尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型

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(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，太原 030051；2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，太原 030001)

1 引 言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)中存在氣流導(dǎo)向的靜葉和對(duì)外做功的動(dòng)葉。當(dāng)動(dòng)靜葉相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上游葉片的尾流會(huì)使下游葉片的氣動(dòng)力產(chǎn)生周期性振蕩[1,2]，迫使下游葉片強(qiáng)迫振動(dòng)，如圖1所示。這是導(dǎo)致航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片疲勞破壞的重要原因。近年來的一些研究發(fā)現(xiàn)，周期變化的尾流甚至可以改變動(dòng)葉的顫振特性[3-7]。因此，研究上游尾流激勵(lì)下葉片的氣動(dòng)彈性振動(dòng)對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)有十分重要的意義。

圖1 上游尾流激勵(lì)的葉片

Fig.1 Blade under incoming wake

計(jì)算流體力學(xué)(CFD)和計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)(CSM)耦合的求解方法是研究葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)的主要方法，但其計(jì)算效率極低，對(duì)計(jì)算設(shè)備要求很高，很難在日常工程研究中應(yīng)用[8-11]。建立葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)精確高效的研究方法已成為航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中亟待解決的問題。

氣動(dòng)力降階模型(aerodynamic ROM)是描述葉片氣動(dòng)力和擾動(dòng)之間相互關(guān)系的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。其通過模型辨識(shí)，從已知的氣動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)中識(shí)別降階模型的主要參數(shù)，建立擾動(dòng)和氣動(dòng)力之間的函數(shù)關(guān)系。氣動(dòng)力降階模型的數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單，在氣動(dòng)彈性振動(dòng)時(shí)不需要進(jìn)行整個(gè)流場(chǎng)的氣動(dòng)重分析，所以計(jì)算量小、計(jì)算速度快，廣泛應(yīng)用于葉片顫振邊界的預(yù)測(cè)[8-17]。Silva[8]提出了基于Volterra級(jí)數(shù)的非線性氣動(dòng)力降階模型。張偉偉等[12-14,16]基于Volterra級(jí)數(shù)降階模型研究了葉柵的顫振性能。Ekici等[15]用諧波平衡方法研究了葉片顫振，認(rèn)為該方法的結(jié)果與勢(shì)流理論的結(jié)果符合較好。

現(xiàn)有氣動(dòng)力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及更為常見的上游尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)問題。本文建立了基于Volterra級(jí)數(shù)的尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型，并通過二維葉片的算例驗(yàn)證該降階模型方法的可行性。

2 尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型

Volterra級(jí)數(shù)可以用來描述任意復(fù)雜時(shí)變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系。對(duì)于均勻采樣的線性時(shí)變系統(tǒng)Ψ，可以用一階離散格式的Volterra級(jí)數(shù)表示為[8]

(1)

Volterra級(jí)數(shù)模型中的核函數(shù)可以用原系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)加以辨識(shí)，辨識(shí)方法包括脈沖信號(hào)法、階躍信號(hào)法以及白噪聲信號(hào)法等[8,12-15,16-18]。對(duì)核函數(shù)辨識(shí)的具體方法可參考系統(tǒng)辨識(shí)相關(guān)理論[18]。

葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)弱非線性系統(tǒng)，可以用一個(gè)定常的非線性解和若干個(gè)非定常線性解的疊加表示。為此，可以用一階Volterra級(jí)數(shù)降階模型表示尾流激勵(lì)和葉片氣動(dòng)力之間的相互關(guān)系。

本文建立基于一階Volterra級(jí)數(shù)的尾流激勵(lì)葉片氣動(dòng)力降階模型。為方便介紹，以二維葉片為例說明本文方法。尾流激勵(lì)的葉片流場(chǎng)系統(tǒng)如圖2所示。上游葉片以速度w沿著y向移動(dòng)，上游尾流的移動(dòng)導(dǎo)致下游葉片氣動(dòng)力的周期性振蕩。在這一氣動(dòng)力系統(tǒng)中，輸入為時(shí)變尾流的進(jìn)口總壓p和進(jìn)氣角β，輸出為葉片氣動(dòng)力，包括升力CL、力矩CM和阻力CD，如圖2所示。為簡(jiǎn)化問題，本文只考慮升力和力矩，則該系統(tǒng)可以表示為

{CL(t),CM(t)}=Ψ{p(y,t),β(y,t)}

(2)

(3)

將式(3)按照一階離散格式的Volterra級(jí)數(shù)展開，得到尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型為

圖2 尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)

Fig.2 Blade aerodynamic system under wake excitation

(4)

3 尾流激勵(lì)葉片的算例

按照前述方法，建立圖1下游葉片的氣動(dòng)力降階模型。穩(wěn)態(tài)進(jìn)口總壓120.5 kPa，穩(wěn)態(tài)進(jìn)氣角30°，尾流以10 m/s的速度沿著進(jìn)口y向移動(dòng)。取下游中間葉片的氣動(dòng)升力和力矩為輸出，下游進(jìn)口最下方點(diǎn)的總壓和進(jìn)氣角為輸入。用流場(chǎng)CFD模型分別計(jì)算總壓和進(jìn)氣角階躍信號(hào)下，中間葉片的氣動(dòng)升力和力矩，用階躍信號(hào)法辨識(shí)降階模型的核函數(shù)?？倝旱碾A躍信號(hào)為1 kPa，進(jìn)氣角的階躍信號(hào)為3°。核函數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖3所示。將辨識(shí)得到的核函數(shù)代入式(4)，得到尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型，可以用來預(yù)測(cè)任意尾流激勵(lì)下葉片氣動(dòng)力響應(yīng)。

