某雙轉(zhuǎn)子發(fā)動機變態(tài)相似模型設(shè)計與驗證分析

丁 一，羅貴火，王 飛

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院 江蘇省航空動力系統(tǒng)重點實驗室， 南京 210016)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，在現(xiàn)代工業(yè)尤其是航空、能源、電力等領(lǐng)域有著舉足輕重的作用[1]。模型試驗法是當前研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的最重要的方法之一，旨在通過與原型相似的模型試驗進行研究，從而得到原型的工作性能和規(guī)律特點[2]。根據(jù)不同的比例尺性質(zhì)，模型試驗法所采取的試驗器可以分為2種，即正態(tài)模型和變態(tài)模型。對于與原型相同材料的正態(tài)模型，其固有頻率需要比原型大很多才能滿足動力學(xué)相似，其要求轉(zhuǎn)速在現(xiàn)有的試驗條件下往往無法達到，另外其所需的激勵頻率也比原型大很多。因此，采用變態(tài)模型轉(zhuǎn)子進行試驗不僅可以拓寬試驗的應(yīng)用范圍，還可以減少模型制作的材料用量，從而降低試驗成本。國內(nèi)外學(xué)者對變態(tài)模型相似性問題進行了研究并取得了豐碩成果，但對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)相似問題的研究不夠全面，尤其是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)方面的相似性問題研究極少。另外，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力相似尤其是變態(tài)動力相似方面的研究只停留在起步階段。因此，深入研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力模型變態(tài)相似問題和發(fā)展轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型優(yōu)化設(shè)計方法是十分有必要的，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗?zāi)Ｐ偷南嗨圃O(shè)計具有重要意義。

本文在深入分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型、原型相似準則和動力學(xué)相似關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了基于數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)子變態(tài)模型優(yōu)化設(shè)計思路和算法，并對實際發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了動力學(xué)相似設(shè)計。本文所采用的思路、分析方法和結(jié)論對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗?zāi)Ｐ偷淖儜B(tài)相似優(yōu)化設(shè)計具有參考意義。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力變態(tài)相似準則關(guān)系

1.1 變態(tài)模型相似理論

變態(tài)模型不同維度的幾何尺寸不是按照相同比例縮小，即模型與原型分別對應(yīng)的尺寸比例并不完全相同，變態(tài)相似也稱差似[3]。

如圖1所示，變態(tài)模型與原型的各個維度尺寸比例分別為l′/l=Cl、w′/w=Cw、h′/h=Ch，且Cl、Ch和Cw不全相等。三者全部都不相等時，稱為二維變態(tài)相似，某一對相等時，稱為一維變態(tài)相似[4]。變態(tài)率η表示的是2個不同維度的比例尺的比例，比如Cl和Ch：

(1)

對于任何變態(tài)模型，雖然3個不同維度方向上的幾何比例尺不同，但是時間比例尺均相等，即Ctl=Ctw=Cth，則變態(tài)模型的各個維度方向的關(guān)于速度v和加速度a的相似比關(guān)系為[5]：

(2)

圖1 變態(tài)模型與原型示意圖

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似關(guān)系

本文研究對象軸向和徑向比例尺的基本量綱均為長度，無法用量綱分析或定律分析法推導(dǎo)出相似準則，因此采用方程分析法來推導(dǎo)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型的相似準則。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性的數(shù)值分析方法主要有有限元法和傳遞矩陣法[6]。傳遞矩陣法應(yīng)用最廣泛，但在求解高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動問題時經(jīng)常會遇到數(shù)值極不穩(wěn)定的情況[7]，并且與有限元法建立的模型相比，傳遞矩陣法一般不夠精確。因此，本文運用有限元法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程，從而推導(dǎo)相似準則和相似關(guān)系。

對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程[8]：

(3)

基于方程(3)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的運動方程可分別表示為(變態(tài)模型下標為m，原型下標為p)：

(4)

