圖形的運(yùn)動(dòng)（三）教學(xué)研究報(bào)告

一、問(wèn)題

人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)的圖形的運(yùn)動(dòng)（三）單元是學(xué)生在認(rèn)識(shí)生活中的旋轉(zhuǎn)和平移現(xiàn)象，會(huì)判斷一種物體的運(yùn)動(dòng)是平移還是旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時(shí)它也是圖形的運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)———在小學(xué)階段的圖形運(yùn)動(dòng)中，學(xué)生最難掌握的就是旋轉(zhuǎn)。教學(xué)中，要求學(xué)生能在方格紙上把一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形按照順時(shí)針?lè)较蚧蚰鏁r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度。在實(shí)際操作中，學(xué)生畫(huà)圖時(shí)總是頻繁出錯(cuò)，老師們對(duì)此也做過(guò)不少的研究和嘗試，其中常見(jiàn)的方法是把平面圖形的旋轉(zhuǎn)分解成線段的旋轉(zhuǎn)，還有老師會(huì)進(jìn)一步把旋轉(zhuǎn)和鐘面結(jié)合，幫助學(xué)生理解。

1.關(guān)于教材的編排

新教材在編排這一部分內(nèi)容時(shí)新增了例題2，是對(duì)旋轉(zhuǎn)———?jiǎng)傮w變換（變換后不改變物體任何兩點(diǎn)之間的距離以及點(diǎn)之間構(gòu)成的線段的夾角不變）的研究。通過(guò)對(duì)教材的分析和解讀，我們認(rèn)為三個(gè)例題是層層遞進(jìn)的關(guān)系：例1是學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的三要素，這是研究旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的基礎(chǔ)；例2是研究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中中心點(diǎn)的位置不變，經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的兩條線段都旋轉(zhuǎn)了90毅，從編排中可以看出是為例3的畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形做鋪墊。筆者認(rèn)為在教學(xué)例2時(shí)還需要補(bǔ)充對(duì)旋轉(zhuǎn)的剛體變換的研究，這樣將更好地幫助學(xué)生掌握畫(huà)圖的技能。

2.關(guān)于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

為了切實(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前調(diào)研（如圖1）。調(diào)研結(jié)果顯示：（1）在旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的調(diào)研中，90%以上的學(xué)生能準(zhǔn)確地說(shuō)出風(fēng)車(chē)的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，可是有39.3%的學(xué)生描述停車(chē)桿和秋千的運(yùn)動(dòng)是上下運(yùn)動(dòng)、左右擺動(dòng)等，還有13%的學(xué)生認(rèn)為是平移現(xiàn)象。這是來(lái)自于學(xué)生已有認(rèn)知中的錯(cuò)誤。二年級(jí)第一次認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時(shí)，教材中給的素材全部是像風(fēng)車(chē)這樣旋轉(zhuǎn)一周的素材，老師們提供的素材也大多如此，難免給學(xué)生造成只有旋轉(zhuǎn)一周才是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的錯(cuò)誤印象。（2）在三要素的調(diào)研中，盡管只有極少數(shù)學(xué)生能準(zhǔn)確完整地描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程（占比約為5%），但是絕大部分學(xué)生能關(guān)注到三要素之一，其中能夠用旋轉(zhuǎn)角度和方向描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分別達(dá)到35.7%和42.9%。由此可以看出，對(duì)于三要素，學(xué)生有一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在對(duì)教材和學(xué)生進(jìn)行充分解讀后，我們確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1.學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，完善對(duì)旋轉(zhuǎn)三要素的認(rèn)識(shí)，能用中心、方向和角度描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程，并且能夠用它們判斷旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

2.學(xué)生在觀察、思考中明白：旋轉(zhuǎn)的三要素確定了，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就確定了，明確三要素的內(nèi)在意義。

3.通過(guò)觀察、想象、驗(yàn)證等活動(dòng)，學(xué)生自主探究圖形旋轉(zhuǎn)的特征：旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀和大小不變；對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角度，為畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形積累經(jīng)驗(yàn)。

4.學(xué)生通過(guò)觀察建立表象，借助表象展開(kāi)想象，培養(yǎng)空間想象能力。

二、實(shí)踐

基于以上思考，我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，主要教學(xué)過(guò)程如下：

（一）回憶預(yù)學(xué)，引入探究

師（出示課前預(yù)習(xí)單）：上課之前，我們做了預(yù)學(xué)單。對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三種圖形的運(yùn)動(dòng)方式：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)。你覺(jué)得指針的運(yùn)動(dòng)是哪一種呢？（生：這是旋轉(zhuǎn)）在描述指針的旋轉(zhuǎn)過(guò)程時(shí)，同學(xué)們都是怎么想的呢？一起來(lái)看看。

