廣義Riesz變換高階交換子的CBMO估計

鐘海萍, 周偉松, 張京友, 王興武

(1. 豫章師范學院 自然科學系, 江西 南昌 330103； 2. 重慶郵電大學 系統(tǒng)理論與應用研究中心, 重慶 400065； 3. 重慶三峽學院 數學與統(tǒng)計學院, 重慶 404000)

近年來,隨著偏微分方程、算子理論、多復變函數理論、位勢理論和幾何分析等學科的不斷發(fā)展,許多數學學者開始關注非光滑區(qū)域上的奇異積分或者非光滑核上的奇異積分理論,二階復函數橢圓型散度算子L有關的Riesz變換是其中一個典型的例子.

定義一個二階散度型橢圓算子Lf=-div(Af),A=A(x)是指一個定義在Rn上的復的、L系數的n×n矩陣，且滿足一致性橢圓條件:存在0<λ≤γ<，使得

其中ξ、ζ∈Cn.

定義Littlewood-Paley-Stein型函數Gf(f)為

由此利用算子的譜理論，定義算子L的廣義Riesz變換為

RL=

(1)

當L=-Δ，即Rn上的Laplacian算子，以上廣義Riesz變換是通常意義的Riesz變換.

設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核,相應的與CBMO函數b(x)生成的高階交換子

定義

(2)

設pt(x,y)是解析半群e-tL的熱核，若滿足A是實矩陣，或A是n≤2的復矩陣，或者當n≥3時核是H?lder連續(xù)的[1]，那么pt(x,y)具有Gaussian上界，即

(3)

由此，本文給出熱核的2個假定[2-3].

(a) 設全純半群為e-zL，|arg(z)|<π/2-θ核為az(x,y)，對所有的v>θ，核az(x,y)滿足Poisson上界.|arg(z)|

|arg(z)|<π/2-v，

(b) 算子L在L2(Rn)上滿足有界H全純演算.關于H全純演算相關定義定理參見文獻[1,4].

1 預備知識

定義1.1[9]設α∈R,0

其中

當p=時取通常意義的極限形式.

定義1.2[8]設1≤q<,稱f∈CBMOq(Rn)，如果有

‖f‖CBMOq=

其中B(0,r)={x∈Rn:|x|

引理1.1[1]設n≥2，L滿足(1)和(2)式，設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核，則存在常數c>0使得

引理1.2[3]設L滿足假定(a)和(b),那么是弱(1,1)型并且在Lq(Rn)上有界，其中1

引理1.3[8]設f∈CBMOq(Rn),1≤q<，r1,r2>0,t那么

2 主要結果及其證明

1

證明只考慮0

則有

E1+E2+E2.

(4)

對于E2，根據Minkowski和H?lder不等式,因此得到

mBk(b))|i‖Lq/i‖χk|(b(y)-

mBk(b))|m-i‖Lq/(m-i)‖fj‖Lq1≤

(5)

根據引理1.2有

(6)

對于E1,當x∈Ak,y∈Aj,注意到j≤k-2,2k-2≤|x-y|≤2k+1,根據Minkowski和H?lder不等式

E11+E12.

(7)

對于E11,由引理1.3得

(8)

令

因此得到

(9)

再應用引理1.1，有

(10)

因此

‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

(11)

對于E12,由引理1.3得

|(b(x)-mBj(b))|i×

(12)

令

類似于(10)式的估計得

(13)

因此得

‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

(14)

結合E11和E12的估計,得

令

(15)

(16)

對于E3,注意到k≤j-2,當x∈Ak,y∈Aj,有2j-2≤|x-y|≤2j+1.類似E1的估計過程,得到

(17)

(18)

定理2.1的證明完畢.

3 L2off-diagonal估計

設E,F為Rn上的閉子集，dist(E,F)表示集合E與F的歐氏距離,f是n-tupple函數.關于L2off-diagonal估計的引理如下.

引理3.1[5]設E和F是Rn上的閉子集，那么對于所有的t>0,有

‖f‖Lp(E),suppf?E;

‖f‖Lp(E),suppf?E;

‖f‖Lp(E), suppf?E;

‖f‖Lp(E),suppf?E,

定理3.1設RL如(2)式所定義,

λ≥0， 1

α2滿足

則有

Q1+Q2+Q3.

(19)

對于Q2,根據引理3.2以及H?lder不等式,類似E2的估計得到

(20)

對于Q1,注意到

x∈Ak， j≤k-2， y∈Aj,

2k-2≤|x-y|≤2k+1，

由Minkowski和H?lder不等式,得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤

(21)

根據引理3.1，得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(kn/q2-kn/2)×

(22)

(23)

最后估計Q3，注意到當x∈Ak,y∈Aj，k≤j-2,有

2j-2≤|x-y|≤2j+1,

由引理1.3類似于Q1,得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(k-j)(n/q1-n/2+α1)×

2-kα22jα1‖fj‖Lq1(Rn).

致謝重慶郵電大學博士啟動基金(A2016-80)和重慶郵電大學大學生科研訓練計劃項目(A2017-71)對本文給予了資助，謹致謝意.

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