基于鍵合圖理論的定軸齒輪傳動耗散特性研究

齊煥敏， 程聯(lián)社

（楊凌職業(yè)技術(shù)學院機電工程分院，陜西咸陽712100）

0 引 言

齒輪傳動是機械領(lǐng)域中最常見的一種傳動方式，由于齒面摩擦、時變剛度、齒側(cè)間隙等非線性因素的存在[1]，使得齒輪傳動的效率大打折扣。對任意一種傳動方式來說，均需在單個齒對傳動的基礎(chǔ)上來完成，對其動、靜態(tài)性能的研究顯得尤為重要。為此，國內(nèi)外學者提出了很多具有不同特點的力學方法及軟件，鍵合圖就是其中一種[2]。

系統(tǒng)鍵合圖以能量守恒的基本原則為依據(jù)，將整個系統(tǒng)由一些基本元件以一定的連結(jié)方式用規(guī)定的符號來表示[3]。近年來國內(nèi)外諸多學者將其用于機械系統(tǒng)的建模，進行運動學和動力學方面的研究。唐進元等[4]建立了含有間隙和摩擦的齒輪鍵合圖模型，但模型中沒有將摩擦力與主從動輪的嚙合聯(lián)系起來，有一定的局限性；張寶鋒等[5]構(gòu)建基于NGW型行星輪系的鍵合圖模型，以XP型和PX型單環(huán)路行星系統(tǒng)為例，計算其輸出轉(zhuǎn)速和嚙合傳動效率，但其研究范圍偏向于穩(wěn)態(tài)；何雅槐等[6]根據(jù)桿件的幾何關(guān)系，確定單個桿件質(zhì)心的運動規(guī)律與旋轉(zhuǎn)副或滑動副的關(guān)系，建立包含旋轉(zhuǎn)副或滑動副的鍵合圖模型及擺動導桿機構(gòu)的鍵合圖模型，為復(fù)雜平面連桿機構(gòu)鍵合圖建模提供一種新思路；陳素麗等[7]針對于齒條鉆機工作時的精確對中這一問題，提出了可以沿著鉆井架軌道自由升降的軌道鉗系統(tǒng)，并用鍵合圖理論建立了對應(yīng)數(shù)學模型并仿真，為升降系統(tǒng)的研制和控制提供技術(shù)指導。

在現(xiàn)有文獻中，專門用鍵合圖研究齒輪對之間摩擦耗散與效率之間的關(guān)系幾乎沒有，因此，本文根據(jù)單對齒輪嚙合的基本原理，建立齒輪內(nèi)外嚙合基于摩擦的基本鍵合圖模型，對不同嚙合狀態(tài)下齒輪嚙合耗散特性進行研究。并由此對定軸輪系耗散特性進行研究。

1 齒輪傳動嚙合過程

輪齒在嚙合過程中的一個嚙合周期是以雙齒共同承擔載荷開始，經(jīng)過單齒嚙合過程，最后以雙齒嚙合來結(jié)束。假定齒輪1、齒輪2分別為主、從動輪，結(jié)合陳立峰[8]提出的圓盤模型建立一對齒輪外嚙合與內(nèi)嚙合的運動學模型分別如圖1、圖2所示。

假設(shè)，主從動輪在K點嚙合，其速度分別為VK1和VK2，此時相對速度VS為

根據(jù)內(nèi)外嚙合的不同, 其嚙合線分別遵循式（2）、式（3）的關(guān)系

將整個嚙合線按照齒對所處位置不同分為4個區(qū)間，如圖3所示，其中1、4為雙齒嚙合區(qū)，2、3為單齒嚙合區(qū)。

2 單齒傳動耗散特性分析

圖1 齒輪外嚙合運動模型

結(jié)合圖1～圖2，將摩擦力對主動輪1 所做功率記為Pf1，對從動輪2 所做功率記為Pf2，可以得到:

式中：μ為摩擦因數(shù)，根據(jù)傳動條件及潤滑要求，可近似取平均摩擦因數(shù)來計算；F為相互嚙合時齒面所承受的載荷，與齒面法向總載荷FN有關(guān)；ρKN1、ρKN2為嚙合點K在兩圓盤上的曲率半徑，ρKN1=|KN1|，ρKN2=|KN2|。

圖2 齒輪內(nèi)嚙合運動模型

圖3 嚙合區(qū)間示意圖

在某一瞬時，嚙合中單個齒對的功率損耗Pf為主動輪與從動輪所受摩擦功率之和，于是齒輪傳動過程中單個齒對沿著嚙合線運動時的瞬時摩擦功耗Pf為

式中：i12= ±z2/z1，外嚙合取“-”，內(nèi)嚙合取“+”；F為齒面所受載荷，對其具體取值進行如下討論。在單齒嚙合區(qū)時，只有一個齒對進行嚙合，該齒對承受所有載荷，在雙齒嚙合區(qū)，前、后兩齒對共同分擔齒面所受載荷。將嚙合點K所在齒對所承受壓力F與齒面法向總載荷FN之間的關(guān)系用載荷分配系數(shù)β來表示，它們之間存在關(guān)系

式中：

以外嚙合為例，將嚙合點K在區(qū)間1、2、3、4不同位置時的嚙合傳動情況[9]如圖4所示。

本小節(jié)我們僅研究嚙合點K所在齒對的功率損耗情況，不考慮在嚙合過程中前一對或后一對的功率損耗。結(jié)合式（6）～式（9），輸入轉(zhuǎn)矩T1及速度ω1由系統(tǒng)給定，要確定損耗功率Pf，還需要確定參數(shù)包括：rb1、i12、|KN1|、|KN2|、|B2K|、|B2C|、|B2D|。

