多航天器反步滑模SO(3)協(xié)同控制

馬鳴宇，董朝陽，馬思遷，王 青

(1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100191；2. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854；3. 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191)

0 引 言

多航天器系統(tǒng)通過航天器之間信息交互和協(xié)同工作組成，與傳統(tǒng)的單個航天器相比，具有成本低、研制周期短、應用方式靈活等優(yōu)點，可以更為有效地進行工作，在深空探測[1]、交會對接[2]、對地測量[3]方面更具應用價值。姿態(tài)協(xié)同是指通過設計恰當?shù)膮f(xié)同控制律，對航天器之間的相對姿態(tài)進行協(xié)調，使各航天器姿態(tài)保持一致，進而完成復雜任務。在航天器控制領域，姿態(tài)協(xié)同具有重要的研究意義和廣泛的應用前景[4-6]。

在協(xié)同控制問題中，多航天器系統(tǒng)模型由每個航天器的姿態(tài)描述和相互之間的拓撲組成，需要根據(jù)航天器之間的通信拓撲利用相鄰航天器的狀態(tài)信息構造控制器，是一種分布式的控制方法[7]。在此情形下，文獻[8]結合反步法在解決多變量解耦非線性控制方面的優(yōu)勢，提出多歐拉-拉格朗日系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤方法。文獻[9-10]研究了多航天器編隊的有限時間控制問題。適用于多個航天器的抗飽和容錯控制等問題在文獻[11]得到研究。文獻[12]結合二階多智能體一致性協(xié)議，提出多航天器編隊循環(huán)追蹤算法。但在現(xiàn)有的大部分文獻[8-15]中，姿態(tài)通常采用俯仰/偏航/滾轉三通道角度模型[13]、四元數(shù)模型[11]和羅格里德參數(shù)(MRPs)[12,14-15]來描述，而這三種模型均存在有一定的局限性：歐拉角表示方法在姿態(tài)角360°大范圍變化時會產生奇異，使得采取角度模型所設計的控制器只適用于一定范圍內。四元數(shù)方法避免了角度更新過程中的奇異問題，但四元數(shù)到旋轉矩陣的映射不具有惟一性，在控制過程中可能導致姿態(tài)散開，引起系統(tǒng)性能下降[16-17]。MRPs模型也同樣存在非全局與不唯一問題。考慮到這些不足，文獻[18]提出了基于特殊正交群(Special Orthogonal Group, SO(3))的姿態(tài)建模與控制方法。針對單個體控制對象，文獻[18]基于SO(3)研究了3D擺的姿態(tài)控制問題，文獻[19]進一步結合SO(3)模型提出面向航天器的跟蹤與全局鎮(zhèn)定方法。文獻[20]提出采用旋轉矩陣描述姿態(tài)的單個航天器跟蹤控制方法，克服了姿態(tài)展開現(xiàn)象。文獻[21]考慮單個無人機的姿態(tài)大角度跟蹤問題，設計了SO(3)滑模變結構姿態(tài)控制器。文獻[22-23]研究了李群上多個剛體的姿態(tài)建模問題，但要求拓撲是強連通或是無向的。SO(3)方法能夠進行整體描述從而使模型和設計過程得到簡化，相比傳統(tǒng)區(qū)分通道分別設計的方法更為統(tǒng)一，且不存在姿態(tài)動力學中的奇異問題，更適用于多航天器協(xié)同控制。

值得注意的是，基于SO(3)的相關控制方法目前仍有一些問題需要解決：一是現(xiàn)有的SO(3)方法多考慮的是以單個航天器為對象的控制問題，而對于多個航天器SO(3)協(xié)同控制的研究還比較有限，而SO(3)誤差具有多種不同形式[24]，在存在信息交互的多航天器系統(tǒng)中SO(3)指令和控制器形式都需要重新設計；二是SO(3)方法雖然能夠避免姿態(tài)動力學更新過程中的奇異問題，在指令和實際姿態(tài)相差180°時誤差方程中會出現(xiàn)矩陣不可逆的情形[25]，使得現(xiàn)有SO(3)控制器大多為誤差的線性反饋形式[26-27]，限制了非線性方法的應用。滑?？刂品椒ň哂惺諗克俣瓤?、動態(tài)性能好等優(yōu)點，因此在文獻[9-10,28-29]都取得有效的應用。但是，如前文所述，這些文獻中的滑?？刂品椒ň谒脑獢?shù)或MRPs基礎上提出，存在一定的局限。同時，SO(3)的特殊性使得滑模方法很難直接應用于多航天器SO(3)姿態(tài)模型。

