黃金橢圓與黃金雙曲線

江蘇省南京市第14中學(xué) (210000) 汪 生

通過閱讀文[1]、[2]以及查閱相關(guān)的資料，經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)“黃金橢圓”與“黃金雙曲線”之間有著密切的聯(lián)系，因此具有很多的相似性質(zhì).為了探求它們更多的性質(zhì)，本文略舉幾例，并對部分性質(zhì)進行證明，供參考.

一、相關(guān)概念

圖1

1.黃金分割點：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值為

這個分割點稱為黃金分割點.如圖1：

2．黃金橢圓：如果橢圓的半焦距c與長半軸長a之比等于ω，即橢圓離心率e=ω，則稱這種橢圓為黃金橢圓.

4．雙曲線菱形：連接任一雙曲線焦點與虛軸端點的菱形叫做雙曲線菱形.

二、“黃金橢圓”與“黃金雙曲線”的聯(lián)系

若一雙曲線以黃金橢圓的長軸端點為焦點，以黃金橢圓的焦點為實軸端點，則此雙曲線為黃金雙曲線.

圖2

三、“黃金橢圓”與“黃金雙曲線”的一些相似性質(zhì)

性質(zhì)1 一橢圓是黃金橢圓的充要條件是其長半軸長、短半軸長、半焦距成等比數(shù)列.

一雙曲線是黃金雙曲線的充要條件是其實半軸長、虛半軸長、半焦距成等比數(shù)列.

此性質(zhì)由“黃金橢圓”與“黃金雙曲線”的定義即可得證.

性質(zhì)2 設(shè)P、Q是一個橢圓上任意兩點，M是線段PQ的中點，PQ、OM的斜率kPQ、kOM都存在，則這個橢圓是黃金橢圓的充要條件是kPQ·kOM=-ω.

設(shè)P、Q是一個雙曲線上任意兩點，M是線段PQ的中點，PQ、OM的斜率kPQ、kOM都存在，則這個雙曲線是黃金雙曲線的充要條件是kPQ·kOM=ω-1.

下面證明“黃金橢圓?kPQ·kOM=-ω”.

又因為點P、Q在橢圓上，所以有

對于雙曲線來說，同理可證.

性質(zhì)3 設(shè)橢圓的四個頂點為A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)，則橢圓是黃金橢圓的充要條件是菱形A1B1A2B2的內(nèi)切圓過橢圓焦點.

一雙曲線是黃金雙曲線的充要條件是雙曲線菱形的內(nèi)切圓過實軸端點.

圖3

對于這個性質(zhì)，本人只對雙曲線的情形進行證明，橢圓的情形由黃金橢圓與黃金雙曲線之間的聯(lián)系即可得.

反之，易證“雙曲線菱形的內(nèi)切圓過實軸端點?雙曲線是黃金雙曲線”.

性質(zhì)4 一橢圓是黃金橢圓的充要條件是過其焦點且垂直于長軸的直線與橢圓的交點圍成一個正方形.

一雙曲線是黃金雙曲線的充要條件是過其焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線的交點圍成一個正方形.

此性質(zhì)的證明可仿照文[1]及本文的性質(zhì)1得到，這里從略.

性質(zhì)5 黃金橢圓上任一點與其兩個長軸端點(或兩個短軸端點)的連線的斜率之積為定值-ω.

黃金雙曲線上任一點與其兩個頂點的連線的斜率之積為定值ω-1.

此性質(zhì)的證明可仿照本文性質(zhì)2的證明過程.

數(shù)學(xué)是一門具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性的學(xué)科.作為一名數(shù)學(xué)老師，我發(fā)現(xiàn)很多人不喜歡數(shù)學(xué)，總覺得數(shù)學(xué)枯燥乏味，深澀難懂.但是由以上列舉的“黃金橢圓”與“黃金雙曲線”的幾個相似性質(zhì)，我們可以充分體會到數(shù)學(xué)中的對稱、統(tǒng)一、和諧的數(shù)學(xué)美.當(dāng)我們學(xué)會了去欣賞數(shù)學(xué)美之后，就會在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實際操作中去發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美，數(shù)學(xué)中蘊含的美的因素是深廣博大的，所以需要我們共同去發(fā)現(xiàn)、去研究.

[1]方瑋.關(guān)于“黃金橢圓”性質(zhì)的注記[J].數(shù)學(xué)通訊，2009(2).

[2]滿新民.“黃金橢圓”性質(zhì)微探[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006(7).