圖3 總壓和進(jìn)氣角變化引起葉片氣動(dòng)力變化的核函數(shù)

Fig.3 Kernels of the aerodynamic forces of the blade due to total pressure and flow direction disturbances

圖4和圖5給出了一組真實(shí)尾流數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)減去了穩(wěn)態(tài)值。用所建立的氣動(dòng)力降階模型計(jì)算這組尾流下葉片的氣動(dòng)力，結(jié)果如圖6和圖7所示，該組數(shù)據(jù)也減去了穩(wěn)態(tài)值。為方便比較，圖中給出了在這組尾流下CFD模型計(jì)算得到的葉片氣動(dòng)力?？梢钥闯?，降階模型計(jì)算出的氣動(dòng)力與CFD模型的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同。說明該降階模型的方法能夠預(yù)測(cè)尾流對(duì)葉片氣動(dòng)力的影響。需要指出的是，該降階模型的計(jì)算時(shí)間少于1 s，而CFD模型的計(jì)算時(shí)間大于24 h。該方法非常適合需要反復(fù)迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

從圖6和圖7可以看出,降階模型的結(jié)果整體偏離均值，這與降階模型核函數(shù)的精度有關(guān)。雖然流場(chǎng)是弱非線性系統(tǒng)，但穩(wěn)態(tài)值和識(shí)別信號(hào)的選擇會(huì)對(duì)降階模型核函數(shù)的精度有一定的影響。圖8 給出了用不同穩(wěn)態(tài)總壓(111.3 kPa,118 kPa和120.5 kPa)和識(shí)別信號(hào)(1 kPa，2 kPa和3 kPa)的核函數(shù)計(jì)算得到的葉片升力?？梢钥闯?，雖然用不同核函數(shù)計(jì)算得到的氣動(dòng)力基本相同，但精度存在差異，需要進(jìn)一步研究。

圖4 尾流進(jìn)口總壓隨時(shí)間的變化規(guī)律

Fig.4 Time -history of total pressure of a wake

圖5 尾流進(jìn)氣角隨時(shí)間的變化規(guī)律

Fig.5 Time -history of inflow direction of a wake

將本文建立的氣動(dòng)力降階模型和已有的自振激勵(lì)的氣動(dòng)力降階模型[8-17]耦合，得到尾流和自振激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型，

(5)

圖6 尾流作用下葉片氣動(dòng)力矩的時(shí)間變化規(guī)律

Fig.6 Time -history of blade moment due to wake

圖7 尾流作用下葉片氣動(dòng)力升力的時(shí)間變化規(guī)律

Fig.7 Time -history of blade lift due to wake

圖8 穩(wěn)態(tài)總壓和識(shí)別信號(hào)對(duì)核函數(shù)精度的影響

Fig.8 Influence of the steady total pressure and identification signals on the accuracy of the kernels

將式(5)的氣動(dòng)力代入葉片結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，計(jì)算葉片振動(dòng)位移，如圖9所示?？梢钥闯觯~片的振動(dòng)頻率與氣動(dòng)力的頻率一致，說明在尾流的激勵(lì)下葉片出現(xiàn)了受迫振動(dòng)；葉片結(jié)構(gòu)振幅在逐漸收窄，說明初始突加載荷的影響正在逐漸消失，葉片-流場(chǎng)耦合系統(tǒng)穩(wěn)定，不會(huì)發(fā)生顫振。

為方便比較，圖9也給出了用CFD模型和結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程耦合求解得到的葉片振動(dòng)位移?？梢钥闯?該位移與降階模型的結(jié)果基本一致；隨著時(shí)間的增大，采用氣動(dòng)力降階模型計(jì)算得到的位移誤差增大。結(jié)合圖6和圖7的結(jié)果可知，這是由于氣動(dòng)力降階模型存在一定的誤差，而誤差隨著時(shí)間的推移正在逐漸積累。因此，應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步提高氣動(dòng)力降階模型的精度。

圖9 葉片y向位移的時(shí)間變化規(guī)律

Fig.9 Time -history of heave of the blade

4 結(jié) 論

氣動(dòng)力降階模型是一種高效的氣動(dòng)彈性振動(dòng)分析方法，現(xiàn)有的氣動(dòng)力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及上游尾流激勵(lì)的葉片振動(dòng)問題。本文基于一階離散格式的多輸入多輸出Volterra級(jí)數(shù)，建立了尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型，用于預(yù)測(cè)上游尾流引起的葉片氣動(dòng)力。

用流場(chǎng)進(jìn)口的總壓和進(jìn)氣角表示上游尾流，并根據(jù)尾流的時(shí)變是由于上下游葉片的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，用行波法將尾流輸入簡(jiǎn)化為進(jìn)口上一個(gè)點(diǎn)的總壓和進(jìn)氣角，并用階躍信號(hào)法識(shí)別了核函數(shù)。

通過提出的方法建立了一個(gè)描述二維葉片氣動(dòng)力和上游尾流關(guān)系的降階模型，并計(jì)算了一組真實(shí)尾流下葉片的氣動(dòng)力。與CFD的結(jié)果對(duì)比表明,該降階模型的結(jié)果與CFD的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同，說明本文的方法可行。

另外，氣動(dòng)力降階模型計(jì)算時(shí)間少于1 s，而采用CFD模型的計(jì)算時(shí)間大于24 h。所以，本文的尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型非常適用于需要反復(fù)迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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