為了解決這些問題，本文考慮將SO(3)模型引入多航天器系統(tǒng)，提出基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制方法。注意到SO(3)形式與傳統(tǒng)姿態(tài)描述不同，文中首先對多航天器系統(tǒng)中SO(3)協(xié)同指令進行研究，根據(jù)通信拓撲結構設計了一種采用旋轉矩陣形式的姿態(tài)指令，進一步定義了SO(3)上的協(xié)同誤差。為避免控制器奇異，結合反步法思想采用不同的滑模面得到了SO(3)非線性協(xié)同控制器，并給出了穩(wěn)定性證明。文中使用包含五個航天器的協(xié)同控制系統(tǒng)對所提方法進行了仿真，仿真結果與理論分析相符，校驗了基于SO(3)協(xié)同控制方法能夠避免奇異問題，實現(xiàn)多航天器穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同。

1 多航天器姿態(tài)協(xié)同系統(tǒng)建模

1.1 航天器SO(3)模型

在三維空間中，航天器本體坐標系與慣性系之間的轉換關系可以使用一個正交變換矩陣R來表示，而這些正交變換矩陣構成了特殊正交群SO(3)：

SO(3)={R∈R3×3|RRT=I3,detR=1}

(1)

對于給定的航天器姿態(tài)均對應SO(3)中的一個元素R，即航天器的姿態(tài)可以通過R進行建模。設Ω=[ω1ω2ω3]T，定義hat映射為：

(2)

hat映射將任意三維向量映射為三維反對稱矩陣。其逆運算稱為vee映射，記為∨：

(3)

根據(jù)以上定義，考慮含有N個航天器的協(xié)同控制系統(tǒng)，其中第i個航天器的姿態(tài)模型可以描述為：

(4)

式中，R∈SO(3)為航天器本體坐標系到慣性坐標系的旋轉矩陣，Ωi∈R3為航天器的角速度，Ji∈R3為航天器的轉動慣量，Mi∈R3為控制輸入力矩。

1.2 航天器通信拓撲描述

2 SO(3)姿態(tài)協(xié)同指令設計與誤差方程

(5)

(6)

(7)

在得到協(xié)同指令Rdi后，需要將實際姿態(tài)Ri與指令信號Rdi之間的誤差轉換到R3空間中以構造控制器。由vee映射定義SO(3)中姿態(tài)誤差為：

(8)

同時，由于

(9)

選取角速度誤差eΩi為

(10)

基于上述SO(3)中姿態(tài)誤差模型，下面對誤差的狀態(tài)方程進行推導。

(11)

進一步，對eRi求導并代入可得：

(12)

同樣，對eΩi求導可得：

(13)

(14)

3 基于反步滑模的SO(3)控制器設計

在非線性模型和的基礎上，記：

(15)

(16)

則航天器i的SO(3)誤差模型可以用如下方程表示：

(17)

(18)

式中，

γi(t)=

(19)

于是，該步的虛擬控制量就可以設計為：

(20)

考慮對虛擬控制量的跟蹤誤差，選取滑模面s2i為：

(21)

(22)

(23)

(24)

選取期望的滑模面趨近律為：

(25)

Mi= -Ji(K2is2i+P2i|s2i|1/2°sgn(s2i)+

(26)

(27)

Mi= -Ji(K2is2i+P2i|s2i|1/2°sgn(s2i)+

(28)

4 協(xié)同穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中，以定理的形式給出了所提SO(3)協(xié)同控制方法的穩(wěn)定性結論。

