(hào)，再假設(shè)另一個(gè)信號(hào)為接收機(jī)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的同頻信號(hào)，那么這兩個(gè)信號(hào)的觀測(cè)方程如式(1)、式(2)：

(1)

(2)

將兩式相減，得出單差分觀測(cè)方程如式(3)：

ΔΦij=(Φi-Φj)=

(3)

(4)

當(dāng)接收機(jī)位置坐標(biāo)無(wú)法獲取時(shí)，可將坐標(biāo)作為未知數(shù)進(jìn)行解算[8]。假設(shè)對(duì)偽衛(wèi)星系統(tǒng)做了n個(gè)歷元的觀測(cè)，再假設(shè)系統(tǒng)有m+1個(gè)偽衛(wèi)星基站，那么每次觀測(cè)能得到m個(gè)單差分觀測(cè)方程，觀測(cè)量矩陣z是一個(gè)m×n×1的矩陣，其表達(dá)式如式(5)：

(5)

由于每次觀測(cè)時(shí)接收機(jī)的坐標(biāo)都會(huì)產(chǎn)生變化，因此觀測(cè)n次就會(huì)產(chǎn)生3×n個(gè)未知數(shù)，m個(gè)單差分觀測(cè)方程意味著有m個(gè)單差分整周模糊度，所以未知數(shù)的數(shù)量是3×n+m個(gè)。不妨設(shè)未知數(shù)矩陣x的表達(dá)式如式(6)：

x=[xc，xN]=[xt1，yt1，zt1，xt2，yt2，zt2，…，

xtn，ytn，ztn，ΔN1，ΔN2，…，ΔNm]T

(6)

這樣就可以寫(xiě)出單差載波相位定位方程如式(7)：

Δz=AccΔxc+ANNΔxN+ξ

(7)

根據(jù)最小二乘法的原理，各參數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足條件式(8)：

(8)

式(8)中的系數(shù)矩陣Acc和ANN是雅可比矩陣。系數(shù)矩陣Acc的表達(dá)式如式(9)：

(9)

其中，

Acc，t1=J(xt1，yt1，zt1)=

(10)

系數(shù)矩陣ANN的表達(dá)式如式(11)：

(11)

根據(jù)式(7)可以得出載波相位定位的法方程[9]如式(12)：

N0Y=Z

(12)

式(12)中，N0為法方程系數(shù)陣，

(13)

(14)

(15)

(16)

對(duì)應(yīng)的最小二乘解為：

(17)

這樣就得到了整周模糊度的浮點(diǎn)解ΔxN，整周模糊度在線解算的第一步也就完成了。然而當(dāng)觀測(cè)時(shí)間較短(僅有幾個(gè)歷元)時(shí)，偽衛(wèi)星基站和接收機(jī)之間的幾何圖形變化較小，各歷元觀測(cè)量之間有較強(qiáng)的相關(guān)性，導(dǎo)致觀測(cè)空間的多樣性嚴(yán)重不足。在這種情況下，觀測(cè)方程的法方程會(huì)呈現(xiàn)病態(tài)性[10]，此時(shí)解算出的整周模糊度浮點(diǎn)解會(huì)存在較大誤差，因此必須妥善解決這一問(wèn)題。

2 基于正則化的陸基偽衛(wèi)星整周模糊度在線解算方法

整周模糊度的在線解算共分為兩步，首先解算出整周模糊度的浮點(diǎn)解，然后利用解算出的浮點(diǎn)解來(lái)搜索整周模糊度的整數(shù)解，這個(gè)整數(shù)解即為整周模糊度最終的解。因此，整周模糊度浮點(diǎn)解的解算精度會(huì)直接影響到整周模糊度整數(shù)解的搜索精度，也就是整周模糊度的解算精度。

想要提高陸基偽衛(wèi)星系統(tǒng)整周模糊度浮點(diǎn)解的解算精度，如何妥善解決觀測(cè)方程法方程的病態(tài)性問(wèn)題是一個(gè)關(guān)鍵性環(huán)節(jié)。首先分析法方程的病態(tài)性對(duì)整周模糊度浮點(diǎn)解解算精度的影響。

法方程中的系數(shù)矩陣N0和矩陣Z實(shí)際上都分別含有微小的觀測(cè)誤差δN0和δZ，那么相應(yīng)的未知數(shù)矩陣Y也會(huì)產(chǎn)生微小誤差δY，法方程的表達(dá)式如式(18)：

(N0+δN0)(Y+δY)=Z+δZ

(18)

相應(yīng)的最小二乘解為：

(19)

將式(12)、式(17)帶入式(19)，整理得

(20)

對(duì)上式的兩端取2-范數(shù)，根據(jù)向量范數(shù)的三角不等式以及矩陣和向量范數(shù)的相容條件，將式(20)轉(zhuǎn)換為：

(21)

