基于ABAQUS的環(huán)面漸開線齒輪副傳遞誤差分析

伍紅平，劉雷

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

環(huán)面漸開線齒輪是一種對(duì)安裝誤差不敏感，具有良好的嚙合特性、較高的承載能力，并且加工便捷的新型齒輪[1-2]。該齒輪傳動(dòng)是一種凸—凹廓嚙合傳動(dòng)形式，環(huán)面漸開線齒輪的齒頂曲面和齒根曲面分別為外環(huán)面或內(nèi)環(huán)面的一部分，而環(huán)面由圓弧繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)形成。凸環(huán)面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸減小，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸增大；凹環(huán)面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸增大，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸減小。

本文以環(huán)面漸開線齒輪為研究對(duì)象(圖1、圖2)，基于有限元軟件重點(diǎn)研究了齒輪的傳遞誤差。對(duì)模型進(jìn)行了精確的有限元前處理以確保有限元分析的有效和準(zhǔn)確性；根據(jù)非線性靜力分析得到了環(huán)面漸開線齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差，以及轉(zhuǎn)矩對(duì)齒輪靜態(tài)傳遞誤差的影響；根據(jù)非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析，得到了環(huán)面漸開線齒輪的動(dòng)態(tài)傳遞誤差。環(huán)面漸開線齒輪傳遞誤差的分析對(duì)進(jìn)一步對(duì)其修形研究以及齒輪動(dòng)力學(xué)研究有重要意義。

圖1 凸環(huán)面漸開線齒輪示意圖

圖2 凹環(huán)面漸開線齒輪示意圖

1 齒輪傳遞誤差的概念

齒輪傳遞誤差主要由齒輪加工誤差、齒輪修形量、齒輪受載變形、齒輪軸彎曲變形引起的偏載等構(gòu)成。在本文所建立的有限元模型中只考慮齒輪受載變形對(duì)其傳遞誤差影響，其中包括彎曲變形和接觸變形。齒輪傳遞誤差的計(jì)算公式如下：

TE(um)=rp1θ1-rp2θ2

(1)

式中，rp1、rp2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的節(jié)圓半徑；θ1、θ2為兩齒輪轉(zhuǎn)過的角度。

齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差是齒輪系統(tǒng)噪聲的主要來源[3]，一般情況下，齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差較難準(zhǔn)確的分析和測(cè)量。但是動(dòng)態(tài)傳遞誤差是由靜態(tài)傳遞誤差引起的，通過減小靜態(tài)傳遞誤差能有效地減小動(dòng)態(tài)傳遞誤差，從而減小齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)噪聲。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪傳遞誤差有著大量的研究。傳遞誤差的分析有動(dòng)力學(xué)方程求解和有限元分析、實(shí)驗(yàn)測(cè)量等方法。Raul[4]在ABAQUS中建立了直齒圓柱齒輪的有限元模型，分析了轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、傳動(dòng)比等因素對(duì)齒輪靜態(tài)傳遞誤差和動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響，并對(duì)齒輪作了修形研究。唐進(jìn)元[5]提出了一種傳遞誤差的概念模型和力學(xué)模型,推導(dǎo)出了傳遞誤差的計(jì)算公式,并給出了傳遞誤差的一個(gè)計(jì)算實(shí)例。白玉田[6]利用有限元的方法計(jì)算出輪齒不同位置的嚙合剛度，并通過切片模型計(jì)算出齒輪嚙合過程中的傳遞誤差。張義民[7]通過有限元法分析了某斜齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差及動(dòng)態(tài)傳遞誤差，并分析了它們的主要頻率成分。汪中厚[8]等對(duì)螺旋錐齒輪的傳遞誤差有相關(guān)研究。張濤[9]等分析了制造誤差對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)性能的影響并指導(dǎo)齒輪的減振設(shè)計(jì)和精度設(shè)計(jì)。

2 環(huán)面漸開線齒輪有限元建模

環(huán)面漸開線齒輪幾何設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 環(huán)面齒輪基本參數(shù)表

通過環(huán)面齒輪的齒輪生成原理，建立凸、凹環(huán)面齒輪的齒面方程，在Matlab中生成齒面各點(diǎn)的坐標(biāo)值并導(dǎo)入Pro/E，建立完整的齒輪模型完成裝配并進(jìn)行必要的干涉檢查之后，將模型導(dǎo)出為.x_b格式并導(dǎo)入到ABAQUS中。在ABAQUS中進(jìn)行有限元前處理如下：

1) 網(wǎng)格劃分：因齒輪傳遞誤差受慣性影響，故建立兩個(gè)齒輪的完整模型?？紤]到計(jì)算精度及計(jì)算時(shí)間，對(duì)準(zhǔn)備參與嚙合的幾對(duì)輪齒做精細(xì)劃分，而其他不參與嚙合的輪齒網(wǎng)格較粗。網(wǎng)格劃分如圖3所示，單元類型為C3D8R。