定理1. 考慮N個航天器組成的系統(tǒng)(4)，若航天器之間的通信拓撲包含生成樹，那么根據(jù)所設計的協(xié)同指令(5)-(7)與滑?？刂破?26)和(28)，多航天器系統(tǒng)能夠實現(xiàn)指令跟蹤，達到穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同。

證. 證明主要分為兩個部分，首先證明滑模控制器能夠完成對協(xié)同指令信號的有效跟蹤，進一步證明所設計的協(xié)同指令和控制器能夠實現(xiàn)多航天器之間有效的姿態(tài)協(xié)同。

(29)

(30)

(31)

注2. 面向多航天器的SO(3)控制方法研究了與針對個體的SO(3)方法有較大不同。除了要考慮自身狀態(tài)以外，有向拓撲結構的出現(xiàn)使得指令與控制器的設計需要利用有限的相鄰航天器狀態(tài)信息。此外的不同之處在于，在基于SO(3)的協(xié)同控制問題中還需要研究有效的協(xié)同指令。而姿態(tài)指令Rdi的設計要求在能夠使得航天器實現(xiàn)協(xié)同的同時，須滿足Rdi屬于SO(3)的條件，而通常在姿態(tài)角或四元數(shù)模型中采用相鄰航天器信息線性組合的方式不滿足此要求。因此，在文中在考慮協(xié)同指令時，在式(5)-(7)中對Rdi各列向量進行向量積運算，保證向量之間的正交性后做歸一化處理，使得Rdi∈SO(3)。得這也是多航天器協(xié)同控制設計所需要解決的關鍵步驟。

5 仿真校驗

為了驗證所設計的基于SO(3)的協(xié)同控制器的有效性，在本節(jié)中給出兩個算例進行仿真分析。

算例1 在本算例中，考慮由5個航天器組成的協(xié)同控制系統(tǒng)，各航天器的參數(shù)和初始值在表1中給出。

表1 航天器參數(shù)與初始條件Table 1 Parameters and initial conditions of spacecraft

初始姿態(tài)對應的R陣為：

航天器之間的有向通信拓撲如圖1所示。對應的圖為：a14=0.58,a23=0.33,a25=0.11,a32=0.25,a41=0.21,a43=0.4,a51=0.37。

圖1 航天器之間的通信拓撲Fig.1 Communication topology between spacecrafts

進一步，采用文中所設計的控制器和進行仿真。控制器參數(shù)設置為：K1i= diag(1.15, 1.15, 1.15)，K2i=diag(0.15,0.15,0.15)，P1i= 10-2×diag(3, 3, 3)，P2i= 10-2×diag(3, 3, 3)。仿真結果在圖2～圖5中給出。

需要注意的是，在控制器設計與仿真過程中，姿態(tài)均使用SO(3)中的R矩陣來表示，而為了方便結果展示，文中將R轉換成姿態(tài)角度：圖2～圖4分別給出了各航天器俯仰、偏航和滾轉角隨時間變化曲線。從圖2～4中可以看出，在初始姿態(tài)角度小于90°時，各航天器能夠以較快速度收斂實現(xiàn)姿態(tài)協(xié)同。

文中以航天器5為例在圖5中給出了其控制輸入的變化情況，其它航天器與之類似。由圖可見航天器控制力矩符合實際情況，在約10 s后收斂為0，與姿態(tài)變化趨勢相符，協(xié)同性能良好。

圖2 各航天器俯仰角變化曲線Fig.2 Illustration of the pitch angles of spacecraft

圖3 各航天器偏航角變化曲線Fig.3 Illustration of the yaw angles of spacecraft

圖4 各航天器滾轉角變化曲線Fig.4 Illustration of the roll angles of spacecraft

圖5 航天器5的控制力矩Fig.5 Control input of the 5th spacecraft

為了定量描述姿態(tài)協(xié)同的準確程度，引入?yún)f(xié)同誤差函數(shù)Qa來表示多航天器之間的姿態(tài)差異，而通過Qa值的變化反映協(xié)同控制效果。定義Qa為：