整理式(21)，得：

(22)

(‖δZ‖+‖δN0‖‖Y‖)

(23)

對(duì)式(12)的兩端也取2-范數(shù)，根據(jù)向量范數(shù)的三角不等式，得：

‖N0‖‖Y‖≥‖Z‖

(24)

(25)

將式(23)、式(25)左右相乘，得

(26)

通過(guò)分析可以看出，法方程的病態(tài)性問(wèn)題對(duì)整周模糊度浮點(diǎn)解的解算精度影響很大，必須妥善解決這一問(wèn)題。最直接的解決方法是增加觀測(cè)時(shí)間，但是這種方法顯然不符合定位系統(tǒng)“快速”的基本要求。既然這種方法行不通，那不妨通過(guò)改善整周模糊度的解算方法來(lái)提升整周模糊度浮點(diǎn)解的解算精度。

本文使用TIKHONOV正則化方法來(lái)削減法方程的病態(tài)性。根據(jù)TIKHONOV正則化原理，首先寫(xiě)出估計(jì)準(zhǔn)則如式(27)：

‖N0Y-Z‖2+αΩ(y)=

‖N0Y-Z‖2+αYTRY=min

(27)

式(27)中，α為正則化參數(shù)，R為正則化矩陣，Ω(y)為穩(wěn)定泛函，‖·‖表示2-范數(shù)。從上式可以看出，TIKHONOV正則化方法與一般最小二乘法的不同之處在于增加了一個(gè)穩(wěn)定泛函Ω(y)，并且要求該泛函極小。

解算過(guò)程的關(guān)鍵是得出α和R。換言之，解算法方程病態(tài)問(wèn)題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是選取正則化矩陣R，二是計(jì)算正則化參數(shù)α。經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，決定采用如下數(shù)據(jù)：

其中，n為觀測(cè)歷元數(shù)，I3×3為3階單位陣。

通過(guò)此法計(jì)算得出的法方程最小二乘解如式(28)：

(28)

與式(17)相比，TIKHONOV正則化方法得出的解當(dāng)中多了一個(gè)R矩陣，此時(shí)法方程系數(shù)矩陣N0的條件數(shù)大大減小，法方程的病態(tài)性也就得到了削弱，從而縮小了整周模糊度浮點(diǎn)解的解算誤差。

得到整周模糊度的浮點(diǎn)解之后，接下來(lái)要做的是搜索整周模糊度的整數(shù)解。傳統(tǒng)的搜索方法原理很簡(jiǎn)單，就是利用整數(shù)最小二乘法求解差分載波相位方程。但是在經(jīng)過(guò)差分運(yùn)算后，各差分方程的整周模糊度之間存在一定的相關(guān)性。在本文觀測(cè)歷元較少的情況下，整周模糊度的相關(guān)性增大，整周模糊度的搜索空間也會(huì)隨之增大，這樣模糊度整數(shù)解的搜索效率就很低。

為了提高搜索效率，本文采用由Teunissen P.J.G提出的最小二乘降相關(guān)搜索法(LAMBDA)。LAMBDA算法的核心思路是從概率的角度出發(fā)，以離散的方式進(jìn)行搜索。首先建立搜索準(zhǔn)則如式：

(29)

對(duì)式(29)進(jìn)行分析可以看出，它所確定的空間是一個(gè)橢球體空間，此空間以模糊度的浮點(diǎn)解作為圓心，其大小由門(mén)限參數(shù)χ2來(lái)決定，其方向和橢球率由模糊度協(xié)方差矩陣來(lái)決定。在利用LAMBDA算法進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，首先利用Z變換，將模糊度浮點(diǎn)解協(xié)方差矩陣變換為整數(shù)。經(jīng)過(guò)Z變換后，搜索空間將由橢球體轉(zhuǎn)變?yōu)榻魄蝮w且體積不變，這樣模糊度的候選組數(shù)將大大減小，從而提高了搜索效率。

3 仿真驗(yàn)證

本文使用Matlab軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)中的偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)解算和仿真，這其中用到了Matlab軟件中的符號(hào)運(yùn)算工具箱(Symbolic Math Toolbox)，該工具箱能夠提供包括微積分、線性代數(shù)在內(nèi)的常見(jiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的函數(shù)庫(kù)。對(duì)于Matlab軟件和Symbolic Math Toolbox這里不再進(jìn)行贅述。

實(shí)驗(yàn)首先要做的是搭建一個(gè)陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)，本實(shí)驗(yàn)共使用五臺(tái)偽衛(wèi)星基站進(jìn)行組網(wǎng)，分為一臺(tái)主基站和四臺(tái)從基站，各基站的位置坐標(biāo)如表1所示。

表1 各基站的位置坐標(biāo)