圖3 環(huán)面漸開線齒輪網(wǎng)格劃分

2) 材料參數(shù)：齒輪材料選用45鋼，密度為7.8×10-9t/mm3。彈性模量和泊松比分別為210 000MPa、0.3。材料阻尼采用Ray-leigh阻尼，其中質(zhì)量矩陣系數(shù)α=0.03、剛度矩陣系數(shù)β=3×10-6。

3) 耦合關(guān)系：分別在凸環(huán)面齒輪和凹環(huán)面齒輪的軸線上定義剛體參考點(diǎn)(reference point)，參考點(diǎn)分別與兩齒輪內(nèi)圈建立耦合關(guān)系(coupling)并約束所有自由度。后續(xù)通過參考點(diǎn)對(duì)齒輪施加固定邊界條件及位移邊界條件。

4) 接觸對(duì)：選擇凸環(huán)面齒輪齒面為主面，凹環(huán)面齒輪齒面為從面。齒面間接觸的相互作用分為法向和切向作用，其中法向作用定義為“hard contact”,切向作用的摩擦系數(shù)設(shè)置為0.1。齒面接觸處采用有限滑移(finite sliding)的追蹤方式計(jì)算接觸表面之間的相對(duì)滑移。

3 環(huán)面漸開線齒輪副靜態(tài)傳遞誤差分析

對(duì)環(huán)面漸開線齒輪進(jìn)行非線性靜力學(xué)分析，從而分析其靜態(tài)傳遞誤差。

3.1 有限元設(shè)置

針對(duì)不同的分析任務(wù)，ABAQUS設(shè)置不盡相同，文中以凸環(huán)面齒輪作為主動(dòng)輪，凹環(huán)面齒輪作為從動(dòng)輪進(jìn)行約3個(gè)嚙合周期的靜態(tài)分析，設(shè)置如下：

1) 分析步設(shè)置：環(huán)面漸開線齒輪靜力學(xué)分析包括1個(gè)初始分析步和2個(gè)后續(xù)分析步。設(shè)置環(huán)面齒輪靜力學(xué)分析的后續(xù)分析步為Static，General類型。其中第1個(gè)后續(xù)分析步的作用是建立齒面接觸，其目的是使分析容易收斂，分析時(shí)間為1 s；第2個(gè)分析步為旋轉(zhuǎn)分析步，分析時(shí)間為0.2 s。由于齒面接觸問題為非線性問題，故2個(gè)分析步均設(shè)置為非線性分析。同時(shí)，需創(chuàng)建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)，追蹤目標(biāo)為上文的剛體參考點(diǎn)創(chuàng)建的節(jié)點(diǎn)集(Set)。為了控制角位移采樣的偏差，將初始時(shí)間增量和最大時(shí)間增量均設(shè)置為0.002 s，以確保至少有100個(gè)增量步。

2) 載荷及位移邊界條件設(shè)置：在初始分析步中約束主動(dòng)輪的所有自由度，約束從動(dòng)輪除軸向旋轉(zhuǎn)外的5個(gè)自由度；在接觸建立分析步中，對(duì)從動(dòng)輪采用光滑(smoothing)加載的方式施加80 N·m的轉(zhuǎn)矩以建立接觸；在旋轉(zhuǎn)分析步中，解除主動(dòng)輪的軸向旋轉(zhuǎn)自由度并添加1個(gè)角位移以驅(qū)動(dòng)其旋轉(zhuǎn)，角位移的大小為0.5 rad。

3.2 靜態(tài)傳遞誤差分析結(jié)果

讀取歷史輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進(jìn)行一定運(yùn)算處理后得到環(huán)面漸開線齒輪副在80N·m載荷下的靜態(tài)傳遞誤差如圖4所示。其靜態(tài)傳遞誤差為17.5μm，靜態(tài)相對(duì)傳遞誤差(峰-峰值差)為6.9μm。結(jié)合有限元后處理中的應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D知，在0～45ms(主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過角度<0.11rad)時(shí)，齒輪副處于雙齒嚙合區(qū)，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較小，這是由于雙齒嚙合區(qū)嚙合剛度較大；在45ms時(shí)(主動(dòng)輪約轉(zhuǎn)過0.11rad)凸齒輪的一個(gè)輪齒嚙出，齒輪副進(jìn)入單齒嚙合區(qū)，嚙合剛度顯著減小，此時(shí)傳遞誤差增大；在67ms時(shí)(主動(dòng)輪約轉(zhuǎn)過0.14rad)凹齒輪的一個(gè)輪齒嚙入，齒輪副重新進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)，嚙合剛度增大，傳遞誤差減小。

