分布式天線組陣優(yōu)選設(shè)計(jì)

詹亞鋒，段超偉，孔謙

（清華大學(xué) 宇航中心，北京 100084）

0 引 言

隨著深空探測(cè)的不斷發(fā)展，探測(cè)器逐步飛向太陽(yáng)系的邊緣[1]。相應(yīng)地，地面接收到探測(cè)器的信號(hào)隨著探測(cè)距離的增大而變得越來(lái)越微弱；另一方面，數(shù)據(jù)傳輸速率需求隨著探測(cè)能力的增強(qiáng)而不斷提高。因此，高效的測(cè)控通信對(duì)于未來(lái)深空探測(cè)而言至關(guān)重要。

為了有效補(bǔ)償探測(cè)距離遙遠(yuǎn)所帶來(lái)的信噪比損失，目前常見(jiàn)的措施有：增大探測(cè)器和地面天線口徑、提高探測(cè)器射頻功率、采用高性能編碼，如LDPC（Low Density Parity Check Code）、提高載波頻率、降低接收系統(tǒng)噪聲溫度、天線組陣等[1-6]。但是，增大天線口徑、提高探測(cè)器射頻發(fā)射功率、采用高性能編碼以及降低接收機(jī)噪聲溫度等手段目前已達(dá)工程設(shè)計(jì)極限，未來(lái)提升難度巨大。此外，將發(fā)射頻率提高至激光頻段會(huì)帶來(lái)易受氣象條件影響、光束發(fā)散角極小導(dǎo)致航天器和地面站角度捕獲跟蹤困難等一系列技術(shù)難題。天線組陣通過(guò)多個(gè)天線接收同一探測(cè)器的發(fā)送信號(hào)，利用信號(hào)的相關(guān)性和噪聲的獨(dú)立性，將各個(gè)天線的接收信號(hào)合成，從而大大提高最終合成信號(hào)的SNR（信噪比）。相比于單個(gè)大天線，天線組陣在可擴(kuò)展性、可靠性、靈活性、成本等方面也具有優(yōu)勢(shì)[3]。分布式天線組陣技術(shù)利用分布在不同地點(diǎn)的現(xiàn)有天線組成天線陣，避免了天線的重復(fù)建設(shè)，可進(jìn)一步降低天線陣的建設(shè)周期和成本。因此，分布式天線組陣技術(shù)是未來(lái)深空探測(cè)發(fā)展的重要趨勢(shì)。

由于分布式天線陣中各天線分布范圍廣泛，當(dāng)各天線采用獨(dú)立的時(shí)鐘時(shí)，采樣頻率將會(huì)存在一定偏差。針對(duì)各天線接收信號(hào)采樣頻率不同的問(wèn)題，借鑒寬帶信號(hào)頻域合成的思想[7-9]，將時(shí)域未對(duì)齊的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域?qū)R后在頻域進(jìn)行相干合成。同時(shí)，各天線接收到的信號(hào)具有不同的多普勒頻偏、時(shí)延以及相位。因此，各天線接收信號(hào)在合成前需要將這些參數(shù)的差異進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償對(duì)齊，而參數(shù)估計(jì)精度存在著克拉美羅性能下界[10-15]，參數(shù)估計(jì)殘留的誤差對(duì)最終合成信號(hào)的誤碼率性能將會(huì)產(chǎn)生一定的影響[16-18]。通過(guò)理論分析和計(jì)算機(jī)仿真，發(fā)現(xiàn)當(dāng)天線接收信號(hào)信噪比低于載頻估計(jì)的異常值效應(yīng)門(mén)限時(shí)，將該天線加入分布式天線陣進(jìn)行組陣合成時(shí)，將會(huì)惡化最終合成誤碼率性能，這也就對(duì)分布式天線組陣的各個(gè)天線提出了一定的要求。