（二）操作感悟，理解旋轉(zhuǎn)

1.理解旋轉(zhuǎn)的三要素

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察這個(gè)同學(xué)的預(yù)學(xué)單（如圖2），他在描述指針的旋轉(zhuǎn)時(shí)說(shuō)出了什么？（生：角度）我們請(qǐng)他說(shuō)說(shuō)是怎么想的。

生1：鐘面上從12到3的角度是90毅，一共有3個(gè)大格，所以每個(gè)大格是30毅。

師：你可真會(huì)計(jì)算，指針走一大格就是30毅，度是一個(gè)計(jì)量角的大小的單位，那你從這兒看到一個(gè)角了嗎？它的兩條邊在哪里呢？

生1：指針原來(lái)的位置和現(xiàn)在的位置可以看成角的兩條邊。

師：大家想象一下他說(shuō)的角在哪里。誰(shuí)能上來(lái)找給大家看一下？（生上臺(tái)指角）你們找的是一樣的嗎？你們看到的角，一條邊是指針原來(lái)的位置，另一條邊是指針旋轉(zhuǎn)后的位置。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)角就叫旋轉(zhuǎn)角。這個(gè)同學(xué)在想象運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)關(guān)注到了角度，我們把他的想法記下來(lái)。（板書(shū)：角度）我們繼續(xù)來(lái)看，（出示圖3）這個(gè)同學(xué)說(shuō)出了什么？你知道順時(shí)針?lè)较蚴鞘裁匆馑紗幔?/p>

生2：就是鐘面上時(shí)針運(yùn)動(dòng)的方向，從12開(kāi)始到1，再到2，這樣轉(zhuǎn)下去就是順時(shí)針?lè)较颉?/p>

師：是的，在數(shù)學(xué)上，我們習(xí)慣用順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较蛎枋鰣D形的旋轉(zhuǎn)。（出示圖4）有些同學(xué)不太能理解為什么是順時(shí)針?lè)较颍l(shuí)能想個(gè)辦法給他們說(shuō)清楚？

生3：圖4中停車(chē)桿的運(yùn)動(dòng)可以看成鐘面上指針從9到12，這還是順時(shí)針?lè)较颉?img src="https://cimg.fx361.com/images/2018/07/02/qkimageshnjxhnjx201806hnjx20180612-3-l.jpg"/>

師：是的，它就相當(dāng)于鐘面上從9旋轉(zhuǎn)到12，這就是順時(shí)針?lè)较?。與順時(shí)針?lè)较蛳喾吹姆较蚴悄鏁r(shí)針?lè)较颉＃ǔ鍪緢D5）秋千蕩過(guò)去是順時(shí)針?lè)较?，蕩回?lái)就是逆時(shí)針?lè)较颉偛胚@些同學(xué)關(guān)注到的是方向，我們也把它記下來(lái)。（板書(shū)：方向）在描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程時(shí)，這個(gè)同學(xué)指出了指針繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（出示圖6），你能和大家說(shuō)說(shuō)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是什么意思嗎？

生4：O點(diǎn)固定不動(dòng)，然后指針圍繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)。

師：那是不是和她說(shuō)的一樣呢？（課件演示）請(qǐng)仔細(xì)觀察，指針在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，O點(diǎn)的位置有沒(méi)有動(dòng)？（沒(méi)有動(dòng)）你覺(jué)得這點(diǎn)有什么作用？（可以固定位置）這個(gè)同學(xué)想到了旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)，也就是一個(gè)中心點(diǎn)，并且一個(gè)“繞”字表達(dá)得非常準(zhǔn)確，我們也把她這個(gè)非常有價(jià)值的想法寫(xiě)下來(lái)。（板書(shū)：中心）剛才同學(xué)們從不同的視角看到或者想到了中心、方向、角度。那如果我想對(duì)指針下達(dá)一個(gè)指令，讓指針從12旋轉(zhuǎn)到3的位置，你會(huì)怎么下達(dá)這個(gè)指令呢？請(qǐng)你們?cè)囍约貉芯俊?/p>

活動(dòng)要求：（1）先自己獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流。（2）請(qǐng)?jiān)囍忉屇銈兊南敕ā?/p>

學(xué)生小組活動(dòng)后匯報(bào)：指針繞O點(diǎn)順指針旋轉(zhuǎn)90毅。

師：我發(fā)覺(jué)你們都說(shuō)出了中心、方向、角度。一定要這樣嗎？我就說(shuō)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90毅不行嗎？