圖4 環(huán)面漸開線齒輪靜態(tài)傳遞誤差

3.3 數(shù)據(jù)可靠性驗(yàn)算

由于所分析環(huán)面漸開線齒輪副為點(diǎn)接觸，環(huán)面漸開線齒輪齒面較為復(fù)雜。為了驗(yàn)證有限元分析結(jié)果的可靠性，對(duì)環(huán)面漸開線單齒嚙合區(qū)的一個(gè)接觸對(duì)利用赫茲接觸理論進(jìn)行理論計(jì)算如下：

(2)

式中：p0為最大接觸應(yīng)力；

Q為接觸點(diǎn)處的法向接觸力；

a為接觸橢圓的長(zhǎng)半軸；

b為接觸橢圓的短半軸；

法向接觸力Q由轉(zhuǎn)矩以及接觸點(diǎn)的位置向量以及齒輪的單位法向而確定，a、b由接觸點(diǎn)的曲率半徑、主曲率方向、彈性模量以及Q等參數(shù)計(jì)算得到。

為了避免齒間載荷分配問題，選取單齒嚙合區(qū)的一個(gè)接觸點(diǎn)進(jìn)行理論計(jì)算。通過環(huán)面漸開線齒輪的齒面方程、彈性模量等參數(shù)計(jì)算得到此接觸點(diǎn)在80N·m載荷下的理論最大接觸應(yīng)力為629MPa，對(duì)比圖5中的有限元分析結(jié)果643MPa，理論結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，故認(rèn)為有限元在環(huán)面漸開線齒輪靜力學(xué)分析中可靠，通過有限元靜力學(xué)分析取得靜態(tài)傳遞誤差的方法是可行的。

圖5 轉(zhuǎn)矩對(duì)靜態(tài)傳遞誤差的影響

3.4 轉(zhuǎn)矩對(duì)靜態(tài)傳遞誤差的影響分析

為了分析不同轉(zhuǎn)矩對(duì)環(huán)面漸開線齒輪副靜態(tài)傳遞誤差的影響，采用相同的步驟在其他不同的轉(zhuǎn)矩下(20N·m、40N·m、60N·m、100N·m)進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到不同轉(zhuǎn)矩下該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪副的傳遞誤差如圖6所示。結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)隨著轉(zhuǎn)矩的增大靜態(tài)傳遞誤差也增大，傳遞誤差峰值位置及其變化趨勢(shì)相當(dāng)一致。為了進(jìn)一步了解靜態(tài)傳遞誤差與轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，在Matlab中對(duì)其進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖7。分析結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)，該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差隨著轉(zhuǎn)矩的增大線性增大，同時(shí)其相對(duì)傳遞誤差也隨著轉(zhuǎn)矩的增大而增大。

圖6 不同轉(zhuǎn)矩下的靜態(tài)傳遞誤差

圖7 轉(zhuǎn)矩對(duì)靜態(tài)傳遞誤差的影響

4 環(huán)面漸開線齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差分析

對(duì)環(huán)面漸開線齒輪進(jìn)行非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析，從而分析其動(dòng)態(tài)傳遞誤差。

4.1 有限元設(shè)置

1) 分析步設(shè)置：環(huán)面漸開線齒輪動(dòng)力學(xué)分析只包括一個(gè)初始分析步和一個(gè)后續(xù)分析步。設(shè)置環(huán)面齒輪靜力學(xué)分析的后續(xù)分析步為Dynamic，Implicit類型，并打開非線性。同樣動(dòng)力學(xué)分析也需創(chuàng)建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)進(jìn)行追蹤。根據(jù)下文設(shè)置的主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)速度(20 rad/s)，為保證有3個(gè)嚙合周期的仿真，將分析時(shí)間設(shè)置為0.025 s，將初始時(shí)間增量和最大時(shí)間增量均設(shè)置為0.000 1 s。

2) 定義接觸對(duì)：由于環(huán)面漸開線齒輪齒面的復(fù)雜性以及接觸問題易產(chǎn)生收斂問題，在隱式動(dòng)力學(xué)分析中將齒面間接觸屬性的法向作用由硬接觸(hard contact)更改為指數(shù)式(exponential)“軟”接觸，設(shè)置p=1 000，c=0.001；切向作用的摩擦系數(shù)仍設(shè)置為0.1。指數(shù)形式接觸[10]是指法向接觸間隙減小到c時(shí)，接觸面進(jìn)入接觸約束；接觸間隙減小到0時(shí)，接觸壓力為p；在接觸間隙為c到穿透距離為6c之間，接觸壓力與接觸間隙滿足指數(shù)關(guān)系；當(dāng)穿透距離大于6c時(shí)，接觸壓力與接觸間隙為線性關(guān)系。

