構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行知識(shí)輻射，站在中心點(diǎn)解題
——高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一點(diǎn)思考

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 田富德

數(shù)學(xué)課堂離不開解題教學(xué)，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它不僅能有效地增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力，而且可以加深對(duì)基本概念的理解，促進(jìn)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念的形成.課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：要注重應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng).

高三數(shù)學(xué)課堂更是以解題為主，進(jìn)入高三總復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)結(jié)束高中新課的學(xué)習(xí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)初步掌握，如何讓解題教學(xué)的課堂更加有效？當(dāng)學(xué)生面對(duì)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該怎樣有效地去思考？傳統(tǒng)的解題教學(xué)策略，如一題多解、多題一解、變式教學(xué)、題組教學(xué)等仍然可以有效繼承.本文主要從如何通過回憶、聯(lián)想，建立試題與知識(shí)、定理、公式等的聯(lián)系，以試題的條件或問題為中心，站在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的中心點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)輻射，進(jìn)行解題.下面以一道習(xí)題為例展開分析.

引例若x2+y2=4，求x+y的最大值.

變式1 若x2+y2=4，求x+2y的最大值.

變式2 若x2+y2=4，求x+y2的最大值.

變式4 若x2+y2=4，求x2-6x+y2-2y+10的最大值.

變式5 若x2+2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式6 若x2+xy+2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式7 若x2+xy-2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式9 若x2+y2+z2=4，求x+y+2z的最大值.

變式10 設(shè)x,y,z∈R+，若x3+y3+z3=4，求x+y+z的最大值.

1.三角函數(shù)視角下的知識(shí)輻射

由條件“x2+y2=4”，聯(lián)想到三角函數(shù)的公式sin2θ+cos2θ=1，故可以考慮三角換元利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解題.

借助三角函數(shù)的有界性及變量的單一化，均可解答本文的變式1至變式6.

2.解析幾何視角下的知識(shí)輻射

由條件“x2+y2=4”聯(lián)想到圓的方程，此時(shí)必須將問題中的“x+y”與解析幾何中的公式定理聯(lián)系.解析幾何中的常見公式有：兩點(diǎn)間的距離公式(體現(xiàn)平方關(guān)系)、點(diǎn)到線的距離公式(體現(xiàn)線性關(guān)系)、斜率公式(體現(xiàn)比值關(guān)系)、線性目標(biāo)函數(shù)(體現(xiàn)線性關(guān)系)等等，而x+y為線性表達(dá)式，故可考慮利用點(diǎn)到線的距離公式進(jìn)行求解.

由問題“求x+y的最大值”，聯(lián)想到線性規(guī)劃中的線性目標(biāo)函數(shù)z=x+y，約束條件“x2+y2=4”在平面直角坐標(biāo)系中表示圓的方程，可將該圓看成可行域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行解題.

借助解析幾何的知識(shí)，還可以解決本文的變式1、變式3至變式5.

3.二次方程視角下的知識(shí)輻射

觀察到問題及條件均可視為關(guān)于x,y的二次方程(含其中一個(gè)為一次方程)，故可考慮利用二次方程解的存在性來(lái)進(jìn)行解題.

借助二次方程組存在性的知識(shí)，我們還可以解決本文變式1至變式3及變式5至變式7.

4.平面向量視角下的知識(shí)輻射

由問題“求x+y的最大值”，聯(lián)想的平面向量的數(shù)量積，x+y=1·x+1·y，故可以考慮構(gòu)造平面向量來(lái)進(jìn)行解題.

借助平面向量數(shù)量積的知識(shí)，我們還可以解決本文的變式1和變式5.

5.基本不等式視角下的知識(shí)輻射

求解二元(多元)最值問題的常用工具便是基本不等式，不等式求解問題注重齊次化，引例條件為二次，求解問題為一次的，只需將問題平方即可.

利用基本不等式解題，需要注意對(duì)系數(shù)的調(diào)整，可以用待定系數(shù)法求出適合的系數(shù).

借助基本不等式，我們還可以解決本文變式5.

6.柯西不等式視角下的知識(shí)輻射

求解三元(多元)、三次(高次)的最值問題，用基本不等式則較為繁瑣，而柯西不等式可成為最好的工具.

構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以試題條件或問題為中心，站在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的中心點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)輻射，在不同知識(shí)視角下，建立試題與所學(xué)的相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系進(jìn)行解題，其實(shí)可以看成一題多解、多題一解、變式教學(xué)、題組教學(xué)的繼承與延伸.在具體解題時(shí)，具體選擇在那個(gè)知識(shí)視角下進(jìn)行建立相互聯(lián)系，需要對(duì)課本知識(shí)足夠熟悉，知識(shí)體系足夠清晰，需要教師在課堂教學(xué)不斷的點(diǎn)撥，才能對(duì)每一道題選擇適合的方法，才能對(duì)陌生的試題輕松找到解題突破口.

高三復(fù)習(xí)以解題教學(xué)為主，切忌滿堂課都在就題論題，應(yīng)選擇適合的例題，進(jìn)行知識(shí)輻射，站在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的中心點(diǎn)進(jìn)行解題分析，達(dá)到以點(diǎn)帶面，對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)，時(shí)不時(shí)溫故而知新，可以有效降低學(xué)生對(duì)知識(shí)的遺忘率，可以提高學(xué)生面對(duì)創(chuàng)新試題時(shí)解決問題的能力.