色散實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法對比研究

許建國，蔡建春，吉 鑫

（昆明學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，昆明 650214）

數(shù)據(jù)測量和數(shù)據(jù)處理是光學(xué)設(shè)計性實(shí)驗(yàn)過程中非常重要的兩個內(nèi)容，二者缺一不可，不可偏廢。數(shù)據(jù)測量是基礎(chǔ)，沒有數(shù)據(jù)測量，數(shù)據(jù)處理就成了無源之水、無本之木；只有數(shù)據(jù)測量，不做數(shù)據(jù)處理，實(shí)驗(yàn)本身就失去了意義。選擇正確的數(shù)據(jù)處理方法，提高處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的效率和獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的期望值，是所有數(shù)據(jù)處理者共同的使命及愿望。本文用超定方程組最小二乘解〔1〕方法和Origin 8.0軟件處理光色散的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以測量的鈉光折射率作為定標(biāo)，檢驗(yàn)兩種方法處理數(shù)據(jù)的可行性，并對兩種方法進(jìn)行對比研究。

1 柯西色散規(guī)律

色散是物質(zhì)的折射率隨入射光波長的變化而不同的現(xiàn)象〔2〕。折射率和波長之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系。在正常色散區(qū)，柯西（A.L.Gauchy，1836）根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到了一個經(jīng)驗(yàn)公式〔3〕：

其中a、b、c為常數(shù)，與材料的性質(zhì)有關(guān)，由實(shí)驗(yàn)測定。

實(shí)驗(yàn)原理和數(shù)據(jù)處理：根據(jù)最小偏向角法測量三棱鏡折射率的方法，用下式計算三棱鏡的折射率〔4〕：

其中α為三棱鏡的頂角，δmin為最小偏向角。實(shí)驗(yàn)中，以低壓汞燈為光源，用一臺分光計、一塊三棱鏡，分別測量汞燈譜線中幾條已知波長對應(yīng)的折射率。汞燈譜線不同波長對應(yīng)的最小偏向角及折射率見表1。用自準(zhǔn)直法測得三棱鏡頂角α=59°53′。

2 柯西經(jīng)驗(yàn)公式系數(shù)的確定

2.1 解超定方程求系數(shù) 將汞光燈波長及其對應(yīng)的折射率代入式（1）得下面方程組：

表1 各波長對應(yīng)的最小偏向角和折射率

從式（3）可知，這是6個方程求3個未知數(shù)，是一超定方程組。利用矩陣乘法分解方程組（3）得下面表達(dá)式：

對于方程組（3），R是一個6×3的矩陣，rank(R)=3，R是一個列滿秩矩陣，且6＞3，方程組（3）沒有精確解。對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和曲線擬合時，在無法完全滿足給定的條件下，對方程組（3）求一個最接近的解，使其解的殘差最小。因?yàn)閞ank(R)=3＜6，滿足超定方程組最小二乘解的存在和唯一性定理3〔5〕的條件，超定方程組（3）存在唯一最小二乘解，其解為X=(RTR)-1(RTB)。所以計算RTRX=RTB的最小二乘解，得X矩陣的各個系數(shù)值分別為a1=1.627 605、b1=7.405 903×103和c1=3.649 776×108。于是本實(shí)驗(yàn)中，柯西經(jīng)驗(yàn)公式用常數(shù)表示為：

將鈉光波長λNa=589.3 nm代入式（5），算出鈉光對該三棱鏡的折射率nNa=1.651 957，與表1鈉光的實(shí)測折射率n*Na=1.651 905，在誤差允許范圍內(nèi)二者的數(shù)值吻合得很好。

2.2 非線性最小二乘法擬合求系數(shù) 利用Origin軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，經(jīng)整理后得如圖1所示的結(jié)果。

在誤差允許范圍內(nèi)，圖1中a2=1.627 6，b2=7.408 18×103，c2=3.647 45×108，與超定方程組的解a1、b1和c1吻合得很好。從色散關(guān)系曲線圖像可以看出，隨著波長增加折射率減小，波長減小折射率增大，這種色散稱為正常色散。

2.3 色散關(guān)系曲線的應(yīng)用 應(yīng)用色散關(guān)系曲線可以做的工作概括起來有3個方面，第一，如果測出色光對物質(zhì)的折射率，由式（5）可計算該色光的波長，從而計算普朗克常數(shù)〔6〕的數(shù)值；第二，由該物質(zhì)的色散關(guān)系曲線，可以推知制作該物質(zhì)的材料〔7〕；第三，由色散關(guān)系曲線可以估計未知波長的折射率，見圖2。

圖1 非線性最小二乘法擬合測量數(shù)據(jù)

圖2 Data Reader讀取數(shù)據(jù)

利用Origin界面的Data Reader在色散關(guān)系曲線上讀取數(shù)據(jù)點(diǎn)，可得不同波長（或折射率）的折射率（或波長）。按住計算機(jī)鍵盤上的“→”或“←”鍵，屏幕上“＋”光標(biāo)沿曲線移動，圖2表中X和Y的數(shù)值即為該點(diǎn)的波長和對應(yīng)的折射率。圖例“●”為鈉光的波長和其折射率數(shù)值，折射率擬合數(shù)值為1.651 957，與實(shí)驗(yàn)測量值吻合得很好。

綜上，由數(shù)據(jù)處理結(jié)果可知，用超定方程組最小二乘解方法和Origin軟件處理色散實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)是可行的。方法一主要圍繞如何求解方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)的問題，按照求解未知數(shù)方程的一般方法得不到方程組的精確解，而最小二乘法解可以得到符合要求的解，用矩陣乘除法即可完成，方法簡單易學(xué)，不過作圖與插值計算未知波長的折射率比較麻煩。方法二用Origin軟件的非線性最小二乘法擬合數(shù)據(jù)并作圖，計算與作圖完全由計算機(jī)完成，過程簡潔高效，對未知波長的折射率的估值一目了然，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理原理和過程不是很直觀明了，對于初學(xué)者理解和掌握起來有一定的難度。Origin軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)必須假以時日、反復(fù)練習(xí)方能做到應(yīng)用自如。我們認(rèn)為，將兩種處理數(shù)據(jù)的方法教給學(xué)生，讓學(xué)生既知其然又知其所以然，不僅使學(xué)生學(xué)會了處理數(shù)據(jù)的不同方法，而且也符合因材施教、因人施教的教育教學(xué)原則。

〔1〕楊立本.超定方程組最小二乘解行處理方法〔J〕.云南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1997，17（1）：1-4.

〔2〕鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)〔M〕.北京：北京大學(xué)出版社，2003：440-441.

〔3〕趙凱華.新概念物理教程：光學(xué)〔M〕.北京：高等教育出版社，2004：334-345.

〔4〕楊述武，趙立竹，沈國土.普通物理實(shí)驗(yàn)3：光學(xué)部分〔M〕.北京：高等教育出版社，2007：33-35.

〔5〕百度百科.超定方程組〔EB∕OL〕.〔2017-06-20〕.https：∕∕baike.baidu.com∕item∕%E8%B6%85%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84∕4663111?fr=aladdin.

〔6〕劉絨俠.利用色散法探索玻爾氫原子理論測量普朗克常數(shù)〔J〕.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2008，21（3）：4-7.

〔7〕朱簡約，陳乾.基于分光計實(shí)驗(yàn)的光譜分析及柯西色散公式研究〔J〕.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2016，29（2）：41-43.