關(guān)于Sp空間上加權(quán)復合算子的有界性

林慶澤，劉軍明，吳玉田

(1.廣東工業(yè)大學 應用數(shù)學學院， 廣州 510520；2.廣東金融學院 金融數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣州 510520)

0 引言

當1≤p<∞時，用Hp表示復平面單位圓盤Δ上解析函數(shù)f組成的Hardy空間，其中

當p=∞時，H表示復平面單位圓盤Δ上有界解析函數(shù)f組成的空間，其范數(shù)定義為：

‖f‖

Sp為f ′屬于Hardy空間Hp的復平面單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)f組成的空間，其范數(shù)定義為：

‖f‖Sp=|f(0)|+‖f ′‖Hp。

容易驗證Sp是一個Banach空間。 記H(Δ)表示單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)組成的函數(shù)空間。 若φ，?，f∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ，則將算子Wφ,?∶fa、i(f°φ)稱為加權(quán)復合算子。

加權(quán)復合算子Wφ，?作用在各種不同的函數(shù)空間上近年來一直是一個非常熱門的研究方向。 文獻[1-2]研究了加權(quán)復合算子Wφ,?作用在Hardy空間上的有界性等性質(zhì)。 文獻[3-4]還研究了Wφ,?作用在不同Bergman空間之間和不同Hardy空間之間的有界性和緊性等性質(zhì)。 文獻[5-7]研究了加權(quán)復合算子Wφ,?作用在Bloch型空間上的有界性、緊性和本性范數(shù)等性質(zhì)。

加權(quán)復合算子的研究來源是多方面的，其中最典型的是文獻[8]證明了H1空間上的線性等距變換都是加權(quán)復合算子，緊接著Forelli在文獻[9]中證明了當1≤p<∞，p≠2時，在Hp空間上也有同樣的結(jié)論。 文獻[10]也證明了Sp空間上的類似結(jié)論。 在加權(quán)Bergman空間上，文獻[11]得到了線性等距變換可以表示為加權(quán)復合算子的結(jié)論。

在加權(quán)復合算子Wφ,?中，如果φ(z)=z，則得到乘法算子M?∶fa、if；如果令?≡1，則得到復合算子Cφ∶fa° φ。 近幾十年，這兩種算子在各種不同的函數(shù)空間上的有界性和緊性等性質(zhì)一直是非常熱門的研究方向，可參考文獻[12-14]。而在Sp空間上的復合算子的研究則開始于Roan的文獻[15]。 隨后，MacCluer在文獻[16]中用Carleson測度刻畫了Sp空間上的復合算子的有界性和緊性。 一個非常有意義的創(chuàng)新是文獻[17]將Sp空間上的加權(quán)復合算子的有界性和緊性的研究轉(zhuǎn)化為Hp空間上的加權(quán)復合算子的有界性和緊性的研究。

本文受文獻[18]的啟發(fā)，給出了當φ是Δ上的共形滿射時該加權(quán)復合算子Wφ,?在Sp空間上的有界性的充要條件,從而推廣了文獻[18]的結(jié)論。

1 加權(quán)復合算子Wφ，?在Sp空間上的有界性

由文獻[19]可知，當1≤p≤∞時，Sp到圓盤代數(shù)Α上的嵌入映射是有界的且存在某個與p有關(guān)的常數(shù)kp>1，使得對于任意的f∈Sp，‖f‖≤kp‖f‖Sp。 下面的引理可參考文獻[20]:

引理1 若φ是Δ上的解析函數(shù)且φ(Δ)?Δ，p>0，則對于?f∈Hp，都有

我們證明下面的命題。

命題1 若1≤p≤∞，當φ是Δ上的共形滿射，f,g∈Sp時，以下結(jié)論成立：

(1)φ′∈H∞；

(2)存在某個與p有關(guān)的常數(shù)cp,φ>0，使得‖f° φ‖Sp≤cp,φ‖f‖Sp；

(3)‖fg‖Sp≤3(kp)2‖f‖Sp‖g‖Sp。

(2)當p=∞時，不等式是顯然的。 現(xiàn)考慮1≤p<∞的情況。 由引理1，我們有

‖f°φ‖Sp=|f°φ(0)|+‖(f°φ)′‖Hp

≤‖f‖+‖φ′(f′°φ)‖Hp

≤kp‖f‖Sp+‖φ′‖‖f′°φ‖Hp

≤kp‖f‖Sp+‖φ′‖

≤kp‖f‖Sp+‖φ′‖

≤cp,φ‖f‖Sp。

其中，cp,φ=kp+ ‖φ′‖

(3)‖fg‖Sp=|f(0)g(0)|+‖(fg)′‖Hp

≤‖f‖‖g‖+‖f′g+fg′‖Hp

≤(kp)2‖f‖Sp‖g‖Sp+‖f′g‖Hp+‖fg′‖Hp

≤(kp)2‖f‖Sp‖g‖Sp+‖f′‖Hp‖g‖+‖g′‖Hp‖f‖

≤(kp)2‖f‖Sp‖g‖Sp+kp‖f‖Sp‖g‖Sp+kp‖g‖Sp‖f‖Sp

≤ 3(kp)2‖f‖Sp‖g‖Sp。

證畢。

由命題1(3)可推出，Sp對于函數(shù)的乘法運算構(gòu)成一個Banach代數(shù)。

下面給出Sp空間中元素的基于有限零點的分解。

命題2 若1≤p<，f∈Sp，而ζ∈Δ是f的n階零點，那么存在g∈Sp，使得g(ζ)≠0且f(z)=(z-ζ)ng(z)，z∈Δ。

證明由ζ∈Δ是f的n階零點，故存在g∈H(Δ)，使得g(ζ)≠0且f(z)=(z-ζ)n·g(z)，z∈Δ。 下面證明g∈Sp。

證畢。

對于任意給定的z0∈Δ，由‖f‖≤kp‖f‖Sp可知，線性泛函Εz0∶fa(z0)作用在Sp(1≤p≤∞)空間上是有界的。 下面的推論給出了線性泛函Εz0與算子Mz-z0作用在Sp空間上的聯(lián)系。

推論2 若1≤p<∞，當線性泛函Εz0與算子Mz-z0作用在Sp空間上時，有：

Ker(Εz0)=Ran(Mz-z0) 。

證明對于任意的f∈Ker(Εz0)，由命題2，存在g∈Sp使得f(z)=(z-z0)g(z)，z∈Δ，即f∈Ran(Mz-z0)。 反過來則是顯然的。 證畢。

下面給出當φ是Δ上的共形滿射時加權(quán)復合算子Wφ,?在Sp空間上的有界性的充要條件。

定理1 當1≤p≤時，若φ,?∈H(Δ)，φ(Δ)?Δ，且φ是Δ上的共形滿射，則加權(quán)復合算子Wφ,?在Sp空間上是有界的當且僅當?∈Sp。

證明若Wφ,?是有界的，則取f=1，由‖φ‖Sp=‖Wφ,?f‖Sp≤‖Wφ,?‖<∞，可知?∈Sp。

現(xiàn)假設(shè)?∈Sp，則由命題1，有

‖Wφ,?f‖Sp=‖?f°φ‖Sp≤3(kp)2‖?‖Sp‖f°φ‖Sp≤3(kp)2‖?‖Sp·cp,φ‖f‖Sp。

亦即Wφ,?在Sp空間上是有界的。 證畢。

當取φ(z)=z，z∈Δ時，我們得到了關(guān)于乘法算子M?在Sp空間上有界性的充分必要條件：

推論3 當1≤p≤∞時，若?∈H(Δ)，則乘法算子M?在Sp空間上是有界的當且僅當?∈Sp。

參考文獻：

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