基于最大熵原理的水文干旱指標計算方法研究

洪興駿　郭生練　王樂

摘要：確定水文變量的概率分布，是計算各類標準化干旱指標的關鍵。提出了基于最大熵原理（POME）的月徑流分布構建方法，采用多階矩作為求解最大熵的約束條件，以拉格朗日乘子法估計分布參數(shù)，計算了不同時間尺度的標準化徑流干旱指數(shù)SDI，評估了漢江30個子流域歷史水文干旱情勢。結果表明：與Normal、Gamma、Weibull、Pearson Type Ⅲ等常用概率分布相比，POME分布模型可以最大程度地利用實測水文數(shù)據(jù)中的信息，有效擬合不同時間尺度的累積月徑流量，表現(xiàn)出良好的適用性；隨著時間尺度的增大，采用不同分布擬合同一尺度的月徑流量，差別逐漸減小，月徑流量概率分布特征趨于正態(tài)化。成果可為推求干旱指標，研究干旱特征的統(tǒng)計規(guī)律，進行干旱頻率分析等提供新的手段。

關鍵詞：最大熵原理；水文干旱；標準化徑流干旱指數(shù)；漢江流域

中圖分類號：TV121文獻標志碼：A文章編號：

16721683（2018）02009307

Abstract：

Selecting the appropriate probability distribution function （PDF） for hydrological variables is of significant importance to calculating standardized drought indices.In this study，we used the Principle of Maximum Entropy （POME） method to model the PDFs of aggregated monthly streamflow on varying time scales for 30 subbasins of the Hanjiang River Basin.The first three original moments of the cumulative monthly streamflow data were chosen as the constraint functions for maximizing the entropy by the Lagrange Multiplier.The Streamflow Drought Index （SDI） was computed based on monthly streamflow records derived from several theoretical probability distributions such as POME， Normal，Gamma， Weibull，and Pearson Type Ⅲ.Results showed that the POMEbased PDFs could make the best use of the information from observed records while avoiding mistakenly introducing redundant information.They showed satisfying applicability.We found that the PDFs of cumulative monthly streamflow would trend towards normalization as the time scale increased.The proposed method can be a practical tool for calculating hydrological drought indices， analyzing drought characteristics，and performing drought frequency analysis.

Key words：POME；hydrological drought；Streamflow Drought Index （SDI）；Hanjiang River basin

干旱是一種由水循環(huán)異常引起的水分持續(xù)性短缺現(xiàn)象，不僅會對生態(tài)環(huán)境造成嚴重破壞，同時對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和城市供水等也會產(chǎn)生負面影響，長期制約著經(jīng)濟社會和人類文明發(fā)展。干旱指標是研究干旱現(xiàn)象的基礎，也是衡量干旱發(fā)生與否與量級大小最為直觀的定量表達。天然狀況下，翔實的實測水文資料是計算干旱指標，評估區(qū)域干旱演變特征的基礎。將實測水文要素時間序列看作服從某種理論概率分布的隨機變量，通過等概率轉換原理將其標準化，以評估其偏離正常情形的程度，是最常見的干旱指標構建方法。

Mckee等采用Gamma分布來描述降水量的統(tǒng)計規(guī)律，提出了著名的標準化降水指數(shù)（Standardized Precipitation Index，SPI）[1]。此后，各類仿效SPI的標準化干旱指數(shù)如雨后春筍般被相繼提出，用來描述水文循環(huán)各個環(huán)節(jié)要素的盈缺情勢?？紤]到生態(tài)系統(tǒng)與社會經(jīng)濟活動和地表-地下徑流的直接聯(lián)系和高度依賴性，眾多學者依托實測或模擬的徑流和地下水位，將SPI的計算框架移植到水文干旱研究之中，提出了許多標準化水文干旱指數(shù)，如標準化徑流指數(shù)（Standardized Runoff Index，SRI）[2]，徑流干旱指數(shù)（Streamflow Drought Index，SDI）[3]，標準化地下水位指數(shù)（Standardized Groundwater level Index，SGI）[4]等。

