S-Nekrasov矩陣A的‖A-1‖∞的上界

李 艷 艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663099)

2009年,L.Cvetkovic等給出了H矩陣的新子類S-Nekrasov矩陣[1],2012年L.Cvetkovic等研究了S-Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)上界的估計問題[2].本文在文獻[1-13]的基礎(chǔ)上,借助于李耀堂,李朝遷,高磊,裴薈等研究Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的方法,得到了S-Nekrasov矩陣A的‖A-1‖∞的上界.

1 預(yù)備知識

令

將矩陣A分裂為

引理1[3]若A=(aij)∈Rn×n是S-SDD矩陣,則

引理2[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,n≥2,aii≠0,則

hi(A)=|aii|[(|D|-|L|)-1|U|e]i,

其中e=(1,1,…,1).

引理3[5]矩陣A=(aij)∈Rn×n(n≥2)是Nekrasov矩陣的充要條件是

(|D|-|L|)-1|U|e

注:以上充要條件說明了E-(|D|-|L|)-1|U|是SDD矩陣.

引理4[2]設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n,n≥2,aii≠0,則

引理5[6]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異H矩陣,則

|A-1|≤〈A〉-1.

2 S-Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的上界

在S-Nekrasov矩陣的基礎(chǔ)上,引入?yún)?shù)構(gòu)造S-SDD矩陣,并在對S-Nekrasov矩陣和S-SDD矩陣元素特點分析的基礎(chǔ)上,應(yīng)用引理1得到了S-Nekrasov矩陣A的‖A-1‖∞的新界.

定理1 設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n是S-Nekrasov矩陣,且A-1存在,則當

有

由于E-(|D|W-|L|W)-1|U|W=W-1(E-(|D|-|L|)-1|U|)W是SDD矩陣,則E-(|D|-|L|)-1|U|是S-SDD矩陣.

由C(μ)的定義知:

對于第2行,

[C(μ)]22=c22μ,r2(C(μ))=r2(C),

對于其他行,

則C(μ)是S-SDD矩陣.

下面在C(μ)元素特點的基礎(chǔ)上,分情況討論‖C(μ)-1‖∞的界,同時假設(shè)2∈S,

又因為

由E-(|D|W-|L|W)-1|U|W=W-1(E-(|D|-|L|)-1|U|)W是SDD矩陣知,E-(|D|-|L|)-1|U|是S-SDD矩陣,那么B=|D|(E-(|D|-|L|)-1|U|)也是S-SDD矩陣.

由B(μ)的定義知,

即[B(μ)]22=μb22,r2(B(μ))=r2(B),

對i=2,…,n,

[B(μ)]ii=bii,ri(B(μ))=ri(B),

因為B(μ)=(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ),所以〈A〉=(E-|L||D|-1)B(μ)D-1(μ)=(E-|L||D|-1)Δ·Δ-1B(μ)D-1(μ),Δ=diag(δ1,δ2,…,δn),δi>0,i=1,2,…,n.

下面針對B(μ)主對角線元素的不同,分類討論,并假設(shè)2∈S.

則此時有

結(jié)合以上情況,

3 數(shù)值算例

通過該例發(fā)現(xiàn),一定情況下,本文的結(jié)果改進了現(xiàn)有的估計式.

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