用基本的z、m、α、ha*、c*所有表示參數(shù)，具體的求解過程如下：

分度圓半徑：r1=mz1/2，r2=mz2/2；基圓半徑：rb1=r1cosα，rb2=r2cosα；齒頂圓半徑：ra1=r1+ha*m，ra2=r2+ha*m。

圖4 K在不同區(qū)間時嚙合傳動示意圖

記K在B2處剛進入嚙合時，主動輪壓力角：α1s=arctan(|N1B2|/rb1) ，一個周期內(nèi)，嚙合點K處主動輪壓力角：α1=α1s+ω1t，齒頂圓壓力角：αa1=arccos(α/ra1)，αa2=arccos(α/ra2)，基圓齒距：pb=πmcosα，在嚙合過程中，|N1B1|=rb1tanαa1，|N2B2|=rb2tanαa2。

當單齒對處于外嚙合狀態(tài)下時，有：

當處于內(nèi)嚙合狀態(tài)時，小齒輪為主動輪，有：

由此，將式（6）中所有未知參數(shù)表示出來，完成一個齒對在外嚙合或內(nèi)嚙合過程中的功率損耗情況分析。

3 單齒傳動鍵合圖仿真分析

為了對上述單齒對嚙合功率損耗分析的正確性進行驗證，假定z1=24，z2=81，模數(shù)m=2，壓力角α=20°。給定輸入轉(zhuǎn)矩TI=1 N·m，輸入轉(zhuǎn)速ω1=1 r/min，用20-sim軟件建立鍵合圖模型，對K點在一個周期內(nèi)任意位置的功率損耗及效率情況進行仿真。

建立單齒輪傳動鍵合圖模型如圖5所示。內(nèi)、外嚙合鍵合圖模型僅僅為參數(shù)設(shè)置上的不同。

圖5 單齒傳動鍵合圖模型

3.1 外嚙合狀態(tài)下仿真分析

記輸入功率和輸出功率分別為P1、P2，那么在嚙合過程中損耗的功率用P3=P1-P2表示，單位為W。外嚙合情況下單個齒對在嚙合線上運動時的功率損耗及效率曲線分別如圖6和圖7所示。

圖6 外嚙合功率損耗

圖7 單齒外嚙合效率

可以看出，當嚙合點處于中間節(jié)點P位置時，由于嚙合所引起的功率損耗最小，同時效率也最高，距離節(jié)點越遠，功率損耗越大，對應(yīng)的嚙合效率越小。

3.2 內(nèi)嚙合狀態(tài)下仿真分析

用同樣的方法對內(nèi)嚙合下單個齒對的功率損耗及效率曲線進行繪制，如圖8、圖9所示。

可以看出，在同樣的參數(shù)配比情況下，內(nèi)齒嚙合效率要高于外齒嚙合。由于圖6～圖9所示僅代表一個齒對在嚙合線上運動時的功率損耗及嚙合效率，事實上在一對齒輪進行傳動的過程中，存在雙齒嚙合區(qū)，兩個齒對的效率綜合起來將會是一對齒輪傳動的嚙合效率。

4 單對齒輪傳動功率損耗

圖8 內(nèi)嚙合功率損耗

圖9 單齒內(nèi)嚙合效率

對于由一對齒輪傳動組成的輪系，應(yīng)用上節(jié)所述的研究方法，在計算功率損耗時，不但要計算齒對K上的功率損耗，還要計算不同時刻可能出現(xiàn)的，其前一對或后一對齒的功率損耗情況。記齒對K的上一齒對為K1，下一齒對為K2，具體齒對在各個區(qū)間的嚙合情況在圖4中已經(jīng)表示，這時齒輪傳動中一對齒輪嚙合的功率損耗同樣為摩擦力對齒輪1與齒輪2做功之和。

1）當齒對K在區(qū)間1內(nèi)嚙合時，損耗功率為主動輪1在嚙合點K、K1處功率損耗與從動輪2在嚙合點K、K1處功率損耗之和，即

2）當齒對K在區(qū)間2、3內(nèi)嚙合時，損耗功率為主動輪1在嚙合點K處功率損耗與從動輪2在嚙合點K處功率損耗之和，即

3）當齒對K在區(qū)間4內(nèi)嚙合時，損耗功率為主動輪1在嚙合點K、K2時的功率損耗與從動輪2在嚙合點K、K2時功率損耗之和，即

結(jié)合圖4可知，齒對K在區(qū)間1內(nèi)時，有

齒對K在區(qū)間4內(nèi)時，有

結(jié)合以上分析，將式（10）～式（14）整理并化簡可得單對齒傳動時的瞬時損耗功率為Pf（β）=

式（15）同樣適用于內(nèi)嚙合，式中各參數(shù)的計算公式與2節(jié)中參數(shù)公式相同。

5 定軸齒輪傳動耗散彈性研究

定軸輪系中各齒輪對依次串聯(lián)，于是對于由n個齒輪對串聯(lián)而成的支路，其瞬時功率損耗應(yīng)為

用η～表示該串聯(lián)支路的效率，則

6 結(jié) 語

本研究從齒輪傳動的運動學模型入手，首先對嚙合點處于不同嚙合位置時的單齒傳動耗散特性進行研究，并通過建立鍵合圖軟件對其進行仿真分析，在此基礎(chǔ)上，對單對齒輪傳動瞬時功率損耗情況進行研究，并得出定軸輪系在任意瞬時的效率計算方法。

本文假定機械傳動的摩擦因數(shù)為定值，后續(xù)研究應(yīng)根據(jù)齒輪具體工作環(huán)境及試驗條件來選擇合適的摩擦因數(shù)值，進行更精確的分析。在此基礎(chǔ)上，可將該模型推廣至周轉(zhuǎn)、差動傳動的分析中，為輪系的研究提供新的思路。