然而，由于水文氣象變量的時空異質性，水文分布線型的選擇對于標準化干旱指數(shù)的計算精度有著重要的影響。特別是受樣本數(shù)量的限制，如果線型選擇不當，可能給干旱評估帶來較大的誤差[5]。受降水時空分布不確定性和流域調(diào)蓄的影響，時段河川徑流的概率分布相較降水往往表現(xiàn)出更為復雜的特征。VincenteSerrano等（2012）就指出由于分布線型各自的局限性，沒有任何一個概率分布可以保證對各月份的實測徑流量均有較好的擬合效果，因此他采用不同的分布擬合不同月份的徑流量，擇優(yōu)確定理論分布，雖然在一定程度上提高了擬合的精度，但計算過程頗為繁雜[6]。因而，如果能以一個相對統(tǒng)一的分布形式描述徑流的概率特征，將對快速且穩(wěn)健的水文干旱評估產(chǎn)生有益影響。

Jaynes（1957）提出了著名的最大熵原理（Principle of Maximum Entropy，POME）[7，8]，用于構建隨機變量的概率分布。自其被引入到水文頻率分析研究后[9]，POME近幾十年間在該領域已經(jīng)得到了迅速的發(fā)展[1013]，在干旱頻率分析方面也得到了廣泛的應用[1416]，如吳孝情等（2014）[17]和Hong等（2015）[18]就通過POME構建了降水量的概率分布，計算了SPI指標，指出其在分布擬合方面具有令人滿意的適用性。過往應用研究主要集中在以降水量為對象的氣象干旱上，對表征河流生境及地表與地下水體間轉化關系的地表-地下徑流關注較少。本文擬以河川徑流為對象，采用POME在不預先假設徑流序列概率分布線型的前提下，根據(jù)實測徑流資料的統(tǒng)計特征信息，推求其概率分布函數(shù)，用以計算標準化水文干旱指標。

1研究方法

1.1標準化徑流干旱指數(shù)（SDI）

本研究采用標準化徑流干旱指數(shù)（Streamflow Drought Index，SDI）表征一段時間內(nèi)的流域水文干旱情況[2]。SDI的計算公式如下：

SDI=Φ-1[FX（x）][JY]（1）

式中：Φ-1（·）為求高斯分布累積概率的逆函數(shù)。X為某一時間尺度[WTB1X]k（k[WTBX]=1，3，6，12個月等）下的累積月徑流量；f（x）和FX（x）=∫x0f（x）dx分別為其概率密度和概率函數(shù)。當SDI>0時，表示流域處于較濕潤的狀態(tài)，反之當SDI<0時，表示流域處于相對干旱狀態(tài)。

1.2基于最大熵原理的月徑流分布計算方法

熵理論認為隨機變量不確定性的大小可以用概率分布函數(shù)來描述，而信息量的大小則可以用被消除不確定性的多少來表示。Shannon于1948年將玻爾茲曼熵的概念引入到信息論中，作為量度一個隨機變量不確定性或信息量的定量指標[19]。假設隨機變量（本文中指累積月徑流量）X的概率密度函數(shù)為f（x），則其信息熵H（x）的定義如下：

H（x）=-∫baf（x）lnf（x）dx[JY]（2）

式中：a、b分別為隨機變量的積分上、下界。

Jaynes進一步提出了POME的概念，認為在所有相容的分布中，如果挑選滿足一定約束條件下能使信息熵達到極大值的分布作為隨機變量的分布，就意味著對數(shù)據(jù)不足的人為添加信息最少，從而求得的分布有最小的偏差，最合乎自然。因此，可將尋找最適宜概率分布的過程轉化為求解最大熵的過程，使得導出的理論分布與系統(tǒng)的已知信息相一致。在水文頻率分析中，常選用樣本各階矩，作為求解最大熵的約束信息[20]。本文中，不假設各尺度累積月徑流的頻率分布線型，以保持理論分布與樣本的前三階原點矩的期望一致作為月徑流分布的約束條件，可以將推求統(tǒng)一形式的月徑流概率分布的過程歸結為求解如下數(shù)學規(guī)劃問題。

實際上，作為一種形式靈活的分布構建形式，通過設置不同的約束方程組，許多常用分布線型都可以通過POME導出。一些常用分布參數(shù)的POME估計可見文獻[23]。