(32)

式中，εi=ri-r1,ri=[θiψiφi]T,θi、ψi和φi分別為航天器的俯仰角、偏航角和滾轉角。同時，為了說明本文基于SO(3)協(xié)同控制方法的優(yōu)勢，文中采用相同初始條件和參數(shù)進行了對比仿真，如圖6所示。其中，方法1為本文方法；文獻[11]基于四元數(shù)模型采用了滑?？刂破?，記為方法2；方法3為文獻[6]中使用MRPs姿態(tài)模型的有限時間協(xié)同控制方法。

從圖中可以看出，姿態(tài)協(xié)同誤差隨著時間的增長逐漸收斂為0，說明各航天器實現(xiàn)了姿態(tài)協(xié)同。各個方法的Qa收斂到1°的時間分別為4.89 s，5.15 s和9.29 s，驗證了所設計的SO(3)滑?？刂品椒ǖ目焖傩院陀行浴?/p>

算例2 進一步，為了驗證所提出的SO(3)協(xié)同控制方法在航天器姿態(tài)大范圍變化時的適用性和優(yōu)勢，在本算例中進一步設置各航天器具有較大的初始姿態(tài)，且航天器之間相對姿態(tài)相差較遠。算例2中各航天器的初始值在表2中給出，拓撲結構等其他參數(shù)與算例1中相同。

表2 航天器初始條件Table 2 Initial conditions of spacecraft

針對此時大姿態(tài)角度的情形，同樣將仿真結果轉換為姿態(tài)角并在圖6～圖9中給出，控制輸入曲線在圖10中給出。需要注意的是，在傳統(tǒng)方法中采用姿態(tài)角描述姿態(tài)時，為了保證姿態(tài)與角度的一一對應，通常定義[30]俯仰角θ∈(-180°,180°]，偏航角ψ∈(-90°,90°]，滾轉角φ∈(-180°,180°]。在此種定義下，即使相鄰兩個時刻姿態(tài)是連續(xù)變化的，但由于定義范圍的限制，在運行過程中也可能會出現(xiàn)姿態(tài)角度“跳變”的情況。如圖8所示，航天器2的偏航角在仿真開始后逐漸減小，在0.5 s附近由于達到定義域下界而產生了“跳變”，同時引起滾轉角發(fā)生變化以滿足定義域要求。

圖6 姿態(tài)誤差Qa對比曲線Fig.6 Comparative results of the attitude errors Qa

圖7 各航天器俯仰角變化曲線Fig.7 Illustration of the pitch angles of spacecraft

圖8 各航天器偏航角變化曲線Fig.8 Illustration of the yaw angles of spacecraft

圖9 各航天器滾轉角變化曲線Fig.9 Illustration of the roll angles of spacecraft

圖10 航天器5的控制力矩Fig.10 Control input of the 5th spacecraft

作為對比，圖11中給出了采用R∈SO(3)描述的航天器姿態(tài)變化情況。記Rij為R中的第i行第j列的元素，由于R23包含了三通道姿態(tài)角的信息，因此選取R中的元素R23進行觀察。從圖11中可以看出實際上航天器的姿態(tài)并未發(fā)生“跳變”，是連續(xù)變化的。相比之下，圖8中的姿態(tài)角不連續(xù)是由于其定義范圍造成的，而在姿態(tài)角大范圍變化時出現(xiàn)的“跳變”情況會使得傳統(tǒng)基于姿態(tài)角的控制器很難繼續(xù)有效工作。這也對比說明了SO(3)方法的優(yōu)勢。結合圖7至圖10可以看出，本文提出的基于SO(3)的協(xié)同控制避免了奇異問題，在航天器大姿態(tài)角運動時仍能夠實現(xiàn)穩(wěn)定的姿態(tài)協(xié)同，驗證了所設計方法的適用性和有效性。

圖11 采用SO(3)描述的航天器姿態(tài)變化曲線Fig.11 Attitudes of spacecraft on SO(3)

