基于加權(quán)馬爾可夫鏈的榆林地區(qū)年降水狀態(tài)預(yù)測研究

苗正偉 徐利崗

(1.河北水利電力學(xué)院，河北 滄州 061001； 2.寧夏水利科學(xué)研究院，寧夏 銀川 750021)

0 引言

降水的科學(xué)預(yù)測，不僅可為制定水資源開發(fā)利用策略提供依據(jù)，又可為防災(zāi)、抗災(zāi)、減災(zāi)提供參考。由物理成因的定性分析及大量降水序列資料的統(tǒng)計分析得知，降水量可視為一列相依的隨機變量，其相依程度的強弱，可采用自相關(guān)系數(shù)作為其定量的測度[1]，基于此，可建立馬爾可夫鏈模型進行預(yù)測分析。但實際上，降水是一種非常復(fù)雜的自然現(xiàn)象，具有大量的不確定性因素，很難嚴格滿足“齊次性”[2]；同時，有研究表明：考慮隨機變量的中間過程狀態(tài)從而充分利用信息，可提高預(yù)測精度[3]，因此本文以降水量序列的規(guī)范化后的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)，建立加權(quán)馬爾可夫模型進行預(yù)測。

1 加權(quán)馬爾可夫鏈模型

其原理參見文獻[4]，基本步驟如下：

1)建立年降水量的分級標準[5]，從而確定降水序列的狀態(tài)空間?？梢詷颖镜木怠獦藴什顬闃藴?，將年降水序列劃分為五級，此時年降水序列的狀態(tài)空間E={1,2,3,4,5}。

2)按照上述分級標準確定資料序列中各年降水量的狀態(tài)，構(gòu)成年降水狀態(tài)序列。

3)計算一步轉(zhuǎn)移概率：對于降水狀態(tài)這一隨機變量，很難確定其準確的轉(zhuǎn)移概率，但樣本序列足夠長時，可用轉(zhuǎn)移頻率近似代替轉(zhuǎn)移概率，其計算公式如下：

(1)

其中，m為樣本序列的狀態(tài)個數(shù)；fij為樣本序列中年降水量從狀態(tài)i一步轉(zhuǎn)移到j(luò)的頻次；pij為由樣本序列統(tǒng)計得出的狀態(tài)i到j(luò)的一步轉(zhuǎn)移概率(頻率)。

4)對樣本序列做馬氏性檢驗[6]：當(dāng)樣本序列長度較大時，構(gòu)造服從自由度為(m-1)2的χ2分布的統(tǒng)計量：

(2)

其中，p*j為邊際頻率，計算公式如下：

(3)

給定顯著性水平α，查表可得分位點χ2((m-1)2)的值，若χ2>χ2((m-1)2)，則認為樣本序列具有馬氏性，可作為馬爾可夫鏈來處理。

5)計算各階自相關(guān)系數(shù)：

(4)

6)對各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化：

(5)

其中，ωk為步長為k的轉(zhuǎn)移概率的權(quán)重；b為按預(yù)測需要計算到的最大步長。

7)計算轉(zhuǎn)移矩陣：與式(4)同理，由樣本序列統(tǒng)計各狀態(tài)間各步長的轉(zhuǎn)移概率，各步長的轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成相應(yīng)步長的轉(zhuǎn)移矩陣，它決定了降水狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率法則。

關(guān)于擴大灌溉面積。第一，還是要堅持外延與內(nèi)涵相結(jié)合。內(nèi)涵就是對老的配套不完善的這些灌區(qū)進行挖潛改造，特別是著力解決好“最后一公里”的問題，這樣可以使有效灌溉面積得到恢復(fù)和改善。第二，在水土資源條件組合比較好、有開發(fā)利用潛力的地方，結(jié)合千億斤糧食生產(chǎn)規(guī)劃，大力發(fā)展灌溉面積。第三，大力推行節(jié)水措施，包括北方地區(qū)的節(jié)水、東北四省區(qū)的節(jié)水、西北地區(qū)的節(jié)水。第四，充分地調(diào)動農(nóng)民的積極性，調(diào)動社會的資金。比如像剛才郝益東同志提出，內(nèi)蒙古搞的大型噴灌，基本上很多都是用社會資金來搞的。還有水權(quán)置換，工業(yè)企業(yè)要上新項目，但是沒有用水指標，那么就支持河套灌區(qū)的農(nóng)業(yè)節(jié)水，通過節(jié)出來的水量發(fā)展工業(yè)項目。

