懷“學(xué)習(xí)進(jìn)階”之“猛虎”，嗅“教學(xué)設(shè)計(jì)”之“薔薇”

江蘇省宜興丁蜀中等專業(yè)學(xué)校 (214221) 潘 靜

當(dāng)前，我國的基礎(chǔ)教育改革仍在不斷深化之中，各種國內(nèi)外先進(jìn)教學(xué)理念紛紛登臺(tái)亮相，“學(xué)習(xí)進(jìn)階”也成為科學(xué)教育研究的新領(lǐng)域之一.學(xué)習(xí)進(jìn)階是近十年來國際科學(xué)教育界的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，比較典型的界定是認(rèn)為“對(duì)學(xué)生在一個(gè)時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí)，依次進(jìn)階、逐級(jí)深化的思維方式的描述”.

學(xué)習(xí)進(jìn)階的理念認(rèn)為學(xué)習(xí)是一種不斷積累、發(fā)展的過程，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握不是一蹴而就的，其中必然要?dú)v經(jīng)多個(gè)不同層級(jí)的中間水平(見右學(xué)習(xí)進(jìn)階的模型圖).學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)是指學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，終點(diǎn)則多為社會(huì)對(duì)學(xué)生的期望，在兩個(gè)端點(diǎn)之間存在的多個(gè)中間水平則描述了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是不斷發(fā)展的.本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5《基本不等式求最值》一課相應(yīng)的實(shí)踐研究，探討“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用.

一、進(jìn)階起點(diǎn)

本節(jié)內(nèi)容安排在基本不等式的證明之后，由此可知本節(jié)有兩個(gè)進(jìn)階起點(diǎn).

進(jìn)階起點(diǎn)1：學(xué)生在前面所學(xué)函數(shù)中求最值的方法，如二次函數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法等.

二、進(jìn)階終點(diǎn)

使學(xué)生能夠運(yùn)用基本不等式定理來討論函數(shù)的最大值和最小值問題，讓學(xué)生對(duì)基本不等式有更深的體會(huì)，同時(shí)，對(duì)定理中的限制條件也有更深的理解.

三、進(jìn)階學(xué)習(xí)障礙分析

障礙3：基本不等式求最值的最后一道程序須驗(yàn)證兩個(gè)變量能否“相等”，這一步其實(shí)不難，但有些同學(xué)做了前兩步已覺大功告成，最后一步自動(dòng)忽略，功虧一簣.

障礙4：學(xué)生缺乏應(yīng)用“基本不等式求最值”的主動(dòng)意識(shí)和變化能力，只會(huì)就題論題，難以通過變式、換元等方法將所解問題轉(zhuǎn)化為“基本不等式”題型求最值.

四、“基本不等式求最值”教學(xué)設(shè)計(jì)

依據(jù)進(jìn)階理論，設(shè)計(jì)本課進(jìn)階層級(jí)和路徑如下：

層級(jí)一：就理論題，一以貫之

利用基本不等式求最值時(shí)，所用定理簡述為：“和定積最大”、“積定和最小”，這是基本不等式求最值的進(jìn)階起點(diǎn)，運(yùn)用這個(gè)定理求最值要遵循“一正、二定、三相等”的原則.欲使學(xué)生由起點(diǎn)水平進(jìn)階為中間水平階段，完成一定量的基本練習(xí)必不可少，在講評(píng)和練習(xí)中熟悉常規(guī)題型的求解.不能期望一步到位，更不能認(rèn)為所有學(xué)生能自主完成，這個(gè)學(xué)習(xí)路徑教師必須精心設(shè)計(jì).

先讓學(xué)生求解，有如下幾個(gè)層次：

馬上有學(xué)生指出求解不完整，因x正負(fù)不定，于是有

點(diǎn)評(píng)：就本例而言，單從基本不等式應(yīng)用來看水平2即為進(jìn)階終點(diǎn)，水平3的出現(xiàn)遭少數(shù)同學(xué)的質(zhì)疑，是不是太繁了.對(duì)此教師心中要有數(shù)：水平1和水平2在意料之中，水平3則更值得倡導(dǎo)，因?yàn)樵谝院笥龅降摹半p勾函數(shù)”問題中，用單調(diào)性處理似乎應(yīng)用更廣，它的思維品質(zhì)更高.從學(xué)習(xí)進(jìn)階視角看問題不是一節(jié)課、一個(gè)單元的需要，應(yīng)從一個(gè)學(xué)年、一個(gè)學(xué)段，甚至人的一生發(fā)展的需要來考慮.