2研究區(qū)域與資料

漢江是長江中游最大的支流，位于東經(jīng)106°15′-114°20′E，北緯30°10′-34°20′N，發(fā)源于秦嶺南麓，干流流經(jīng)陜西、湖北兩省，于武漢市注入長江，干流全長1 577 km，流域面積約159 000 km2（見圖1）。漢江流域地處北亞熱帶季風區(qū)，幅員遼闊，光、熱和水資源空間差異大。加上區(qū)內(nèi)垂直地帶性十分顯著，是我國降水變率較大、旱澇災害多發(fā)的地區(qū)之一[24]。漢江流域在國家水資源安全戰(zhàn)略布局中的地位舉足輕重，其上游丹江口水庫是南水北調(diào)中線工程的水源地，中下游的江漢平原則是湖北省重要的經(jīng)濟走廊，因而，研究漢江流域水文干旱演變特征，對于保障長江流域水安全具有重要的現(xiàn)實意義。

本文選取文獻[25]所采用的漢江流域內(nèi)30個子流域的長系列徑流作為研究對象。我國自20世紀90年代以來進行了大規(guī)模的流域開發(fā)，可能在一定程度上破壞了天然水文序列的一致性[26]，為保證資料一致性，本文徑流資料序列基本上僅覆蓋20世紀50年代至20世紀80年代，各子流域位置見圖1。徑流量數(shù)據(jù)資料由出口斷面逐日流量資料經(jīng)時段累積和單位換算而來。分別采用MannKendall[27，28]和Pettitt[29]方法對各子流域不同尺度逐月實測徑流進行趨勢和變點檢驗，采用自相關系數(shù)檢驗月徑流序列的獨立性，置信水平均取95%。經(jīng)檢驗，所采用各月徑流量數(shù)據(jù)均滿足一致性假設。

3研究結果與分析

3.1月徑流分布擬合效果

采用前述的POME方法，對漢江30個子流域不同時間尺度逐月累積徑流量進行頻率分析，擬合月徑流分布。為對比所提POME分布的適用性，選取若干常用的統(tǒng)計分布函數(shù)，包括兩參數(shù)Normal（NO）、Gamma（GM）、Weibull（WB）和三參數(shù)Pearson Type Ⅲ（PⅢ）[HJ1.91mm]分布，對漢江各子流域不同時間尺度月徑流進行擬合，參數(shù)估計方法也采用文獻[22]中的基于最大熵原理的拉格朗日乘子法，并與基于三階矩POME分布計算的月徑流分布進行比較，選用的尺度包括[WTB1X]k[WTBZ]=1，3，6，12個月。采用AndersonDarling（AD）檢驗方法[30]判斷所選用分布是否可以作為不同尺度累積月徑流的理論分布，置信度水平為95%。不同時間尺度下各分布通過AD檢驗的次數(shù)見表1。不同分布下每一個時間尺度最佳的擬合次數(shù)為：30個流域×12個月=360次，由表可知，在四個時間尺度中，POME分布通過檢驗的次數(shù)均為最高，與另一常用的三參數(shù)PⅢ分布效果相當。其它分布中，NO分布在較小時間尺度上擬合效果欠佳，而指數(shù)分布族的GM分布和極值分布族的WB分布效果尚可。

采用各流域由不同備選分布擬合的月徑流量理論分位數(shù)與實測徑流數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分位數(shù)的確定性系數(shù)R2QQQ衡量擬合效果，統(tǒng)計箱形圖見圖2。從圖中可以看出，POME分布和PⅢ分布對于不同尺度的月徑流量均能取得較好的擬合效果，確定性系數(shù)基本都在0.97以上。由其是POME分布（即紅色的“箱子”），有最高的平均表現(xiàn)和最小的分布范圍，表現(xiàn)穩(wěn)定。正態(tài)分布（NO）對于偏態(tài)的小尺度累積徑流量擬合效果欠佳，隨著時間尺度的延長，正態(tài)分布的適線效果逐步增強。而同為兩參數(shù)的兩個偏態(tài)分布效果[CM（22]居中。綜上，對于各個累積時段，所提出的POME[CM）]

方法構建的理論分布均能較好地擬合相應時段的徑流量。

為進一步在微觀序列層面上展示所提分布對實測徑流量樣本的擬合能力，以漢江流域的挽魚溝子流域為例，繪制各時間尺度代表月份累積徑流量理論與經(jīng)驗分布擬合效果圖如圖3所示。由圖3可以看出，各時間尺度月累積徑流量的經(jīng)驗點據(jù)與理論曲線擬合良好，令人滿意。