生5：不行，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)才會(huì)到3，如果是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就會(huì)到9了。

師：看樣子，要想確保指針旋轉(zhuǎn)到確定的位置，說(shuō)清楚方向很重要。那為什么還要說(shuō)出中心和角度呢？

生6：如果轉(zhuǎn)的角度不一樣，指針的位置會(huì)不一樣，比如指針從12順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30毅就到了1，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60毅就到了2，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅就到了3，每多一個(gè)大格就會(huì)多30毅。

師：轉(zhuǎn)的角度不一樣，位置也會(huì)不一樣。你會(huì)觀察，也會(huì)思考?，F(xiàn)在你們能想象出指針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程嗎？請(qǐng)先記下指針的位置和形狀，然后想象指針的旋轉(zhuǎn)過(guò)程。（課件演示）也就是說(shuō)，說(shuō)出了中心、方向、角度，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就確定了。中心、角度、方向在旋轉(zhuǎn)中非常重要，它們就是旋轉(zhuǎn)的三要素。（板書(shū)）

2.理解旋轉(zhuǎn)的特征

師：借助指針，我們知道了用三要素描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程準(zhǔn)確又完整。（出示圖7）那你能完整地描述這個(gè)三角形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程嗎？（指名描述）你能想象出他說(shuō)的這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程嗎？現(xiàn)在請(qǐng)每個(gè)同學(xué)把三角形AOB的位置和樣子畫(huà)在腦海里，特別提醒：中心的位置不能動(dòng)，把你腦海中的三角形AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅。（學(xué)生閉眼想象）

師：（課件演示）剛才你們想象的旋轉(zhuǎn)過(guò)程是這樣的嗎？你是怎么看出三角形旋轉(zhuǎn)了90毅的？

生7：OA憶和OA之間的夾角的度數(shù)是90毅。

師：你為什么要把OA憶和OA放在一起想呢？

生7：因?yàn)镺A繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅后會(huì)到OA憶的位置。

師：圖中OA旋轉(zhuǎn)到了OA憶的位置，我們就說(shuō)OA憶是OA的對(duì)應(yīng)線段，這兩條線段之間的夾角是90毅。那像這樣的對(duì)應(yīng)線段你還找得出來(lái)嗎？

生8：OB和OB憶也是一組對(duì)應(yīng)線段，它們形成的角也是90毅。

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察每一組對(duì)應(yīng)線段，想一想，它們有什么相同點(diǎn)？

生9：它們長(zhǎng)度一樣。OA和OA憶的長(zhǎng)度是4格，OB和OB憶都是2格。

師：旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度沒(méi)有改變。還有什么也沒(méi)有變？

生10：旋轉(zhuǎn)后的形狀沒(méi)變。

生11：旋轉(zhuǎn)后的大小沒(méi)有變。

師：形狀和大小都相同。還有嗎？

生12：旋轉(zhuǎn)中心的位置不變。

師：旋轉(zhuǎn)后，旋轉(zhuǎn)中心的位置不變，三角形AOB的形狀和大小不變，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。那你能找出什么變了嗎？

生：圖形的位置變了。圖形的方向也變了。

師：從線段到圖形，從圖形又回到線段，我們發(fā)現(xiàn)，三角形AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅后，形狀、大小不變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等。變化的是三角形AOB的位置和方向，具體來(lái)說(shuō)就是每條邊都繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90毅。

（三）拓展練習(xí)，豐富感知

1.停車(chē)桿的運(yùn)動(dòng)

師：在課前預(yù)學(xué)單中，同學(xué)們對(duì)于停車(chē)桿的運(yùn)動(dòng)，有的認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)，有的認(rèn)為是平移，現(xiàn)在你會(huì)怎么認(rèn)為呢？

生13：我認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅。

師：是的，這也是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。你能描述它的旋轉(zhuǎn)過(guò)程嗎？（學(xué)生描述）（出示圖8）你們見(jiàn)過(guò)鐘擺的運(yùn)動(dòng)嗎？鐘擺的運(yùn)動(dòng)是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法。

生14：鐘擺的運(yùn)動(dòng)也是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，只是它擺動(dòng)的角度很小。

師：盡管鐘擺旋轉(zhuǎn)的角度不大，但是它依然能用旋轉(zhuǎn)的三要素描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程。想一想，如果繼續(xù)不斷地旋轉(zhuǎn)下去，最終會(huì)怎么樣？