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第1節(jié)介紹分布式天線組陣的研究背景和問(wèn)題；第2節(jié)介紹分布式天線組陣的系統(tǒng)模型；第3節(jié)介紹頻域合成算法；第4節(jié)介紹載頻、時(shí)延以及相位這三者的估計(jì)精度及參數(shù)估計(jì)殘留誤差對(duì)最終合成信號(hào)誤碼率性能的影響；第5節(jié)給出了一個(gè)分布式天線組陣系統(tǒng)的仿真，驗(yàn)證了上述結(jié)論；最后一部分對(duì)文章進(jìn)行總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型

分布式天線組陣系統(tǒng)中各天線接收信號(hào)ri(t) 的數(shù)學(xué)模型為

其中：hi為接收信號(hào)的振幅；fi為接收信號(hào)的載波頻率；τi為接收信號(hào)的時(shí)延；為接收信號(hào)的相位；為雙邊噪聲功率譜密度為方差為的高斯白噪聲；為基帶調(diào)制信號(hào)；為發(fā)送信號(hào)的第k個(gè)調(diào)制符號(hào)；T表示符號(hào)周期；為根升余弦濾波器。

假設(shè)第i路天線的采樣頻率Fsi為天線接收信號(hào)在nTsi時(shí)刻的采樣數(shù)據(jù)表達(dá)式為

其中：分別表示和

2 頻域合成

由于各個(gè)天線間存在一定的采樣頻率偏差，當(dāng)對(duì)多路接收信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行合成時(shí)，各路信號(hào)的采樣序列在時(shí)域上沒(méi)有對(duì)齊導(dǎo)致無(wú)法直接進(jìn)行相干合成。受寬帶信號(hào)頻域合成思想的啟發(fā)[7-9]，鑒于時(shí)域未對(duì)齊的信號(hào)能夠轉(zhuǎn)換到頻域?qū)R，其頻域?qū)R的條件為頻譜分辨率Δf相等

其中：Ni為第i路天線的采樣點(diǎn)數(shù)。

容易看出不同天線采樣序列頻域?qū)R的條件等價(jià)于各路天線的采樣時(shí)長(zhǎng)相同。兩路信號(hào)進(jìn)行頻域合成的算法流程如圖 1所示。首先通過(guò)高精度的載波頻率估計(jì)算法將兩路信號(hào)的多普勒頻偏估計(jì)出來(lái)并補(bǔ)償對(duì)齊，再對(duì)采樣時(shí)長(zhǎng)相同的兩路信號(hào)通過(guò)快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）變換到頻域，在頻域?qū)陕沸盘?hào)的時(shí)延差、相位差補(bǔ)償對(duì)齊之后將兩路信號(hào)頻域加權(quán)相加，最后通過(guò)逆傅立葉變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）變換回時(shí)域獲得合成信號(hào)。

圖1 頻域合成流程圖Fig.1 Flowchart of frequency-domain combining algorithm

仿真驗(yàn)證頻域合成算法的性能。仿真參數(shù)設(shè)置如下：①基帶信號(hào)s（t）的波特率設(shè)為5 Mbps；②載波頻率分別設(shè)為10 MHz和10 MHz + 8 kHz；③兩路天線采樣頻率分別設(shè)為（50 + Δ1） MHz和（50 + Δ2） MHz，其中：Δ1和Δ2分別表示兩路天線的采樣頻率偏差；④為保證兩路信號(hào)采樣時(shí)長(zhǎng)相同，仿真時(shí)假設(shè)兩路信號(hào)在相同時(shí)間段0～500T內(nèi)進(jìn)行采樣，在此條件下由于時(shí)長(zhǎng)較短，假設(shè)兩路采樣信號(hào)的時(shí)延差和相位差在采樣時(shí)間內(nèi)是穩(wěn)定的，這里分別設(shè)為0.1T和0.2 rad（合成時(shí)以第一路信號(hào)作為參考信號(hào)并假設(shè)兩路信號(hào)的多普勒頻偏、延時(shí)差和相位差均能準(zhǔn)確補(bǔ)償）。仿真結(jié)果如圖 2～3所示。