在教師和學(xué)生的雙邊活動(dòng)中，本例有如下幾種水平呈現(xiàn)狀態(tài)：

水平1：嘗試基本不等式法、函數(shù)法，無疾而終，約占50%以上.

用該法能堅(jiān)持到底且正確者只有二、三人而已，且這些同學(xué)基本功扎實(shí).

用基本不等式求最值是此階段的進(jìn)階終點(diǎn)，適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，可以進(jìn)一步了解這一內(nèi)容上學(xué)生的進(jìn)階維度.對(duì)上述例題可形成如下變式：

眾多的變式，不但讓學(xué)生一看到最值就聯(lián)想到基本不等式，而且還熟悉了常見題型的表達(dá)形式.雖然此時(shí)尚未形成基本不等式求最值的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，但眾多的題型，單一的方法，不免讓學(xué)生有“一招鮮，吃遍天”的興奮，部分學(xué)生更生發(fā)了“獨(dú)上高樓，望盡天涯路”的感受.

從上可知解題的第一層級(jí)就是“解”，就是想盡各種辦法用所學(xué)定理、性質(zhì)解決當(dāng)前的問題.這一層級(jí)的學(xué)習(xí)基本上是就題論題，方法較為單一，主要是用摹仿加勤奮推動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)步，該層級(jí)學(xué)生往往只能處于中游水平，學(xué)習(xí)辛苦，但進(jìn)步不大.

層級(jí)二：尋隱挖潛，化繁為簡

在學(xué)習(xí)進(jìn)階所追蹤的發(fā)展路徑上存在多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的中間步驟(成就水平)，它們反映了學(xué)生思維發(fā)展過程的普遍階段.所謂關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平是指：學(xué)生對(duì)于問題有了整體的把握并能獨(dú)立地解決問題.能夠?qū)⒍鄠€(gè)事件聯(lián)系起來，根據(jù)題型特征，靈活尋找應(yīng)用基本不等式的條件，綜合相關(guān)知識(shí)解決較為復(fù)雜的問題，并形成解決此類問題的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，有些問題的定值條件往往被刻意隱藏，初看好像用不上基本不等式，有的則是隨著解題的展開出現(xiàn)在解題過程中.因此解題時(shí)，應(yīng)充分挖掘題設(shè)條件，并時(shí)時(shí)注意解題過程中是否冒出定值的苗頭，聯(lián)想基本不等式對(duì)應(yīng)題型靈活求解.

從題面上看無任何條件可用，與此同時(shí)也給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，經(jīng)學(xué)生思考探討有如下解法：

點(diǎn)評(píng)：該例隱含著“和定”sin2x+cos2x=1，只有水平4才發(fā)現(xiàn)并獲得簡解.水平1想到了用基本不等式求解，卻沒有考慮這兩項(xiàng)之積并非定值；水平2和水平3沒有發(fā)現(xiàn)隱含著“和定”sin2x+cos2x=1，轉(zhuǎn)化為分式用函數(shù)方法處理，這種思路值得肯定，說明這些同學(xué)把函數(shù)視作“工具”已在行動(dòng)中.但水平2的處理顯得毛糙，Δ≥0只是表示方程有實(shí)根但未必有根在(0，1)內(nèi)；水平3開始時(shí)沒有看出隱含的“和定”，但在轉(zhuǎn)化后發(fā)現(xiàn)了分母中的“和定”并及時(shí)應(yīng)用，說明對(duì)基本不等式的掌握是較為熟練的.四個(gè)水平的求解，描述了學(xué)生在解同一題時(shí)的不同思考方式.盡管水平4是我們這節(jié)課所需要的最優(yōu)解，但并不能說水平4的思維層級(jí)最高、能力最強(qiáng).事實(shí)上，水平2和水平3所用的函數(shù)法是處理值域問題最常用的“通法”，有什么不好？學(xué)習(xí)進(jìn)階并非要求每一名學(xué)生都遵循同一認(rèn)知進(jìn)程，不同的學(xué)生可以用不同的思維路徑抵達(dá)終點(diǎn).通過問題的求解過程讓學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握尋隱挖潛、化繁為簡，才是進(jìn)階終點(diǎn).當(dāng)然其找尋過程往往充滿艱辛，但一旦發(fā)現(xiàn)隱匿其中的“和定或積定”，后續(xù)過程又極為簡捷明快，讓人頓有“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的感悟.