Tab.1 The coordinate of each base station

基站名稱東西向坐標(biāo)X/m南北向坐標(biāo)Y/m高度坐標(biāo)Z/m主基站000從基站1-371.166-1.883-13.921從基站2309.928493.650-12.360從基站3188.614-225.426-7.678從基站4-356.769-349.588-6.975

基站的幾何分布二維圖如圖1所示。

圖中“o”表示主基站，“+”表示從基站，各基站均搭載有信號(hào)發(fā)射機(jī)及發(fā)射天線。

我們將信號(hào)接收機(jī)和接收天線裝配在一輛電動(dòng)車(chē)上。實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，這輛電動(dòng)車(chē)在主基站附近做近似圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的直徑約為35 m，圓心坐標(biāo)約為(0，-37)。電動(dòng)車(chē)行駛的大致軌跡如圖2所示。

本實(shí)驗(yàn)選取運(yùn)動(dòng)軌跡上均勻分布的八個(gè)點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，觀測(cè)點(diǎn)的分布如圖2所示。通過(guò)對(duì)這8個(gè)點(diǎn)的觀測(cè)，我們可以得到8個(gè)歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

為了驗(yàn)證整周模糊度在線解算的精度，我們需要將模糊度的浮點(diǎn)解和整數(shù)解與模糊度的真值作對(duì)比。模糊度真值的計(jì)算是在已知接收機(jī)坐標(biāo)的條件下進(jìn)行的。我們選取主基站作為參考基站，將4個(gè)從基站的觀測(cè)數(shù)據(jù)與主基站觀測(cè)數(shù)據(jù)做差運(yùn)算，再利用式(4)進(jìn)行計(jì)算即可得到單差分整周模糊度，也就是模糊度的真值。

整個(gè)實(shí)驗(yàn)分為兩個(gè)方案進(jìn)行仿真。

方案一：不使用TIKHONOV正則化方法，僅使用最小二乘法解算整周模糊度的浮點(diǎn)解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整數(shù)解。

方案二：使用TIKHONOV正則化方法對(duì)法方程病態(tài)性進(jìn)行削弱后再解算整周模糊度的浮點(diǎn)解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整數(shù)解。

對(duì)以上兩方案進(jìn)行仿真，得到的仿真結(jié)果及真值的對(duì)比如表2所示。

表2 模糊度浮點(diǎn)解、整數(shù)解及真值

Tab.2 The float solution，integer solution and true value of carrier phase ambiguity

模糊度序號(hào)方案一的浮點(diǎn)解方案一的整數(shù)解方案二的浮點(diǎn)解方案二的整數(shù)解模糊度真值N01-152.45-152-100.17-100-100N02-534.32-534-400.49-400-400N03-673.68-673-500.52-500-500N04-1035.39-1035-800.84-800-800

表2中的仿真結(jié)果表明，在使用方案一，即不使用TIKHONOV正則化方法的情況下，模糊度浮點(diǎn)解的誤差有幾十甚至幾百單位，誤差很大，因此很難搜索到精確的模糊度整數(shù)解；在使用方案二，即使用TIKHONOV正則化方法的情況下，模糊度浮點(diǎn)解的誤差僅有不到一個(gè)單位，誤差縮小了數(shù)十倍，此時(shí)搜索到的模糊度整數(shù)解與模糊度真值相同。

綜合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出結(jié)論，本文提出的方法能夠提高整周模糊度的解算精度。

4 結(jié)論

本文提出了基于TIKHONOV正則化的陸基偽衛(wèi)星系統(tǒng)整周模糊度在線解算的方法。該方法根據(jù)陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)所處的環(huán)境，使用TIKHONOV正則化方法對(duì)觀測(cè)方程的法方程進(jìn)行處理，對(duì)法方程的病態(tài)性進(jìn)行削弱。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，使用TIKHONOV正則化方法削弱法方程的病態(tài)性后，整周模糊度浮點(diǎn)解的解算誤差縮小了數(shù)十倍，據(jù)此搜索出的整周模糊度整數(shù)解與真值相同。由此可知本文提出的方法能夠解決觀測(cè)方程法方程的病態(tài)性問(wèn)題，使模糊度浮點(diǎn)解的精度大大提高，模糊度整數(shù)解搜索的準(zhǔn)確性也會(huì)隨之提高，從而實(shí)現(xiàn)提高整周模糊度解算精度的目標(biāo)。目前，基于TIKHONOV正則化的整周模糊度在線解算方法還沒(méi)有在陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)中得到實(shí)現(xiàn)，因此下一步工作的重點(diǎn)就是將此方法在工程當(dāng)中實(shí)際運(yùn)用，進(jìn)一步完善陸基偽衛(wèi)星定位系統(tǒng)的整周模糊度在線解算方法。

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