仿真結(jié)果表明，頻域合成算法能夠有效克服信號(hào)間的采樣頻率偏差，算法對(duì)采樣頻率偏差大小不敏感，具有很好的魯棒性。

圖2 第一路信號(hào)與頻域合成信號(hào)時(shí)域圖Fig.2 Time histogram of the 1th signal r1（t）and the combined signal rc（t）

圖3 合成效率隨兩路天線采樣頻率相對(duì)偏差變化的三維圖Fig.3 3D plot of the combining efficiency under different Δ1 and Δ2

3 參數(shù)估計(jì)性能及其對(duì)最終合成誤碼率性能的影響

3.1 參數(shù)估計(jì)性能

天線組陣系統(tǒng)在合成前需要將各路信號(hào)之間的載頻差、時(shí)延差以及相位差對(duì)齊[3]。因此，在頻域合成前需要首先將這些參數(shù)估計(jì)出來(lái)。目前關(guān)于這些參數(shù)估計(jì)的算法研究工作有很多[19-24]，且對(duì)這些參數(shù)估計(jì)性能的克拉美羅下界的研究也較為完善[10]由于參數(shù)估計(jì)的殘留誤差會(huì)影響后續(xù)的合成性能，下面首先對(duì)這些參數(shù)估計(jì)的性能進(jìn)行梳理分析。

Noels在文獻(xiàn)[10～12]中對(duì)之前所提的偽克拉美羅界（Modified Cramer-Rao Bound，MCRB）和漸進(jìn)克拉美羅界（Asymptotic Cramer Rao Bound，ACRB）做出了修正，得到了更為準(zhǔn)確的真克拉美羅界（True Cramer Rao Bound，TCRB）。其中，載頻、時(shí)延、相位估計(jì)的TCRB的理論公式如式（5）所示。

其中：和分別是載頻估計(jì)、相位估計(jì)和時(shí)延估計(jì)的TCRB；K表示總的符號(hào)數(shù)；Es表示單位符號(hào)能量；N0表示噪聲的功率譜密度；M表示調(diào)制星座的點(diǎn)數(shù)。為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，C1以及C2的定義詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10, 12]，這里不再贅述。

此外，在對(duì)載頻實(shí)際估計(jì)時(shí)，存在著異常值效應(yīng)[22]。異常值效應(yīng)是指當(dāng)接收信號(hào)信噪比低于某一門(mén)限時(shí)，載頻估計(jì)算法的性能會(huì)急劇惡化，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于克拉美羅性能下界。文獻(xiàn)[19]中提出了一種基于隨機(jī)共振的高精度載頻估計(jì)算法，相比于傳統(tǒng)的載頻估計(jì)算法，降低了2 dB以上載頻估計(jì)的異常值效應(yīng)信噪比門(mén)限。同時(shí)通過(guò)將上述算法與線性調(diào)頻Z變換（Chirp Z Transform，CZT）相結(jié)合，使得算法在高信噪比下估計(jì)性能逼近載頻估計(jì)的CRB（Cramer-Rao Bound）。另外，對(duì)于時(shí)延估計(jì)和相位估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[23]所提的基于循環(huán)譜的時(shí)延估計(jì)算法以及文獻(xiàn)[24]所提的基于離散傅立葉變換（Discrete-Fourier-Transform，DFT）的相位估計(jì)算法的性能已經(jīng)逼近CRB。

對(duì)上述參數(shù)估計(jì)算法的性能進(jìn)行仿真并與TCRB進(jìn)行比較，仿真參數(shù)設(shè)置與第2節(jié)的仿真參數(shù)設(shè)置相同，符號(hào)總數(shù)K設(shè)為1×104。仿真結(jié)果如圖 4所示。仿真結(jié)果驗(yàn)證了現(xiàn)有算法性能逼近克拉美羅性能下界。但是，相位估計(jì)算法的性能由于受殘留載頻誤差的影響存在一定性能損失。