3) 載荷及位移邊界條件設(shè)置：為了動(dòng)力學(xué)分析盡快進(jìn)入到平穩(wěn)狀態(tài)，在ABAQUS中創(chuàng)建預(yù)定義場(chǎng)(predefined Field)，設(shè)置主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為20 rad/s，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速由齒輪副的傳動(dòng)比計(jì)算得到，為-17.96 rad/s。在初始分析步中約束主動(dòng)輪和從動(dòng)輪除軸向旋轉(zhuǎn)外的5個(gè)自由度；在隱式動(dòng)力學(xué)分析步中，對(duì)主動(dòng)輪施加一個(gè)角速度驅(qū)動(dòng)，角速度大小為20 rad/s，對(duì)從動(dòng)輪施加80 N·m的轉(zhuǎn)矩。

4.2 動(dòng)態(tài)傳遞誤差分析結(jié)果

讀取輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進(jìn)行一定運(yùn)算處理后得到環(huán)面漸開線齒輪副在80N·m載荷、20rad/s的轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差并與靜態(tài)傳遞誤差對(duì)比如圖8。結(jié)果表明，在初始嚙合階段，由于嚙合的不平穩(wěn)，其動(dòng)態(tài)傳遞誤差有明顯的波動(dòng)，隨后在約0.001s(主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過0.02rad)后傳動(dòng)進(jìn)入平穩(wěn)階段。

對(duì)比動(dòng)態(tài)傳遞誤差和靜態(tài)傳遞誤差可知，在嚙合平穩(wěn)階段此工況條件下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差略小于靜態(tài)傳遞誤差，而其變化趨勢(shì)基本一致。但是由于有限元分析過程中接觸對(duì)設(shè)置的不同，以及齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差受到慣性、摩擦力、阻尼等因素影響，動(dòng)態(tài)傳遞誤差需進(jìn)行進(jìn)一步分析。

圖8 環(huán)面漸開線齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差

5 結(jié)語

由于環(huán)面漸開線齒輪齒面的復(fù)雜性，為了精確得到齒輪副的傳遞誤差，在有限元軟件中精確法建立了環(huán)面齒輪模型，通過非線性靜力學(xué)分析得到了其靜態(tài)傳遞誤差，通過非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析得到其動(dòng)態(tài)傳遞誤差。通過分析得到如下結(jié)論：

通過赫茲接觸理論的計(jì)算驗(yàn)證了齒面漸開線齒輪靜力學(xué)分析數(shù)據(jù)的可靠性。在環(huán)面漸開線齒輪嚙合過程中，在雙齒嚙合區(qū)嚙合剛度大，彈性變形較小，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較?。辉趩锡X嚙合區(qū)，嚙合剛度小，彈性變形較大，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較大。通過對(duì)不同轉(zhuǎn)矩下靜態(tài)傳遞誤差的分析，表明在一定范圍內(nèi)，隨著轉(zhuǎn)矩的增大，該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差線性增大，其相對(duì)傳遞誤差也增大。

文章還基于非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算了一種工況條件下環(huán)面漸開線齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差，結(jié)論表明在該工況下，動(dòng)態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差非常接近。

[1] 劉雷,黃因慧,田宗軍,等. 一種凹、凸環(huán)面漸開線齒輪及其設(shè)計(jì)、加工方法：中國, 專利201210081587.4[P]2012-03-26.

[2] 曹濤. 新型環(huán)面漸開線齒輪齒面生成與嚙合特性研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2014:5-6.

[3] J. Derek Smith. Gear Noise and Vibration [M]. 2nd ed. New York-Basel: Marcel Dekker Inc., 2003:2-11.

[4] Tharmakulasingam R. Transmission error in spur gears: Static and dynamic finite-element modeling and design optimization[D]． United Kingdom: Brunel University,2009:105-153.

[5] 唐進(jìn)元. 齒輪傳遞誤差計(jì)算新模型[J]. 機(jī)械傳動(dòng), 2008, 32(6):13-14.

[6] 白玉田, 任博文. 基于變剛度的齒輪傳遞誤差計(jì)算[J]. 大眾汽車, 2014(6):56-57.

[7] 張義民, 楊健, 胡鵬. 斜齒副傳遞有限元誤差分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2014(3):189-191.

[8] 汪中厚, 王杰, 王巧玲,等. 基于有限元法的螺旋錐齒輪傳動(dòng)誤差研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014(14):165-170.

[9] 張濤, 吳勇軍, 吳靜,等. 制造誤差影響齒輪副嚙合的接觸有限元分析方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015(3):43-50.

[10] 江丙云,孔祥宏,羅元元. CAE分析大系:ABAQUS工程實(shí)例詳解[M]. 北京：人民郵電出版社, 2015:129-130.