假設(shè)剛度矩陣Km和Kp的相似比為CK，質(zhì)量矩陣Mm和Mp的相似比為CM，阻尼矩陣Cm和Cp的相似比為CC，位移向量Um和Up的相似比為CU，外力向量Fm和Fp的相似比為CF，時間tm和tp的相似比為Ct，軸向尺寸lm和lp的相似比為Cl，徑向尺寸dm和dp的相似比為Cd，密度ρm和ρp的相似比為Cρ，彈性模量Em和Ep的相似比為CE，代入式(4)，化簡得：

(5)

方程(5)中各系數(shù)必須相互相等，才能使變態(tài)模型與原型相似，從中得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型的相似準則：

(6)

則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)變態(tài)相似關(guān)系為：

(7)

對于固有頻率，其相似關(guān)系為

(8)

此外，激勵頻率比Cω0等于固有頻率比Cf。由于剛度系數(shù)k=mω2，阻尼系數(shù)c=2ξmω，那么彈性系數(shù)Ck和阻尼系數(shù)Cc相似關(guān)系為：

(9)

標記{ψr}m和{ψr}p分別代表變態(tài)模型和原型轉(zhuǎn)子的第r階振型，那么對于同一個測點，其位移維度的比例尺關(guān)系依舊為Cd，本質(zhì)上振型的關(guān)系即測點上的復(fù)幅值比值。經(jīng)過標準正則化，可以得到變態(tài)模型和原型轉(zhuǎn)子的振型關(guān)系：

{ψr}mn={ψr}pn

(10)

由式(10)可得，變態(tài)模型與原型轉(zhuǎn)子的同階模態(tài)振型完全一致。一般情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的試驗器模型使用和原型轉(zhuǎn)子相同的材料，由此可得CE=Cρ=1。用λ代替Cl，表1列出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似常數(shù)。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似常數(shù)

2 原型雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性分析

為進行動力相似設(shè)計，首先需要了解原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性。某渦輪軸發(fā)動機耦合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由動力渦輪轉(zhuǎn)子(內(nèi)轉(zhuǎn)子)和燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子(外轉(zhuǎn)子)構(gòu)成，見圖2、3。

圖2 動力渦輪轉(zhuǎn)子

圖3 燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子截面

內(nèi)轉(zhuǎn)子動力渦輪轉(zhuǎn)子共有4個支承，支承編號為1、2、5、6；外轉(zhuǎn)子燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子共有2個支承，支承編號為3和4；6個支承的支承剛度數(shù)值見表2。

表2 轉(zhuǎn)子各支承剛度

本文采用有限元方法計算原型轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。其中，燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子有限元模型采用四節(jié)點四邊形SOLID272單元進行網(wǎng)格劃分，采用集中質(zhì)量單元(包含質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量)模擬各級壓氣機轉(zhuǎn)子葉片、渦輪葉片及部分輪盤，忽略流體流動產(chǎn)生氣動力的影響。整個模型共有37 284個節(jié)點，7 838個單元，2個軸承單元，6個集中質(zhì)量單元。計算所得到的動力渦輪轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比見表3，燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比見表4。

表3 動力渦輪轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比

表4 燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比

從表3和表4的結(jié)果可以看出：采用有限元法計算的原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和提供數(shù)據(jù)的最大誤差僅為1.68%，計算結(jié)果精確，滿足航空發(fā)動機工作轉(zhuǎn)速上下邊界距臨界轉(zhuǎn)速20%以上裕度的設(shè)計要求。

3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相似模型設(shè)計

為了進行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力模型試驗，需要先選擇合適的模型相似律并進行縮比模型的設(shè)計工作[9-10]。實踐證明，與原型π準則完全相同的模型設(shè)計方法往往無法滿足特定的固有頻率或動態(tài)響應(yīng)等設(shè)計指標。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型π準則不全相等，所以需要尋求轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型設(shè)計的指導(dǎo)方法。

3.1 相似比的選取

為進行動力相似設(shè)計，首先需要確定模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子之間的相似比。在確定相似比過程中主要考慮以下因素：

