圓盤(pán)區(qū)域下系統(tǒng)不確定項(xiàng)容忍區(qū)間分析

張 瑤，王福忠，姚 波

(1.沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110034； 2.沈陽(yáng)工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 沈陽(yáng) 110136)

線(xiàn)性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題早已經(jīng)成為控制界的熱門(mén)問(wèn)題。文獻(xiàn)[1-2]給出了狀態(tài)反饋下的圓盤(pán)區(qū)域極點(diǎn)配置的充要條件。文獻(xiàn)[3]提出了動(dòng)態(tài)輸出反饋的圓盤(pán)區(qū)域極點(diǎn)配置問(wèn)題，但是在實(shí)際的系統(tǒng)中，狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的提取很難做到。動(dòng)態(tài)輸出反饋又過(guò)于復(fù)雜，消耗能量過(guò)大。因此，引入了靜態(tài)輸出反饋。文獻(xiàn)[5-12]是對(duì)執(zhí)行器增益偏差容忍區(qū)間及一些性能指標(biāo)容忍區(qū)間的分析。然而，系統(tǒng)的不確定性是客觀存在的。參數(shù)的不確定性，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失去某些性能，甚至是穩(wěn)定性。為了使系統(tǒng)依然能夠保持某些較好的性能且避免保守性帶來(lái)的能量損耗，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定范圍型性的分析就尤為重要。由于狀態(tài)反饋具有局限性，所以靜態(tài)輸出反饋不確定參數(shù)容忍區(qū)間的分析是具有實(shí)際研究?jī)r(jià)值的。

將圓盤(pán)區(qū)域極點(diǎn)配置與靜態(tài)輸出反饋結(jié)合，考慮系統(tǒng)參數(shù)的波動(dòng)，分析參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，給出了系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的概念。通過(guò)分析每個(gè)不確定參數(shù)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度，進(jìn)而得到了容忍區(qū)間的算法。比較各個(gè)參數(shù)的容忍區(qū)間，判斷出每個(gè)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響水平。容忍區(qū)間越小，對(duì)系統(tǒng)的影響越大；相反則次之。最后，通過(guò)仿真實(shí)例對(duì)結(jié)論加以驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

考慮如下線(xiàn)性系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)為n維狀態(tài)；u(t)為p維輸入；y(t)為q維輸出；系數(shù)矩陣A,B,C是給定的相應(yīng)維數(shù)常矩陣。

對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器：

u(t)=Ky(t)

(2)

由系統(tǒng)(1)和靜態(tài)輸出反饋控制器(2)，構(gòu)成如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(3)

式中，K為需要設(shè)計(jì)的矩陣。

引理1[13]：矩陣A的所有特征值均在半徑為r，中心在(-q,0)的圓盤(pán)中，當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱(chēng)矩陣X，使得

(4)

引理2[14]：已知M是n×n的對(duì)稱(chēng)正定矩陣(m≤n),N是適維的行滿(mǎn)秩矩陣，那么矩陣NMN′可逆。

證明：設(shè)NMN′X=0∴X′N(xiāo)MN′X=0

整理得(N′X)′M(N′X)=0∵M(jìn)是n×n正定對(duì)稱(chēng)矩陣∴N′X=0∴NN′X=0

又∵NN′是可逆的，所以只有X=0這個(gè)零解。

綜上所述，方程只有零解，即NMN′是可逆的，引理得以證明。

引理3[4]：若XY=Z，其中Y、Z為m×n維的行滿(mǎn)秩矩陣 ，則X可逆。

2 主要結(jié)果

定理1：系統(tǒng)(1)存在靜態(tài)輸出反饋控制器K，且該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)能夠配置到半徑為r，中心為(-q,0)的圓盤(pán)中，當(dāng)且僅當(dāng)存在正定的矩陣X和矩陣U，使得：

(5)

如果LMI的可行解為(U,X)，則u(t)=UV-1x(t)為系統(tǒng)(1)的一個(gè)靜態(tài)輸出反饋控制器(2)，其中V由VC=CX所求。

證明：由引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)(1)的極點(diǎn)配置到半徑為r，中心在(-q,0)的圓盤(pán)中的充要條件是：存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣X，使得

