薄膜斷裂和穿透的向量式有限元分析及應用

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1 引 言

薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂和穿透破壞過程是一類重要且同時存在幾何、材料及接觸非線性的復雜不連續(xù)行為[1]。具體實例主要有強臺風或雨雪作用下的膜材撕裂、物體撞擊作用下的穿透過程以及充氣氣球的充氣破裂等。

目前，主要通過理論、試驗及統(tǒng)計等方法分析膜材的撕裂強度。吳明兒等[2]針對梯形形狀的薄膜試件進行了拉伸破壞試驗，研究各向異性膜材在經(jīng)緯向撕裂時的破壞強度。陳國華[3]基于薄膜材料的拉伸束鏈模型，模擬并預估了其斷裂破壞過程及相應的斷裂破壞強度。Aldrich-Smith等[4]對拉伸應力作用下脆性膜/基材料的預先開裂這一典型失效破壞進行了研究。楊班權(quán)等[5]研究了殘余應力作用對脆性薄膜材料撕裂行為的影響，并推導了該膜材裂紋密度隨殘余應力變化情況的理論關(guān)系式。至于暴雨、冰雹及物體等撞擊作用下膜材的穿透破壞，目前主要考慮撞擊后的膜材彈性動力響應和變形。宋維舉[6]利用 LS -DYNA 對剛性小球撞擊薄膜的動力過程進行研究，模擬了其在沖擊作用下的大撓度振動響應。膜材的斷裂和穿透過程具有復雜不連續(xù)性，已有文獻尚未有通過有限單元法對其破壞全過程進行的數(shù)值研究，本文研究方法將為該類型問題的模擬計算提供一種新的解決方案。

向量式有限元VFIFE(Vector Form Intrinsic Finite Element)[7-9]通過點值描述和向量力學分析來獲得結(jié)構(gòu)體系的行為。各質(zhì)點運動方程在每個循環(huán)子步中解耦并獨立逐步求解，解耦后的顯式差分方程不存在集成的大規(guī)模剛度矩陣，也無需進行迭代計算，在結(jié)構(gòu)大變形大轉(zhuǎn)動、斷裂及穿透等復雜不連續(xù)行為分析中具有較好的應用。對于結(jié)構(gòu)斷裂和穿透問題，在統(tǒng)一的主分析程序中，前者引入斷裂失效準則和質(zhì)點分裂實現(xiàn)模塊，后者同時引入碰撞和斷裂機制模塊；在不增加計算難度和大量計算工作的基礎(chǔ)上，通過結(jié)構(gòu)構(gòu)形的步步更新可有效跟蹤獲得其變形、斷裂及穿透破壞全過程。

本文基于向量式有限元薄膜單元理論，研究了薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂失效和穿透破壞行為。前者采用失效應力判斷準則，提出了向量式有限元質(zhì)點分裂的斷裂實現(xiàn)方式，后者則同時結(jié)合碰撞和斷裂實現(xiàn)機制，有效模擬了薄膜結(jié)構(gòu)的變形、斷裂及穿透破壞全過程。編制了薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂和穿透求解程序，并通過算例分析驗證了理論和程序的可靠性和有效性。

2 向量式膜單元理論

向量式有限元法通過質(zhì)點系的運動過程來模擬結(jié)構(gòu)的動力響應，結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布于各質(zhì)點，質(zhì)點內(nèi)力則通過質(zhì)點間的單元來計算并集成。求解過程包括質(zhì)點全位移、節(jié)點純變形和節(jié)點內(nèi)力計算，詳細推導參考文獻[10]。

(1) 質(zhì)點全位移

質(zhì)點受力情況如圖1所示，滿足運動微分方程：

(1)

在每個時間步內(nèi)，采用中央差分公式求解質(zhì)點運動微分方程(1)，得到該時間步末時刻質(zhì)點的新位置，進而得到該時間步的質(zhì)點全位移。

(2) 節(jié)點純變形

質(zhì)點全位移相對應的單元節(jié)點全位移包括平移和轉(zhuǎn)動(圖2)以及純變形。為避免剛體位移引起的誤差，采用逆向運動進行去除后獲得節(jié)點純變形，從而將質(zhì)點空間運動轉(zhuǎn)換到單元平面上。剛體平移取為參考節(jié)點的全位移，剛體轉(zhuǎn)動則通過單元面外和面內(nèi)的逆向剛體轉(zhuǎn)動矩陣來換算求解。

(3) 節(jié)點內(nèi)力

通過節(jié)點純變形的單元虛功方程來計算節(jié)點內(nèi)力。先引入變形坐標系和單元形函數(shù)分布，將空間問題轉(zhuǎn)化到平面上，并以變形坐標系下單元節(jié)點的內(nèi)力向量為坐標軸方向，如圖3所示；再利用坐標系轉(zhuǎn)換和面外、面內(nèi)正向轉(zhuǎn)動，將其轉(zhuǎn)換到整體坐標系下；節(jié)點內(nèi)力反向作用于質(zhì)點并集成即為質(zhì)點內(nèi)力。