圖4 載頻、時(shí)延以及相位的算法估計(jì)性能及其TCRBFig.4 The TCRBs and the practical algorithms’ performance of carrier frequency，delay and carrier phase estimation

3.2 參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)最終合成誤碼率性能的影響

由式（1）可以推得第2路信號(hào)在參數(shù)補(bǔ)償對(duì)齊后的表達(dá)式如式（6）所示。

其中：分別表示殘留的載頻、時(shí)延、相位估計(jì)誤差。

為了更直觀地看出頻域合成的過(guò)程，將式（6）通過(guò)FFT變換轉(zhuǎn)換到頻域?yàn)?/p>

其中：分別表示頻域變換的表達(dá)式。

從式（11）可以看出，兩路信號(hào)進(jìn)行頻域合成需要滿(mǎn)足這一條件，即

當(dāng)式（8）滿(mǎn)足時(shí)，對(duì)兩路信號(hào)頻域加權(quán)相加即可得到合成信號(hào)的頻域表達(dá)式

從式（14）可以看出，時(shí)延、相位估計(jì)殘留誤差對(duì)合成信號(hào)的影響等效于引入了一個(gè)頻域表達(dá)式為的信道響應(yīng)。通過(guò)仿真分析載頻、時(shí)延以及相位估計(jì)殘留誤差對(duì)最終合成誤碼率性能的具體影響，仿真參數(shù)設(shè)置如下：①兩路信號(hào)的波特率、載頻、采樣頻率、時(shí)延差、相位差設(shè)置同第2節(jié)的仿真參數(shù)；②總的采樣符號(hào)數(shù)設(shè)為1×104；③兩路信號(hào)的信噪比假設(shè)完全相同；④兩路信號(hào)均設(shè)為BPSK調(diào)制。不同大小的載頻差估計(jì)、時(shí)延差估計(jì)以及相位差估計(jì)的殘留誤差所對(duì)應(yīng)的最終合成信號(hào)的誤碼率性能曲線仿真結(jié)果如圖 5～7所示，這些圖中的橫軸分別表示兩路信號(hào)通過(guò)頻域補(bǔ)償對(duì)齊后殘留的相對(duì)于符號(hào)周期歸一化的載頻差大小、相對(duì)于符號(hào)周期歸一化的延時(shí)差大小以及相位差大小。仿真結(jié)果表明，最終合成誤碼率性能隨著載頻、時(shí)延以及相位估計(jì)的殘留誤差的增大而逐漸降低，當(dāng)殘留誤差大于一定值時(shí)，最終合成誤碼率性能反而要比合成前兩路信號(hào)的誤碼率性能要差。同時(shí)，從圖 5～7可以看出，當(dāng)接收信號(hào)的信噪比大于異常值效應(yīng)的門(mén)限時(shí)，此時(shí)載頻估計(jì)的殘留誤差滿(mǎn)足式（8），并且最終合成誤碼率性能相比于合成前兩路信號(hào)的誤碼率性能得到提升；而當(dāng)接收信號(hào)的信噪比低于異常值效應(yīng)的門(mén)限時(shí)，受載頻估計(jì)精度急劇惡化的影響，此時(shí)最終合成誤碼率性能急劇惡化。

圖5 載頻估計(jì)殘留誤差對(duì)最終合成誤碼率性能的影響曲線Fig.5 The combined BER as a function of carrier frequency estimation error with Δ，Δare assumed to be 0

圖6 時(shí)延估計(jì)殘留誤差對(duì)最終合成誤碼率性能的影響曲線Fig.6 The combined BER as a function of delay estimation error with Δ，Δ are assumed to be 0

