一次質(zhì)疑背后隱藏的運(yùn)算順序設(shè)計(jì)原理

黃勛強(qiáng)

[摘 要]運(yùn)算順序一直是運(yùn)算教學(xué)的難點(diǎn)。教師在教學(xué)“乘法和加、減法的兩步混合運(yùn)算”時(shí)，通過用算式記錄數(shù)數(shù)過程、用示意圖詮釋算式、用故事豐盈算式等方式，徹底擺正加法和乘法的運(yùn)算地位。

[關(guān)鍵詞]乘法；加減法；算式記錄；星陣圖；數(shù)數(shù)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）14-0029-02

一位教師在教學(xué)“乘法和加、減法的兩步混合運(yùn)算” （北師大版教材四年級(jí)）時(shí)，先提出情境圖中（列式為：和）的兩個(gè)問題，在分析題設(shè)條件后，讓學(xué)生揣摩計(jì)算步驟并闡明理由，最后，在學(xué)生匯報(bào)展示后做出先算乘法后算加減的小結(jié)。顯然，這種小結(jié)有強(qiáng)制灌輸之嫌，因?yàn)檫@個(gè)規(guī)律顯然違反了一貫的從左至右的運(yùn)算順序，所以學(xué)生難以接受。因此，只有通過一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)來闡釋和揭露其中的道理，方能讓學(xué)生信服。

環(huán)節(jié)一：用算式記錄數(shù)數(shù)過程——讓順序占理

【活動(dòng)1】數(shù)星星

師（出示“星陣”圖1：18顆星點(diǎn)（如圖1））：想數(shù)清圖中共有多少星點(diǎn)，如何操作才比較方便？

生：2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)；3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)；5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)……

師：誰來演示5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)？

（生1演示如圖2）

師：生1數(shù)了幾次？

生2：數(shù)了3次，剩下3個(gè)。

生3：也可以數(shù)4次，只不過最后一次不夠數(shù)，只能數(shù)出3個(gè)。

生4：最后一次缺2個(gè)。（如圖3）

（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)星點(diǎn)是低年級(jí)學(xué)生喜聞樂見的游戲活動(dòng)，選擇的兩種數(shù)法體現(xiàn)了兩種情況：剛好數(shù)完與有剩余。前者是與整除平分不謀而合，后者則會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙。學(xué)生經(jīng)過探究辨析后求同存異：“5個(gè)一起數(shù)，點(diǎn)算3次，余3個(gè)”，即“有余”（如圖2）；“數(shù)4次，缺2個(gè)”，即“不足”（如圖3）。這兩種思路，都與乘加、乘減相關(guān)，不管是“剩余”，還是“欠缺”，數(shù)的過程都是先求出5的倍數(shù)（乘法），再加減零頭。）

【活動(dòng)2】列式

師：你可以用簡(jiǎn)潔的算式表示2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)嗎？

生：2×9、9×2、2+2+2+2+2+2+2+2+2。

師：用同樣的方式表達(dá)5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)的方法。

生1：5×3=15，15+3=18。

生2：5+5+5+3。

生3：5×3+3。

生4：5×4-2。

師：上列算式都能呈現(xiàn)數(shù)星點(diǎn)的過程嗎？5×3+3這個(gè)算式夾雜著乘法和加法，計(jì)算順序是怎樣的？為什么？

生5：先算5×3，代表3次數(shù)了5個(gè)，再加上剩下的3個(gè)。

師：由此看來，計(jì)算順序忠實(shí)地服從了我們的操作過程。請(qǐng)讀出式子，要強(qiáng)調(diào)先算5×3的信息。

生6：5乘以3，然后加上3；5乘以3的積加3。

（設(shè)計(jì)意圖：算式是對(duì)數(shù)星點(diǎn)的一種符號(hào)記載，2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)的算式是溫故乘法的意義；5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)的算式是新知。從數(shù)星點(diǎn)到列式，是抽象到具象的過程，而數(shù)星點(diǎn)的程序暗含了計(jì)算次序的編排，讓學(xué)生聯(lián)系點(diǎn)算過程和列式形式，再研究“乘加混雜，先算什么”，就是用數(shù)星點(diǎn)的操作活動(dòng)來推動(dòng)學(xué)生思考運(yùn)算順序，順理成章。）

環(huán)節(jié)二：用示意圖詮釋算式——讓“順序”說理

【活動(dòng)3】找圖形

師（展示“星陣”圖4：23顆星點(diǎn)（如圖4））：能學(xué)著剛才的樣子來列式表達(dá)嗎？（展不同數(shù)法示意圖（如圖5、圖6、圖7、圖8），學(xué)生寫式子）