3.2干旱指標計算及干旱特征分析

由上一小節(jié)的分析結果，基于POME良好的擬合效果，可將它作為各尺度累積月徑流量的理論分

布，計算相應的SDI指標。挽魚溝流域各累積尺度SDI長序列見圖4。由圖可以看出，在各個時間尺度下，挽魚溝流域在研究期內(nèi)旱澇事件交替發(fā)生。從1個月尺度的SDI序列可以看出，該流域各月徑流的年際變化較大，旱、澇等極端水文事件頻發(fā)。隨著累積時間尺度的增大，干旱事件數(shù)量減少。這主要是由于隨著納入累積的回溯月份增加，一些夾雜在連續(xù)干旱時期內(nèi)略高于零值的SDI（可能由于突然的一場降雨）被抹去，而長期水量豐沛時期中間略小于零值的SDI則被剔除，使得原本被割裂的并不獨立的兩場干旱事件得以連續(xù)。

進一步地，按照通用的游程理論[31]，以SDI=0為閾值，識別流域歷史水文干旱事件，統(tǒng)計干旱特征如表2所示。從表中可以看出，隨著累積尺度的增大，可以觀測到的旱澇事件呈現(xiàn)頻次（數(shù)量）、最大單[CM（22]月徑流虧缺量（即最小SDI值的絕對值）減小，但平

3.3不同分布線型下水文干旱指標計算對比分析

從以上分析可以注意到，隨著時間尺度的增大，累積月徑流量的分布有逐漸趨于正態(tài)化的趨勢。為驗證這一假設，將各流域基于正態(tài)分布與其他備選分布擬合計算的各尺度SDI序列的確定性系數(shù)R2，SDIQQ的統(tǒng)計箱形圖繪于圖5中?？梢钥闯?，對于所有理論分布，隨著徑流量累積時段的增加，由不同理論分布計算得到的SDI指標之間的確定性系數(shù)逐漸增大，差異逐漸減小。這表明累積徑流量的分布線型隨著累積時段的增加，逐漸趨于正態(tài)化。

同樣，以漢江流域挽魚溝子流域出口斷面1，3，6與12個月尺度POME、GM、WB與PⅢ分布與NO分布的SDI為例，繪制相關關系見圖6。從圖中不難看出，在時間尺度選得較小的情況下，基于不同分布計算得到的干旱指標相關點據(jù)較為分散，特別是在尾部兩端，這表明此時由不同分布計算得到的SDI值差異較大，這對于穩(wěn)健的干旱評估顯然是不利的。隨著徑流累積時間尺度的增大，不同分布擬合結果的差異逐步縮小，基本上可以互相替代，這也表明徑流量的理論分布趨于正態(tài)化。這與Angelidis等[32]的研究結果一致。這一性質可在隨機變量的獨立同分布假設適當放寬的條件下，由大數(shù)定律解釋。

4結論與展望

為計算標準化徑流干旱指數(shù)SDI，需要首先確定各時間尺度累積月徑流量的理論概率分布。為使待求的理論分布在充分利用樣本信息，反映變量統(tǒng)計特征的同時，人為假定最小，提出了基于最大熵原理（POME）的累積月徑流量分布，并采用漢江流域30個子流域的歷史資料進行驗證，得到以下結論。

（1）基于三階矩約束的最大熵原理求得的理論分布，可以有效擬合漢江各個子流域不同時間尺度的累積月徑流量，表現(xiàn)出良好的時空適應性，為水文隨機變量的頻率分析提供了新的工具。

（2）隨著時間尺度增大，采用不同分布擬合同一尺度的月徑流量的差距有所減少，月徑流量概率分布特征趨于正態(tài)化。這一性質在選用累積尺度較大的徑流計算相應的SDI值時具有一定的應用前景，直接采用正態(tài)分布，能夠大大簡化計算過程。

（3）作為一種通用的概率分布參數(shù)估計方法，POME可以為推求干旱指標和干旱特征的統(tǒng)計規(guī)律，進行干旱頻率分析提供擬合手段。[HJ2.2mm]

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