上述過程告訴我們，解題的第二層級(jí)是“思”，其特征是刻苦鉆研推動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)步，在鉆研中提升數(shù)學(xué)能力.毫無疑問，這一境界的學(xué)生能取得良好的學(xué)習(xí)成績，在班上往往處于中上水平.

層級(jí)三：回歸課本，觸類旁通

學(xué)習(xí)進(jìn)階最后階段要評(píng)測各水平的預(yù)期表現(xiàn)，主要表現(xiàn)在學(xué)生不僅有了對(duì)問題的整體把握，而且還能對(duì)問題進(jìn)行抽象概括，使之適用于新的問題情境.能將知識(shí)抽象、擴(kuò)展后進(jìn)行應(yīng)用.基本目標(biāo)是能夠解決較為綜合或復(fù)雜的問題，解題時(shí)具有創(chuàng)新的解題思想或解題方法.

解題的第三層級(jí)是“歸”，這一層級(jí)的學(xué)生把學(xué)習(xí)當(dāng)成一件有意義的事.看書時(shí)常想這些知識(shí)可應(yīng)用在何處，做題時(shí)常思這些問題和書本的哪些基礎(chǔ)知識(shí)有聯(lián)系.他們?cè)趯W(xué)習(xí)上有著上下求索的態(tài)勢，力爭“打通”書本知識(shí)和習(xí)題之間的關(guān)系.

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論展開教學(xué)的三個(gè)層次，契合著學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次的三次飛躍：層次一側(cè)重于思維的專一性，讓學(xué)生緊扣所學(xué)知識(shí)就題解題，通過教師預(yù)設(shè)打通常規(guī)題的求解思路；層次二立足于思維的深刻性，跳出就題解題的窠臼，聚焦解題的核心環(huán)節(jié)，在優(yōu)化解法中形成解題策略構(gòu)建解題模型；層次三則關(guān)注思維的廣闊性，在問題“源與流”的探尋中實(shí)現(xiàn)觸類旁通，在命題脈絡(luò)的構(gòu)建中趨近“一覽眾山小”的通透.

這節(jié)關(guān)于“基本不等式求最值”的教學(xué)設(shè)計(jì)，基于進(jìn)階分層理論設(shè)計(jì)了學(xué)生分層學(xué)習(xí)的路徑，分析了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的障礙，按“直接應(yīng)用、變化應(yīng)用、發(fā)散應(yīng)用”三個(gè)層級(jí)設(shè)置具體學(xué)習(xí)內(nèi)容.注重科學(xué)思維的方法，從易到難，從簡到繁，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.學(xué)習(xí)進(jìn)階的“階”代表了學(xué)生不同的思考方式，而不是簡單地是否獲得了某個(gè)知識(shí)，學(xué)習(xí)進(jìn)階關(guān)注的是學(xué)生怎樣思考(甚至更關(guān)注學(xué)生的“錯(cuò)誤思考”).教師應(yīng)從認(rèn)知科學(xué)與教學(xué)論出發(fā)，對(duì)于所教主題的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行認(rèn)知心理分析，通過實(shí)證研究、即時(shí)評(píng)價(jià)、修訂目標(biāo)，我們要隨時(shí)了解學(xué)生對(duì)某個(gè)具體問題的認(rèn)知水平，知道了什么？理解了什么？可以做到什么程度？從這些有用信息中制定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)路徑，讓學(xué)生由起點(diǎn)水平逐漸發(fā)展為具有良好科學(xué)素養(yǎng)的理解水平，進(jìn)一步通過評(píng)測并結(jié)合預(yù)期表現(xiàn)，讓學(xué)生順次抵達(dá)學(xué)習(xí)進(jìn)階中相互關(guān)聯(lián)的多個(gè)成就水平，爭取更多地學(xué)生進(jìn)階終點(diǎn)水平.需要注意的是，學(xué)習(xí)進(jìn)階并非是一種自發(fā)的發(fā)展過程，我們應(yīng)精心設(shè)計(jì)最佳的教學(xué)序列，以促進(jìn)這種進(jìn)階的發(fā)生.

[1]姚建欣，郭玉英．為學(xué)生認(rèn)知發(fā)展建模：學(xué)習(xí)進(jìn)階十年研究回顧及展望[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，(05)：35-42．

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