1) 試驗器設(shè)備限制角度：燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子最大轉(zhuǎn)速為45 000 r·min-1，現(xiàn)有試驗器驅(qū)動電機最大轉(zhuǎn)速為9 000 r·min-1?？紤]到電機驅(qū)動功率以及皮帶傳動方式，電機最大可以以傳動比1∶2工作。因此，模型轉(zhuǎn)子最大轉(zhuǎn)速為18 000 r·min-1，即要求相似比小于等于0.4；

2) 試驗安全角度：所選取的相似比不可過小，因為過小的相似比會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子軸段的內(nèi)徑過小，影響轉(zhuǎn)子軸的強度，不利于試驗的安全展開，因此相似比應(yīng)大于0.2；

3) 其他方面：在允許范圍內(nèi)，相似比應(yīng)取較大數(shù)值：一方面可以保證軸具有較好的強度；另一方面可以使相似模型的支承剛度較大，增強彈性支承的強度，方便加工。

考慮上述因素，模型轉(zhuǎn)子的相似比取0.4。根據(jù)已推導(dǎo)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似準則，建立變態(tài)率η為2.5的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型，其軸向比尺為1，徑向比尺為0.4。所有相關(guān)參數(shù)均嚴格按照相似關(guān)系進行相似變換，各轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的基本數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的基本參數(shù)

3.2 試驗器特征參數(shù)優(yōu)化

本文采用逆向思維的設(shè)計方法，通過調(diào)整轉(zhuǎn)子模型的特征參數(shù)來滿足設(shè)計目標，計算方法采用與第2部分一致的有限元方法，優(yōu)化方法采用遺傳算法，二者結(jié)合設(shè)計試驗器模型轉(zhuǎn)子[11]。如圖4所示，該算法通過有限元與遺傳算法的接口程序，由遺傳算法對初始配置進行優(yōu)化，從而找到最優(yōu)的設(shè)計變量，得到最佳設(shè)計結(jié)果。

圖4 有限元法與遺傳算法結(jié)合優(yōu)化設(shè)計流程

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有3個獨立的相似元：剛性盤、轉(zhuǎn)軸和軸承。本文研究對象的特征參數(shù)有2段軸的直徑和長度、8個圓盤的直徑和厚度、6個軸承的支承阻尼和支承剛度?；谠囼灥默F(xiàn)實意義，本研究選取6個支承剛度相似常數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計變量。此外，根據(jù)實際工程意義和價值對優(yōu)化設(shè)計變量的取值范圍進行界定，本文選取試驗器轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和工作轉(zhuǎn)速下的不平衡響應(yīng)作為約束條件。優(yōu)化目標函數(shù)的選取一般為試驗器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和原型轉(zhuǎn)子的固有頻率、振型或位移響應(yīng)等，如式(11)所示，以達到真實模擬原型轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性等目的。其次，轉(zhuǎn)子試驗器模型的優(yōu)化設(shè)計也用于提高模型的動力特性以降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動水平[12]。

(11)

對于本文的研究對象，設(shè)計變量取各支承剛度，優(yōu)化目標函數(shù)如式(12)所示：

(12)

其中：λ=0.4為指定的相似比；wi,i=1,2,3為模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界轉(zhuǎn)速；Ωi,i=1,2,3為動力渦輪轉(zhuǎn)子或燃氣發(fā)生器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前3階臨界轉(zhuǎn)速。

圖5 相似模型轉(zhuǎn)子示意圖

所設(shè)計的試驗器轉(zhuǎn)子示意圖如圖5所示，與原型一致。動力渦輪模型轉(zhuǎn)子(內(nèi)轉(zhuǎn)子)由4個彈性支承、1個輪盤以及軸組成。燃氣發(fā)生器模型轉(zhuǎn)子(外轉(zhuǎn)子)由2個支承、6個輪盤以及軸組成。6個支承均采用滾動軸承和鼠籠式彈性支承以及擠壓油膜阻尼器的形式構(gòu)成。優(yōu)化后的動力渦輪試驗器轉(zhuǎn)子支承1、2、5、6的各剛度見表6，燃氣發(fā)生器試驗器轉(zhuǎn)子支承3、4的各剛度見表7。