(6)

將VC=CX，U=KV代入(6)中有

下證V可逆：

對(duì)等式VC=CX兩邊乘以CT得

VCCT=CXCT

則V=CXCT(CCT)-1

因?yàn)镃XCT是可逆的，所以V可逆。即定理得證。

如果考慮系統(tǒng)的不確定參數(shù)，由此閉環(huán)系統(tǒng)為

(7)

若系統(tǒng)(7)中第ij項(xiàng)出現(xiàn)波動(dòng)，那么系統(tǒng)的單一不確定因素增益偏差模型是

dimax-r=0

3 仿真實(shí)例

考慮如下系統(tǒng)：

系統(tǒng)的極點(diǎn)，配置到半徑為r=2，中心為(-2,0)的圓盤(pán)中的靜態(tài)輸出反饋控制器為K=-0.4178，如圖1所示。

圖1 圓形極點(diǎn)配置極點(diǎn)分布

圖1表述的是將不穩(wěn)定的線(xiàn)性系統(tǒng)極點(diǎn)配置到半徑為r=2，中心為(-2,0)的圓盤(pán)中，且使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定?，F(xiàn)對(duì)此系統(tǒng)加入不確定參數(shù)，考慮系統(tǒng)中的不確定因素對(duì)圓盤(pán)區(qū)域極點(diǎn)分布的影響，如圖2所示。

圖2 極點(diǎn)脫離圓盤(pán)

圖2表述的是考慮相同的系統(tǒng)加入不確定參數(shù)后極點(diǎn)脫離圓盤(pán)。

圖3 不確定項(xiàng)t11引起的圓盤(pán)極點(diǎn)的變化

圖3描述的是系統(tǒng)不確定參數(shù)t11∈[-5，5]時(shí)，系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的分析，可以看出不確定參數(shù)t11在波動(dòng)時(shí)，其增益偏差的容忍區(qū)間為(-3.9,0.2)；圖4描述的是系統(tǒng)不確定參數(shù)t22∈[-5，5]時(shí)，系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的分析，可以看出不確定參數(shù)t22在波動(dòng)時(shí)，其增益偏差的容忍區(qū)間為(-4.1,0.5)。

通過(guò)上述數(shù)據(jù)的分析可知，不確定參數(shù)t11對(duì)系統(tǒng)性能的影響比不確定參數(shù)t22對(duì)系統(tǒng)性能的影響大。

圖4 不確定項(xiàng)t22引起的圓盤(pán)極點(diǎn)的變化

4 結(jié) 論

在現(xiàn)實(shí)的工程實(shí)例中，系統(tǒng)中的很多不確定因素是不可避免的，設(shè)計(jì)者若能很好的掌握每個(gè)不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響程度，那么在設(shè)計(jì)過(guò)程中可以減少能源上的浪費(fèi)，同時(shí)也能保證系統(tǒng)有較高的安全性能。

通過(guò)將圓盤(pán)區(qū)域極點(diǎn)配置與靜態(tài)輸出反饋結(jié)合，避免了狀態(tài)反饋和動(dòng)態(tài)輸出反饋給系統(tǒng)帶來(lái)的不足。在此基礎(chǔ)上，考慮了系統(tǒng)不確定參數(shù)變化，觀察到不確定參數(shù)波動(dòng)后極點(diǎn)會(huì)脫離圓盤(pán)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定并且降低一定的保守性，研究了系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的概念及其算法，得到了不確定參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響程度：容忍區(qū)間越小，對(duì)系統(tǒng)性能的影響越大；容忍區(qū)間越大，對(duì)系統(tǒng)性能的影響相應(yīng)越小。系統(tǒng)設(shè)計(jì)者可以比較系統(tǒng)各個(gè)不確定參數(shù)的容忍區(qū)間，進(jìn)而在系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中降低能源的浪費(fèi)，保證系統(tǒng)有較好的性能。

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