以平面向量最值為例談學(xué)生解題思維能力提升的策略

浙江安吉縣孝豐高級(jí)中學(xué) (313301) 張忠潮

自浙江省采用新高考后，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間顯得尤為緊張、任務(wù)更加重，從而使得二輪復(fù)習(xí)顯得較為倉(cāng)促.如何合理精選習(xí)題、科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)、通過(guò)習(xí)題教學(xué)提升高三復(fù)習(xí)效益，是每一位高三一線教師認(rèn)真思考的一個(gè)課題.

在高三教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造過(guò)程.因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要學(xué)會(huì)借題發(fā)揮，目的是讓難以解決的問(wèn)題擴(kuò)大其“最近發(fā)展區(qū)”，為順利解題做好鋪墊，為學(xué)生搭建思維的腳手架，讓學(xué)生嘗試成功的喜悅，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，以此提升高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.本文以《平面向量最值的求法》復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勗鯓佑闪?xí)題去提升學(xué)生的解題思維能力.

一、借問(wèn)題情境，追本溯源

波利亞先生說(shuō)過(guò)：“有些題目的解答就像魔術(shù)師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來(lái)的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問(wèn)題的本質(zhì)，我們就能站在更高位置來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題就迎刃而解.”

圖1

圖2

師：學(xué)生感覺這類問(wèn)題難度較大，那么它們的解決方法除了上面幾個(gè)學(xué)生提供的方法外，到底有無(wú)規(guī)律可循？這類問(wèn)題是否隱含著一定的背景？它們是如何由簡(jiǎn)單到復(fù)雜演變的？

圖3

師：很好，那同學(xué)們能利用變量α,β來(lái)表示嗎？

師：生2，你能繼續(xù)解決此題嗎？

設(shè)半徑OA為定值，只需求OD最小即可.當(dāng)OD最小，即OD⊥BC，α+β最大，此時(shí)AB=AC.

師：?jiǎn)栴}本質(zhì)是什么呢？事實(shí)上，這類問(wèn)題來(lái)源是人教A版P94平面向量基本定理：

但是平時(shí)的考察，更多的時(shí)候以考察它的推論為主，即三點(diǎn)共線結(jié)論：

圖4

二、借一題多解，發(fā)散思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)一題多思，一題多解，一題多講，可以鞏固學(xué)生知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野.用多角度去看一道題，強(qiáng)化思維的連貫性，知識(shí)的銜接，能全面利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的活學(xué)活用有重要幫助.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的背景.本題以向量的模的計(jì)算為背景，考查了向量的和與差的幾何意義，考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，涉及基本不等式、線性規(guī)劃等基本知識(shí).從所求結(jié)論看本題考查函數(shù)最值問(wèn)題，如何利用化歸思想實(shí)現(xiàn)等式和不等式之間的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，也是解決本題的難點(diǎn).

三、借多題歸一，感悟本質(zhì)

一題多解對(duì)鍛煉學(xué)生思維與解題的靈活性固然有很多益處，但教師在教學(xué)中也應(yīng)注意要一題多解，多解歸一，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成多題一解.

誠(chéng)然，通過(guò)“一題多解”訓(xùn)練，可培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)不同的思路，應(yīng)用不同的基礎(chǔ)知識(shí)，采取不同的數(shù)學(xué)方法，靈活解答同一個(gè)問(wèn)題的能力.然而，目前大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)較差，看到題目首先聯(lián)想到的是類似題目的一種通解或通用的解題模式.多題歸一就是利用這種心理，以通用模式套各種類似的題目，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，且可以訓(xùn)練學(xué)生化歸的思想，同時(shí)它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范地書寫解答題的解題過(guò)程也是一次強(qiáng)化性訓(xùn)練.下面通過(guò)一題多變的分析過(guò)程說(shuō)明多題歸一的益處.

點(diǎn)評(píng)：多解歸一的教學(xué)中，如果有意識(shí)去分析和研究，是舉不勝舉的.拿到一個(gè)題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當(dāng)十、以少勝多.培養(yǎng)學(xué)生各方面技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無(wú)需茫茫的題海了.教學(xué)是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)看到一道題就想到一類題，想到相應(yīng)解法，才是正道.所以教師要不斷從這方面入手教學(xué)，通過(guò)一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結(jié)，得到多題一解，讓學(xué)生在緊張的做題過(guò)程中，看到一道題就知道怎么解.

四、借課堂教學(xué)，學(xué)會(huì)反思

1.在交流探究中暴露學(xué)生的思維過(guò)程

葉瀾教授說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵守固定路線而沒有激情的行程.”課堂教學(xué)過(guò)程是復(fù)雜的、豐富多變的，難免會(huì)遇到超出預(yù)設(shè)方案之外的新問(wèn)題、新想法，教師應(yīng)該善待學(xué)生提出的“意外”問(wèn)題，尊重學(xué)生的“話語(yǔ)權(quán)”，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)敢于發(fā)表自己見解、勇于說(shuō)出自己想法的平臺(tái)，適時(shí)調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)方案，為學(xué)生的“動(dòng)態(tài)生成”騰出一片廣闊的空間，并因勢(shì)利導(dǎo)，借題發(fā)揮，提升復(fù)習(xí)效益.

2.在比較中優(yōu)化學(xué)生的思維能力

只有比較才能辨別優(yōu)劣，只有比較才能使學(xué)生掌握更適合自己的解法.一題多解就是在比較中進(jìn)行的，其目的要明確：不是解法越多越好，而應(yīng)該選擇有助于提升學(xué)生思維能力、培養(yǎng)學(xué)生解題能力的解法.通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可以優(yōu)化學(xué)生的解題思路，從而達(dá)到快速找準(zhǔn)解決問(wèn)題的方法.因此，解法比較可以不斷拓展學(xué)生的思維能力.

[1]姜曉潔，于興江.一題多解與一題多究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西師大),2016(06):42-45.

[2]伊建軍.玩轉(zhuǎn)數(shù)形結(jié)合 提升數(shù)學(xué)思維[J].中學(xué)教研,2016(02):31-34.