圖1 質(zhì)點受力圖

Fig.1 Particle force diagram

圖2 單元的剛體運動

Fig.2 Rigid body motion of element

圖3 單元節(jié)點純變形和內(nèi)力

Fig.3 Element node pure deformation and internal force

3 斷裂準則及實現(xiàn)

薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂破壞包括薄膜單元的破裂和破碎情況，本文基于失效應力準則和質(zhì)點分裂方式來實現(xiàn)薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂破壞全過程，以下給出了基本原理和推導過程。

采用von Mises應力瞬時變量達到失效應力限值作為膜材單元的斷裂失效判據(jù)，見式(2)。薄膜單元的向量式有限元基本斷裂過程即可通過該斷裂判據(jù)來完成。

(斷裂失效) (2)

斷裂行為是通過質(zhì)點分裂方式使得相連單元的對應節(jié)點斷開連接，斷裂前后的相關(guān)變量如下。

(1) 單元節(jié)點的von Mises應力等狀態(tài)參量是通過該節(jié)點對應單元最近積分點處的狀態(tài)參量獲得，且單元僅在節(jié)點處出現(xiàn)斷裂。節(jié)點Mises應力達到失效應力值時斷開連接。

(2) 質(zhì)點分裂形成的新質(zhì)點屬性根據(jù)斷裂后情況進行重新定義。質(zhì)點質(zhì)量m根據(jù)斷裂后新的單元連接進行重分配；斷裂后新質(zhì)點的位移x和速度v則取保持斷裂前質(zhì)點狀態(tài)不變。

以質(zhì)點相連單元中僅一個單元斷開為例，質(zhì)點分裂示意如圖4所示，其中E1～E4為單元編號，N1和Ni(i=2,3)分別為分裂前和分裂后的質(zhì)點編號。質(zhì)點分裂前后各質(zhì)點的狀態(tài)變量滿足

(3)

式中x1和v1為分裂前的質(zhì)點位移和速度，xi和vi(i=2,3)為分裂后的質(zhì)點位移和速度。

(3) 單元的節(jié)點斷開方式包括部分斷開和所有節(jié)點斷開，前者一般先出現(xiàn)，對應為單元的破裂行為，后者則對應單元的破碎行為。

圖4 質(zhì)點分裂示意圖

Fig.4 Particle splitting schematic diagram

4 穿透行為實現(xiàn)

膜結(jié)構(gòu)的穿透破壞行為同時結(jié)合了碰撞和斷裂情況，在每個循環(huán)分析子步中，首先出現(xiàn)碰撞檢測并進行碰撞響應，接著通過斷裂判據(jù)來判斷斷裂的出現(xiàn)情況，并通過質(zhì)點分裂來實現(xiàn)斷裂模擬，跟蹤獲得膜材變形及穿透破壞的過程。

碰撞檢測通過質(zhì)點和三角形單元的點-三角形碰撞檢測方法來處理，碰撞響應則基于結(jié)合中央差分與罰函數(shù)的碰撞接觸反力來實現(xiàn)。時間子步中，首先通過中央差分運動方程求解步末的質(zhì)點新位移；接著對質(zhì)點進行碰撞檢測處理，對其中發(fā)生實際碰撞的質(zhì)點新位置通過響應處理來更新替換。薄膜結(jié)構(gòu)碰撞接觸的推導過程參考文獻[11]。

采用von Mises應力狀態(tài)變量達到失效應力限值作為膜材斷裂失效判據(jù)，而薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂行為則通過質(zhì)點分裂方式，將各相連單元對應節(jié)點進行斷開操作。單元部分節(jié)點斷開和單元所有節(jié)點斷開對應為破裂和破碎過程。

5 程序?qū)崿F(xiàn)

在進行結(jié)構(gòu)分析計算時，傳統(tǒng)有限元需事先區(qū)分類型(如斷裂及碰撞等)并采用專用的公式和程序來實現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)的復雜不連續(xù)領(lǐng)域應用不便。向量式有限元對各類復雜不連續(xù)力學行為均可采用相同概念和流程實現(xiàn)，即用一個完整而通用的理論進行廣義的結(jié)構(gòu)模擬和行為預測。對于結(jié)構(gòu)斷裂和穿透問題，只需在基于統(tǒng)一牛頓運動方程的主分析程序中，前者引入斷裂失效準則和質(zhì)點分裂實現(xiàn)模塊，后者同時引入碰撞和斷裂機制模塊；在不增加計算難度和大量計算工作的基礎(chǔ)上，通過結(jié)構(gòu)構(gòu)形的步步更新可跟蹤獲得其變形、斷裂及穿透破壞全過程。

本文采用Matlab編制了薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂和穿透求解計算程序，并進行了算例分析驗證，表明了理論和程序的可靠性和有效性，實現(xiàn)流程如圖5所示。