4 系統(tǒng)仿真示例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證分布式天線組陣系統(tǒng)的整體性能，仿真分析35 m、18 m以及10 m這3種不同口徑天線進(jìn)行組陣合成的最終合成誤碼率性能。仿真參數(shù)設(shè)置如下：基帶信號(hào)s（t）的波特率設(shè)為5 Mbps；無(wú)多普勒頻偏時(shí)發(fā)送信號(hào)的載波頻率設(shè)為10 MHz；天線的理想采樣頻率設(shè)為50 MHz；35 m天線接收信號(hào)的信噪比設(shè)為3 dB，根據(jù)自由空間傳播的路徑損耗計(jì)算公式對(duì)應(yīng)地可以算出18 m、10 m的接收信噪比為–2.8 dB和–8 dB，另外各路天線的最優(yōu)加權(quán)權(quán)值可由接收信號(hào)的信噪比SNRi及其功率Pi決定，即權(quán)值同時(shí)，假設(shè)各個(gè)天線存在著不同的多普勒頻偏和采樣頻率偏差，且這些偏差在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值；此外，各個(gè)天線的時(shí)延和相位也假設(shè)在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。仿真結(jié)果如圖 8～9所示。

圖8 分布式天線組陣系統(tǒng)的最終合成誤碼率性能曲線Fig.8 The combined BER performance of distributed antenna arraying system

圖9 多個(gè)10 m天線進(jìn)行組陣合成的最終合成誤碼率性能曲線Fig.9 The combined BER performance of the distributed antenna arraying system composed by a group of 10-meter antennas

圖8給出了一個(gè)35 m天線與多個(gè)18 m天線組成的分布式天線陣以及一個(gè)35 m天線、一個(gè)18 m天線與多個(gè)10 m天線組成的分布式天線陣的最終合成誤碼率性能曲線。從圖 8中可以看出，接收信噪比較高的2種天線（35 m和18 m天線）進(jìn)行組陣合成，最終合成的誤碼率隨著加入天線陣中18 m天線數(shù)量的增大而不斷降低；然而，當(dāng)向天線陣中不斷加入接收信噪比較低的天線（10 m天線）時(shí)，最終合成的誤碼率隨著加入天線陣中10 m天線數(shù)量的增大而不斷增大。從圖 9若干個(gè)10 m天線進(jìn)行組陣合成后的誤碼率性能曲線也可以看出，接收信噪比低的天線間進(jìn)行組陣合成反而會(huì)惡化最終的誤碼率性能。這說(shuō)明了分布式天線組陣系統(tǒng)并不是天線越多越好，應(yīng)當(dāng)設(shè)定一個(gè)天線的準(zhǔn)入門(mén)檻，該門(mén)檻應(yīng)該根據(jù)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的CRB以及異常值效應(yīng)的信噪比門(mén)限確定，其異常值效應(yīng)對(duì)應(yīng)的信噪比門(mén)限取決于實(shí)際所用的載頻估計(jì)算法。

5 結(jié) 論

針對(duì)分布式天線組陣系統(tǒng)中不同天線接收信號(hào)信噪比不同，任意天線加入天線陣進(jìn)行組陣合成能否提高最終合成誤碼率性能的問(wèn)題，進(jìn)行了詳細(xì)的分析與討論。通過(guò)分析信號(hào)參數(shù)估計(jì)的性能及其克拉美羅下界，同時(shí)分析參數(shù)估計(jì)的殘留誤差對(duì)最終合成誤碼率性能的影響，發(fā)現(xiàn)最終合成誤碼率性能隨著參數(shù)的殘留誤差的增大而逐漸降低，當(dāng)接收信號(hào)信噪比低于載頻估計(jì)的異常值效應(yīng)門(mén)限時(shí)，受載頻差估計(jì)精度急劇惡化的影響，將該信號(hào)加入分布式天線陣中進(jìn)行合成將引起最終合成誤碼率性能惡化。本文提出的一種分布式天線組陣的優(yōu)選準(zhǔn)則，通過(guò)比較接收信號(hào)的信噪比與異常值效應(yīng)的信噪比門(mén)限以及該信噪比下信號(hào)參數(shù)估計(jì)的CRB判斷該天線能否加入到分布式天線陣中，其中異常值效應(yīng)對(duì)應(yīng)的信噪比門(mén)限取決于實(shí)際所用的載頻估計(jì)算法，為工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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