生15：會(huì)形成一個(gè)圓。

師：大家能想象出一個(gè)圓嗎？（課件演示線段旋轉(zhuǎn)一周后形成圓的過(guò)程）你能描述這條線段的旋轉(zhuǎn)過(guò)程嗎？

生16：線段繞中心點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360毅。

師：同學(xué)們很有想象力。前面我們研究的都是一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其實(shí)，在數(shù)學(xué)上，有時(shí)還可以把一個(gè)圖形繞著某條線段旋轉(zhuǎn)一周。如果把長(zhǎng)方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周，你能想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形嗎？（學(xué)生描述，課件演示）你們太有想象力了。希望你們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中也能插上想象的翅膀，飛得更高、更遠(yuǎn)。

三、討論

1.要素之“要”在哪？

旋轉(zhuǎn)三要素的教學(xué)是第二學(xué)段旋轉(zhuǎn)教學(xué)的重點(diǎn)。通過(guò)對(duì)學(xué)生的學(xué)前調(diào)研的分析，我們認(rèn)為，要素之“要”體現(xiàn)在：（1）確定旋轉(zhuǎn)結(jié)果的必要因素。“要讓指針從12旋轉(zhuǎn)到3，應(yīng)該給出一個(gè)什么樣的指令”，在對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考和研究中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到要得到確定的旋轉(zhuǎn)結(jié)果，旋轉(zhuǎn)的三要素缺一不可。（2）判斷旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的重要依據(jù)。停車(chē)桿的運(yùn)動(dòng)、秋千的運(yùn)動(dòng)、鐘擺的運(yùn)動(dòng)等都是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，我們都能夠用三要素來(lái)描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程。（3）研究旋轉(zhuǎn)特征的重要基礎(chǔ)。旋轉(zhuǎn)變換一共有兩個(gè)要點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)中心和角度。教學(xué)中教師多次讓學(xué)生觀察、體會(huì)旋轉(zhuǎn)中心位置不變的特點(diǎn)。這些都是學(xué)生研究旋轉(zhuǎn)特征的重要基礎(chǔ)。

2.關(guān)于例2的研究與教學(xué)。

新教材在三要素的認(rèn)識(shí)和畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)中增加了例2。通過(guò)分析和思考，我們認(rèn)為例2的教學(xué)是為了幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)三要素的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的特征。這個(gè)探究對(duì)學(xué)生是非常有必要的。我們?cè)?jīng)對(duì)六年級(jí)的孩子做了一次畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形的檢測(cè)，在參加檢測(cè)的115個(gè)學(xué)生中，全對(duì)的僅59人。從檢測(cè)結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤集中在：方向錯(cuò)誤，特別是逆時(shí)針?lè)较?，中心點(diǎn)位置移動(dòng)，改變了圖形的形狀和大小。為此，在本課中，我們遵循從線段到圖形的認(rèn)知規(guī)律，借助線段研究旋轉(zhuǎn)的三要素以后，再把學(xué)生的認(rèn)知上升到簡(jiǎn)單的平面圖形的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中剝離出簡(jiǎn)單圖形，經(jīng)歷“線段—圖形—線段”的內(nèi)化與循環(huán)，為畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形打好基礎(chǔ)。

3.怎么培養(yǎng)空間想象能力？

準(zhǔn)確地畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，要求學(xué)生具有一定的空間想象能力。要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，我們?cè)诮虒W(xué)中遵循了這樣的思路：先為學(xué)生提供旋轉(zhuǎn)的直觀演示，讓學(xué)生建立旋轉(zhuǎn)的表象，在此基礎(chǔ)上給學(xué)生提供想象的機(jī)會(huì)。在學(xué)生有了一定的想象基礎(chǔ)后，引導(dǎo)學(xué)生把旋轉(zhuǎn)變?yōu)樗麄兡X海中的動(dòng)態(tài)過(guò)程。有了圖形在腦海中“轉(zhuǎn)起來(lái)”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就能做出準(zhǔn)確判斷。在這一過(guò)程中，教師對(duì)學(xué)生提出具體的要求，教給學(xué)生想象的方法。比如，教師特別提醒：中心的位置不能動(dòng)，把你腦海中的三角形AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90毅?？坍?huà)圖形—關(guān)注中心—?jiǎng)討B(tài)旋轉(zhuǎn)，清晰的三步曲讓想象中的旋轉(zhuǎn)過(guò)程清晰化，學(xué)生可以順著想象的階梯，準(zhǔn)確地在腦海中“畫(huà)”出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

（執(zhí)筆：鐘東平、樓捷、段建國(guó)、詹婧、黃琨、徐旺、李闖）