一個(gè)“新”的直線系

江西省樟樹中學(xué) (331200) 萬(wàn)浩春

(文)16.設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，對(duì)于下列四個(gè)命題：

A．存在一個(gè)圓與所有的直線相交

B．存在一個(gè)圓與所有的直線不相交

C．存在一個(gè)圓與所有的直線相切

D．M中的直線所能圍成的三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是 (寫出所有真命題的代號(hào)).

(理)16.設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，對(duì)于下列四個(gè)命題：

A．M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

B．存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上

C．對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上

D．M中的直線所能圍成的三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是 (寫出所有真命題的代號(hào)).

解決這兩道題的關(guān)鍵在于讀懂直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)是什么樣的直線系？直線系中的直線擁有什么樣的共同特征？

圖1

我們觀察方程xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，可以發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)(0，2)到方程表示的所有直線的距離均為1，那么這個(gè)方程表示的直線系就是以(0,2)為圓心，以1為半徑的圓的所有切線組成的直線系.如圖1所示

對(duì)于(文)16ABC這三個(gè)選項(xiàng)容易判斷均正確，D選項(xiàng)不正確，因?yàn)镸中的直線所能圍成的三角形并不都是定圓的外切三角形，有時(shí)是三角形的邊的延長(zhǎng)線和定圓相切.對(duì)于(理)16，A顯然不對(duì)，B、C正確，D不正確.

這個(gè)“新”的直線系不同于我們已經(jīng)熟知的平行(或垂直)某一直線的直線系，或恒過某一定點(diǎn)的直線系，他是由一個(gè)定圓的所有切線組成的直線系.

那么對(duì)于任意一個(gè)圓，它的所有切線能組成一個(gè)直線系嗎？如果能，這個(gè)直線系的方程是什么呢？

圖2

一般地，圓(x-a)2+(y-b)2=r2的所有切線組成的直線系方程為(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=r(0≤θ≤2π).

(特別說(shuō)明，這個(gè)θ就是圓的參數(shù)方程中的參數(shù)，所以它的幾何意義表示：以圓心為頂點(diǎn)，平行于x軸正方向的直線為始邊，切點(diǎn)與圓心的連線為終邊的角，如圖2.)

利用這個(gè)“新”的直線系我們可以比較簡(jiǎn)單的解決下列問題

例1l1與l2是直線系M：(x+1)cosθ+(y-2)sinθ=3(0≤θ≤2π)中的兩條平行線，則l1與l2間的距離為( ).

分析：直線系M：指的是以(-1,2)為圓心，3為半徑的圓的所有切線，∵l1∥l2，又都與圓相切，∴l(xiāng)1與l2間的距離就是圓的直徑，故選C.

圖3

例2l1：(x+3)cos25°+ysin25°=2,l2：-(x+3)sin55°+ysin35°=2,l1與l2相交于P點(diǎn)，則P到A(-3,0)的距離為 .

例3 在平面直角坐標(biāo)系中既能用(x-1)cosθ+(y-2)sinθ=1表示又能用(x-3)cosθ+(y-1)sinθ=2表示的直線一共有幾條？

分析：(x-1)cosθ+(y-2)sinθ=1表示以(1，2)為圓心，1為半徑的圓的所有切線組成的直線系,(x-3)cosθ+(y-1)sinθ=2表示以(3，1)為圓心，2為半徑的圓的所有切線組成的直線系.

故這道題的實(shí)質(zhì)是求兩圓(x-1)2+(y-2)2=1和(x-3)2+(y-1)2=4共有多少條公切線.

解：∵圓(x-1)2+(y-2)2=1和(x-3)2+(y-1)2=4相交，所以合題意的直線共有2條.

任意一個(gè)圓的所有切線能組成一個(gè)直線系，那么一個(gè)橢圓的所有切線能否組成一個(gè)直線系？這個(gè)直線系的方程該如何表示？

我們可以類比圓的切線系方程的推導(dǎo)過程進(jìn)行推導(dǎo).

A．存在一個(gè)圓與所有的直線相交

B．存在一個(gè)圓與所有的直線不相交

C．存在一個(gè)圓與所有的直線相切

D．M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

E．存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上

其中真命題的代號(hào)是 (寫出所有真命題的代號(hào)).

例5 已知l1：3cos25°x+4sin25°y=12,l2：3sin54°x+4sin54°y=12,若兩條直線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P( ).

A.在圓x2+y2=9的內(nèi)部

B.在圓x2+y2=9的外部

C.在圓x2+y2=9上

D.無(wú)法判斷與圓x2+y2=9的位置關(guān)系

封閉圖形圓和橢圓都有切線系，那么另外的兩個(gè)圓錐曲線雙曲線和拋物線是不是也有類似切線系？

也就是說(shuō)，只要把曲線的參數(shù)方程代入過曲線上某一點(diǎn)的切線方程，就可以得到曲線的所有切線組成的直線系方程.這為我們以后解決與圓錐曲線的切線有關(guān)問題提供了一個(gè)全新的思考途徑.