師：對(duì)于算式“5×4+3”，你能看透式子背后蘊(yùn)含的數(shù)法嗎？

生1：這個(gè)算式對(duì)應(yīng)的是圖6，明顯看出是4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了5份，多出3個(gè)。

生2：這個(gè)算式也可能對(duì)應(yīng)的是圖7，明顯看出是5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了4份，多出3個(gè)。

師： 6×4-1呢？

生3：可能是圖6?？梢赃@樣看，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，差1個(gè)就夠6份。也可能是圖8，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)，差1個(gè)就湊夠4份。

師：假如這兩個(gè)算式是出于同一幅示意圖呢？

生4：那就是圖6。

師：請(qǐng)大家推斷其余算式分別代表哪種數(shù)法，然后與同學(xué)交流。

（設(shè)計(jì)意圖：星陣圖選擇23這個(gè)數(shù)據(jù)，是因?yàn)?3是質(zhì)數(shù)，沒有因數(shù)，迫使學(xué)生列出的算式必須帶有“零頭”，也就是必須包含加減法。反饋時(shí)，沒有評(píng)講，而是逆向追溯，這樣既能增加練習(xí)的新鮮度，又通過正反雙向貫通，讓學(xué)生思路更清晰。）

環(huán)節(jié)三：用故事豐盈算式——讓“順序”合理

【活動(dòng)4】講故事

師（課件展示：“星陣圖”里的星星擴(kuò)大變化成氣球）：現(xiàn)在星星變成了氣球，你能現(xiàn)編一個(gè)故事嗎？

生1：為了慶祝國(guó)慶節(jié)，同學(xué)們?cè)鷼馇驗(yàn)樽鎳?guó)獻(xiàn)禮，每5個(gè)扎一束，扎了4束，還多3個(gè)，共有幾個(gè)氣球？

師：如何列式？

生2：5×4+3，5×5-2。

師：運(yùn)算順序是怎樣的？理由是什么？

生3：先算5×4，代表能夠扎4束，再算上剩下不夠扎一束的3個(gè)，就是氣球總數(shù)。

師：這些星星還能變成什么？用你豐富的想象力來編故事。

師（展示氣球圖）：有個(gè)學(xué)生根據(jù)氣球畫面列式為23-5×4，背后有什么故事呢？

生4：為了慶祝國(guó)慶節(jié)，少先隊(duì)準(zhǔn)備了23個(gè)氣球，打算扎成“團(tuán)結(jié)”的圖案，每5個(gè)扎一束，扎了4束后，還剩下幾個(gè)氣球？

師：運(yùn)算順序是什么？說明你的理由。

生5：先算5×4，代表扎圖案用掉氣球的個(gè)數(shù)，再?gòu)目倲?shù)23里面抵扣，就是剩余氣球的個(gè)數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：星星只是一個(gè)計(jì)數(shù)代碼，具有抽象性，可以被任何實(shí)物取代。本環(huán)節(jié)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，讓學(xué)生賦予星星各種變化，既增強(qiáng)了學(xué)習(xí)樂趣，又凸顯運(yùn)算的算理。在這些童話般的變化中，學(xué)生逐漸感悟到其中的辯證關(guān)系：算式不變，算理不變，計(jì)算順序不變。）

設(shè)計(jì)算式“23-5×4”是為了追求變式，以此來發(fā)散學(xué)生的思維，因?yàn)榍懊妗俺嗽谇埃樱p）在后”的范式，會(huì)對(duì)學(xué)生造成誤導(dǎo)，學(xué)生很容易想當(dāng)然——乘和加、減混合運(yùn)算的順序就是“從左往右”，教師只有及時(shí)補(bǔ)充特例，才有利于學(xué)生形成全面且正確的認(rèn)知。

教學(xué)活動(dòng)的素材選用的一直是“星陣圖”，主要是考慮到低齡學(xué)生注意力難以集中，花哨鮮艷的素材，會(huì)暫時(shí)引起學(xué)生濃烈的興趣，但也會(huì)喧賓奪主，掩蓋和削弱知識(shí)本身的吸引力。“星陣圖”雖然略顯單薄，但在賦予它各種變化后，也能吸引學(xué)生去關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)本身。

綜上，四次活動(dòng)一以貫之，逐級(jí)遞進(jìn)，自始至終沿著著“圖形→表述→算式”的邏輯鋪開，既有順向明證，又有逆向反證。這樣，學(xué)生就能牢牢掌握“混合運(yùn)算順序”的理論基礎(chǔ)。

（責(zé)編 金 鈴）