表6 優(yōu)化后動力渦輪模型轉(zhuǎn)子支承剛度

表7 優(yōu)化后燃氣發(fā)生器模型轉(zhuǎn)子支承剛度

3.3 試驗器轉(zhuǎn)子鼠籠式彈性支承設(shè)計

根據(jù)求得的6個支承的剛度，進行鼠籠式彈性支承的設(shè)計。通過參數(shù)化建模設(shè)計可得到6個鼠籠尺寸的長、寬、高，如表8所示。其中，籠條根部倒角為R1。

表8 試驗器轉(zhuǎn)子彈性支承參數(shù)

為確定設(shè)計的鼠籠彈性支承滿足剛度要求，將設(shè)計的鼠籠通過UG建立模型，利用有限元法進行剛度計算?？紤]到鼠籠彈支的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，部分結(jié)構(gòu)比較細小，選用10節(jié)點的solid187單元，進行自由網(wǎng)格劃分，同時設(shè)置smrt=1，得到的有限元模型如圖6所示。

圖6 試驗器轉(zhuǎn)子彈性支承的有限元模型

表9給出了各個彈性支承有限元計算求解剛度與目標剛度的誤差，可以看出剛度的誤差在8%以內(nèi)，滿足彈性支承的設(shè)計指標要求。

4 試驗器轉(zhuǎn)子動力特性分析與驗證

4.1 動力渦輪試驗器轉(zhuǎn)子

采用有限元法，動力渦輪試驗器轉(zhuǎn)子前3階臨界轉(zhuǎn)速與原型的對比見表10。

從表10中可以看到：模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速均為原型轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的0.4倍，最大誤差僅為2.94%；從圖7可得：前2階臨界振型均為1階彎曲，第3階振型為2階彎曲，模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界振型的mac值均大于0.91，即兩者的相似度大于91%。以上分析表明：本文設(shè)計的動力渦輪模型轉(zhuǎn)子能較好地反映原型轉(zhuǎn)子的動力特性，達到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)相似試驗?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計要求。

表9 試驗器轉(zhuǎn)子彈性支承剛度計算結(jié)果

表10 動力渦輪模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比

4.2 燃氣發(fā)生器試驗器轉(zhuǎn)子

同樣采用有限元法，燃氣發(fā)生器試驗器轉(zhuǎn)子前3階臨界轉(zhuǎn)速與原型的對比見表11。

表11 燃氣發(fā)生器模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比

從圖8中可以看出：模型轉(zhuǎn)子的前3階臨界振型分別為整體渦動、俯仰振型和1階彎曲。表11顯示：模型轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速均為原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的0.4倍，最大誤差僅為0.82%。以上分析表明，本文設(shè)計的燃氣發(fā)生器模型轉(zhuǎn)子動力特性和原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性高度吻合，誤差低于1%，為模型試驗提供良好的理論基礎(chǔ)和精度保證。

圖7 動力渦輪模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界振型對比

圖8 燃氣發(fā)生器模型轉(zhuǎn)子臨界振型

5 結(jié)束語

本文對某型雙轉(zhuǎn)子渦軸發(fā)動機進行了變態(tài)動力相似優(yōu)化設(shè)計和驗證分析，計算結(jié)果表明動力渦輪外轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的誤差為2.94%，燃氣發(fā)生器內(nèi)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的誤差為0.82%，各階振型的mac值均達到了90%以上。因此，本文所設(shè)計的試驗器模型與原型轉(zhuǎn)子滿足動力學(xué)相似，能高精度地相似反映原型轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型動力相似設(shè)計方法切實可行，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型試驗研究提供理論支撐。此外，本文所提出的相似參數(shù)選取、特征參數(shù)優(yōu)化、鼠籠彈性支承設(shè)計驗證等一系列方法和算例對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗器的相似設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。

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