6 結 論

本文在考慮有向通信拓撲的情況下，建立了多航天器系統(tǒng)SO(3)非線性模型。利用相鄰航天器的狀態(tài)信息設計了旋轉矩陣形式的姿態(tài)協(xié)同指令，并在保證指令屬于SO(3)群的基礎上，給出了SO(3)協(xié)同誤差表示。進一步結合反步法，在協(xié)同誤差較大時，采用無奇異滑模面構造非線性協(xié)同控制器；而在協(xié)同誤差較小時，切換到無補償項的滑模面以使得誤差快速收斂到零，保證了姿態(tài)全局范圍內的無奇異性和收斂性。仿真結果驗證了本文方法能夠有效地實現(xiàn)多航天器姿態(tài)協(xié)同。

參 考 文 獻

[1] 曲成剛, 曹喜濱, 張卓, 等. 行星表面多漫游器編隊探測系統(tǒng)的分布式H∞控制器設計[J]. 宇航學報, 2015, 36(5): 539-548. [Qu Cheng-gang, Cao Xi-bin, Zhang Zhuo, et al. DistributedH∞controller design for planetary multirover formation[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(5): 539-548.]

[2] 梁斌, 高學海, 潘樂, 等. GEO編隊空間機器人系統(tǒng)交會方法[J]. 宇航學報, 2016, 37(2): 182-188. [Liang Bin, Gao Xue-hai, Pan Le, et al. A formation rendezvous method of space robotic system for on-orbit service of GEO[J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(2): 182-188.]

[3] 張保群, 宋申民, 陳興林. 考慮控制飽和的編隊飛行衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制[J]. 宇航學報, 2011, 32(5): 1060-1069. [Zhang Bao-qun, Song Shen-min, Chen Xing-lin. Attitude coordination control of formation flying satellites under control saturation[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(5): 1060-1069.]

[4] Zheng Z, Xu Y, Zhang L, Song S. Decentralized attitude synchronization tracking control for multiple spacecraft under directed communication topology[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2016, 29(4): 995-1006.

[5] Chen T, Wen H, Hu H, Jin D. Distributed finite-time tracking for a team of planar flexible spacecraft[J]. ISA Transactions, 2017, 69: 214-221.

[6] 張海博, 胡慶雷, 馬廣富, 等. 多航天器系統(tǒng)分布式有限時間姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制[J] 控制與決策, 2014, 29(9):1593-1598. [Zhang Hai-bo, Hu Qing-lei, Ma Guang-fu, et al. Distributed finite-time attitude coordinated tracking control for multiple spacecraft systems[J]. Control and Decision, 2014, 29(9): 1593-1598.]

[7] 王婷, 張羽飛. 等質量立體五星庫侖編隊飛行的分析與控制[J]. 宇航學報, 2015, 36(11): 1279-1288. [Wang Ting，Zhang Yu-fei. Analysis and control for three dimensional five-satellite coulomb formation flight in geostationary earth orbit[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(11): 1279-1288.]

[8] Sun Y, Wang W, Ma G, et al. Backstepping-based distributed coordinated tracking for multiple uncertain Euler-Lagrange systems[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2016, 27(5): 1083-1095.

[9] Lyu J, Qin J, Ma Q, et al. Finite-time attitude synchronisation for multiple spacecraft[J]. IET Control Theory & Applications, 2016, 10(10): 1106-1114.

[10] Ran D, Chen X, Misra A K. Finite time coordinated formation control for spacecraft formation flying under directed communication topology[J]. Acta Astronautica, 2017, 136: 125-136.

[11] Huang D, Wang Q, Duan Z. Distributed attitude control for multiple flexible spacecraft under actuator failures and saturation[J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 88(1): 529-546.

[12] 羅建軍, 周亮, 蔣祺祺, 等. 航天器編隊的六自由度循環(huán)追蹤協(xié)同控制[J]. 宇航學報, 2017, 38(2): 166-175. [Luo Jian-jun, Zhou Liang, Jiang Qi-qi, et al. 6 DOF coordinated control using cyclic pursuit for spacecraft formation[J]. Journal of Astronautics, 2017, 38(2): 166-175.]