6 算例分析

圖7給出了幾個典型時刻含裂縫矩形膜片的拉伸變形和膜材撕裂?？梢钥闯?，隨著拉伸位移Ux的遞增，在t=0.6 ms時首先在膜片兩側(cè)出現(xiàn)拉伸變形和應力；接著拉伸變形和應力逐漸往中間區(qū)域擴展，在t=1.2 ms時膜片中間區(qū)域達到較大變形和應力，并在裂縫端部開始出現(xiàn)應力集中效應；在t=1.6 ms時,在裂縫端部由于拉伸變形和應力繼續(xù)增大而使其Mises應力達到斷裂失效應力并開始出現(xiàn)破裂現(xiàn)象；隨后,膜片沿著裂縫方向的破裂范圍逐漸擴大，即發(fā)生撕裂現(xiàn)象(t=2.0 ms,t=2.4 ms)；在t=2.8 ms時,矩形膜片出現(xiàn)完全撕裂。

圖5 斷裂和穿透分析流程圖

Fig.5 Fracture and penetration analysis flow chart

圖6 矩形膜片模型

Fig.6 Rectangular membrane model

圖7 矩形膜片拉伸撕裂典型應力變形圖

Fig.7 Typical stress and deformation diagrams of tensile tear for rectangular membrane

本算例矩形膜片的斷裂破壞過程與文獻[2]的試驗結(jié)果基本一致，驗證了本文方法在薄膜結(jié)構(gòu)斷裂行為模擬中的有效性。由于僅采用了簡單的Mises應力斷裂準則且并未考慮各向異性，與試驗結(jié)果的定量分析比較還需進一步研究。

圖9給出了幾個典型時刻方形氣囊膨脹直至斷裂破壞的變形圖?？梢钥闯?，隨著內(nèi)壓p的增大，t=0.02 s 時，首先在氣囊周邊出現(xiàn)膨脹變形；繼而往中間區(qū)域變形擴展，在t=0.05 s時,整個氣囊均已充滿氣并膨脹起；在t=0.06 s時，氣囊中心區(qū)域由于von Mises應力達到失效應力閾值而開始出現(xiàn)破裂；在t=0.07 s 時，氣囊破裂往周邊大范圍擴展，并開始出現(xiàn)破碎；隨后，膜材的破裂破碎變化區(qū)域明顯，并大范圍擴展(t=0.08 s)。

本例采用了簡單的Mises失效應力判斷準則，并未涉及膜材各向異性及氣囊膨脹破裂后氣體泄漏引起的內(nèi)壓降低問題，因而氣囊膨脹破裂變形與實際情況有所差異。盡管如此，氣囊出現(xiàn)斷裂的位置及發(fā)展模式均基本符合實際情況，證明本文方法可有效模擬薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂仿真過程。

圖8 氣囊模型

Fig.8 Airbag model

圖9 氣囊膨脹破裂典型變形圖

Fig.9 Typical deformation diagrams of airbag inflating rupture

圖11給出了幾個典型時刻馬鞍面薄膜的穿透變形圖。可以看出，首先薄膜在碰撞位置出現(xiàn)凹陷；隨著凹陷增大，單元節(jié)點應力也增大，直至達到失效應力并開始節(jié)點分裂；然后，薄膜在碰撞位置區(qū)域沿著最小應力方向(經(jīng)向)呈現(xiàn)撕裂效果；最終，撕裂趨于明顯，剛球逐漸穿透薄膜結(jié)構(gòu)。本算例中馬鞍面薄膜的穿透破壞過程與實際情況基本一致，驗證了本文方法在薄膜結(jié)構(gòu)穿透行為模擬中的有效性。

圖10 剛球-馬鞍面薄膜模型

Fig.10 Rigid ball-saddle membrane model

圖11 剛球-馬鞍面薄膜穿透典型變形圖

Fig.11 Typical deformation diagrams of rigid ball-saddle membrane penetration

7 結(jié) 論

本文將向量式有限元法引入薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂和穿透過程分析。提出了膜材的斷裂失效應力判據(jù)和質(zhì)點分裂實現(xiàn)方式，模擬獲得了薄膜變形和斷裂失效全過程；結(jié)合碰撞檢測和響應機制、斷裂失效和向量式實現(xiàn)機制，模擬獲得了薄膜變形和穿透破壞全過程。

編制了薄膜結(jié)構(gòu)斷裂和穿透求解計算程序，并進行了算例驗證。結(jié)果表明，該程序可較好完成薄膜結(jié)構(gòu)的大變形大轉(zhuǎn)動、斷裂及穿透等復雜不連續(xù)行為分析，驗證了理論和程序的可靠性和有效性。

本文僅對薄膜結(jié)構(gòu)的斷裂及穿透過程進行了基本的模擬分析，要精確實現(xiàn)膜材斷裂和穿透這一高度非線性問題需要后續(xù)進一步的研究，如各向異性材料的引入、斷裂機制的完善和碰撞摩擦的考慮等。

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