9)將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)后求和：

(6)

則，max{pi，i∈E}所對應(yīng)的i即為該年年降水的預(yù)測狀態(tài)。若該年年降水狀態(tài)可確定，將其加入原序列，重復(fù)以上步驟進行下一年度的預(yù)測。

10)進一步對該馬爾可夫鏈的特征(非周期、遍歷性、平穩(wěn)分布等)進行分析。

2 榆林地區(qū)年降水狀態(tài)預(yù)測

于“中國氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)”下載了榆林地區(qū)1951年—2010年的逐月降水?dāng)?shù)據(jù)，并將之整理為年降水序列。首先以1951年—2008年的資料建立模型預(yù)測2009年的年降水狀態(tài)。

表1 榆林地區(qū)1951年—2008年降水量分級表

表2 榆林地區(qū)1951年—2008年降水量及其狀態(tài)

3)一步轉(zhuǎn)移概率及馬氏性檢驗。經(jīng)統(tǒng)計計算：

由表1知榆林地區(qū)年降水序列的狀態(tài)數(shù)m=5，給定顯著性水平α=0.05，查χ2分布分位數(shù)表可得χ2((5-1)2)=χ2(16)=26.296?？梢姡?>χ2(16)，因此，該時間序列具有馬氏性，即榆林地區(qū)1951年—2008年年降水狀態(tài)序列可視為馬爾可夫鏈。

4)計算各階自相關(guān)系數(shù)和權(quán)重，結(jié)果如表3所示。

表3 各階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重

5)對降水狀態(tài)序列進行統(tǒng)計計算，得步長從1～5的轉(zhuǎn)移概率矩陣：

6)根據(jù)2004年—2008年的年降水狀態(tài)預(yù)測2009年的年降水狀態(tài)，結(jié)果見表4。

表4 2009年年降水狀態(tài)預(yù)測

由表4可知max{pi，i∈E}=0.449，對應(yīng)的狀態(tài)為3，即榆林地區(qū)2009年年降水量狀態(tài)為3，平水年。榆林地區(qū)2009年的實際降水量為420.8 mm，由表1知，正屬于狀態(tài)3。預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果吻合。

7)以1951年—2009年的實測資料重復(fù)上述步驟預(yù)測2010年的降水狀態(tài)，結(jié)果見表5。

表5 2010年年降水狀態(tài)預(yù)測

由表5知，榆林地區(qū)2010年年降水量預(yù)測狀態(tài)為3，其實際降水量為363.9 mm，屬于平水年，預(yù)測與實際相吻合。

3 結(jié)論與展望

1)按照均值—標準差方法將榆林地區(qū)實測年降水序列劃分為豐水、偏豐、平水、偏枯、枯水年五種狀態(tài)，利用加權(quán)馬爾可夫鏈分別對2009年，2010年降水狀態(tài)進行預(yù)測，結(jié)果均與實測情況吻合，初步說明用加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測榆林地區(qū)的年降水狀態(tài)是可行的。

2)狀態(tài)標準的劃分有一定的隨意性，對結(jié)果會產(chǎn)生一定影響，如何更科學(xué)的劃分降水狀態(tài)有待于進一步探討。

3)馬爾可夫鏈的預(yù)測結(jié)果是一個區(qū)間，如何結(jié)合其他理論或方法進一步預(yù)測出較為精確的具體數(shù)值，從而拓展預(yù)測結(jié)果的適用范圍，值得進一步研究。

4)用馬爾可夫鏈進行預(yù)測的基本假設(shè)是：年降水狀態(tài)序列是齊次馬爾可夫鏈，但實際上這很難嚴格滿足：齊次馬氏鏈的統(tǒng)計特性完全取決于初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率，但對于年降水狀態(tài)序列卻很難獲得準確的轉(zhuǎn)移概率，只能用由足夠長的實際資料進行統(tǒng)計得出的轉(zhuǎn)移頻率代替轉(zhuǎn)移概率；齊次馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣等于一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次方，這對于由統(tǒng)計計算得出的各步轉(zhuǎn)移矩陣顯然是難以成立的。這些都會對預(yù)測精度產(chǎn)生影響，盡管引入了加權(quán)馬氏鏈，但這不能從根本上消弭不足。因此該方法對于水文時間序列預(yù)測的適用程度有待進一步檢驗。

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