[13] Du H, Zhu W, Wen G, Wu D. Finite-time formation control for a group of quadrotor aircraft[J]. Aerospace Science and Technology, 2017, 69: 609-616.

[14] Yang H, You X, Hua C. Attitude tracking control for spacecraft formation with time-varying delays and switching topology[J]. Acta Astronautica, 2016, 126: 98-108.

[15] Zhang K, Demetriou M A. Adaptation and optimization of the synchronization gains in the adaptive spacecraft attitude synchronization[J]. Acta Astronautica, 2015, 46: 116-123.

[16] 何朕, 王廣雄. 姿態(tài)控制中的散開現(xiàn)象[J]. 機電與控制學報, 2015, 19(7):101-105. [He Zhen, Wang Guang-xiong. Unwinding phenomenon in attitude control[J]. Electric Machines and Control, 2015, 19(7): 101-105.]

[17] Mayhew C G, Sanfelice R G, Teel A R. Quaternion-based hybrid control for robust global attitude tracking[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2011, 56 (11): 2555-2566.

[18] Chaturvedi N A. Global Dynamics and Stabilization of Rigid Body Attitude Systems[D]. Ann Arbor: University of Michigan, 2007.

[19] Sanyal A, Fosbury A, Chaturvedi N, et al. Inertia-free spacecraft attitude tracking with disturbance rejection and almost global stabilization[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2009, 32(4): 1167- 1178.

[20] 鄭重, 宋申民. 基于旋轉矩陣描述的航天器無角速度測量姿態(tài)跟蹤無源控制[J]. 控制與決策, 2014, 29(9): 1628-1632. [Zheng Zhong, Song Shen-min. Rotation matrix based passive attitude tracking control of spacecraft without angular velocity measurements [J]. Control and Decision, 2014, 29(9): 1628-1632.]

[21] 劉錦濤, 吳文海, 李靜, 等. 四旋翼無人機SO(3)滑模變結構姿態(tài)控制器設計[J]. 控制與決策, 2016, 31(6): 1057-1064. [Liu Jin-tao, Wu Wen-hai, Li Jing, et al. Sliding mode variable structure attitude controller design of quadrotor UAVs on SO(3)[J]. Control and Decision, 2016, 31 (6): 1057-1064.]

[22] Weng S X, Dong Y, Yang T C. Coordinated attitude motion control of multiple rigid bodies on manifold SO(3)[J]. IET Control Theory and Applications, 2013, 7(16): 4984-1991.

[23] Hatanaka T, Igarashi Y, Fujita M, et al. Passivity-based pose synchronization in three dimensions[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, 57(2): 360-375.

[24] Lee T. Exponential stability of an attitude tracking control system on SO(3) for large-angle rotational maneuvers[J]. Systems and Control Letters, 2012, 61 (1): 231-237.

[25] Fernando T, Chandiramani J, Lee T, et al. Robust adaptive geometric tracking controls on SO(3) with an application to the attitude dynamics of a quadrotor UAV[C]. The 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, Florida, USA, December 12-15, 2011.

[26] Lee T. Global exponential attitude tracking controls on SO(3)[J], IEEE Transactions on Automatic Control, 2015, 60(10): 2837-2842.

[27] Dong R, Geng Z. Consensus based formation control laws for systems on Lie groups[J]. Systems & Control Letters, 2013, 62(2): 104-111.

[28] 張永合, 梁旭文, 張健, 等. 無阻力雙星串行編隊相對位置有限時間控制[J], 宇航學報, 2015, 36(8): 923-931. [Zhang Yong-he, Liang Xu-wen, Zhang Jian, et al. Finite-time relative position control for drag-free dual-satellite serial-formation[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(8): 923-931.]

[29] Wu B, Wang D, Poh E K, Decentralized sliding-mode control for attitude synchronization in spacecraft formation[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2013, 23: 1183-1197.

[30] 吳森堂, 費玉華. 飛行控制系統(tǒng)[M]. 北京: 北京航天航天大學出版社, 2005: 56-58.