做足操作與體驗(yàn)過程，讓面積“形神兼?zhèn)洹?/h1>
2018-06-30 09:24:00于紅艷侯軍秀鄒素英
小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué)) 2018年5期 關(guān)鍵詞：面積
于紅艷 侯軍秀 鄒素英
[摘 要]通過“面積與面積單位”的兩次教學(xué)，分析學(xué)生建構(gòu)面積概念時(shí)出現(xiàn)的真實(shí)思維障礙。教師在教學(xué)中要設(shè)計(jì)有層次性的活動(dòng)，給予學(xué)生足夠的操作時(shí)間與空間，讓學(xué)生既能了解面積是表示“形”的大小，又能很好地把握面積的“實(shí)質(zhì)”，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)面積概念的真理解。
[關(guān)鍵詞]面積；面積單位；面積概念
[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）14-0014-02
在教學(xué)“面積與面積單位”時(shí)，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了1平方厘米后，為更好地幫學(xué)生明確面積概念、建立“平方厘米”的表象，教師出示了一張正方形的紙片，讓學(xué)生先估計(jì)再測(cè)量它的面積，學(xué)生給出了如圖1所示的測(cè)量方法。對(duì)此，教師只能慨嘆：學(xué)生經(jīng)?；煜荛L(zhǎng)與面積的概念。
為什么總是出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？學(xué)生真實(shí)的思維障礙在哪里？學(xué)生能說出面積的“定義”，就代表他真正理解了這個(gè)概念嗎？教學(xué)中，設(shè)計(jì)什么活動(dòng)，才能讓學(xué)生既了解面積是表示“形”的大小，又能很好地把握面積的“實(shí)質(zhì)”？下面，我將結(jié)合“面積概念建構(gòu)”的兩次教學(xué)來分析學(xué)生出現(xiàn)上述問題的真實(shí)思維障礙，以及相應(yīng)的解決辦法。
一、“線”與“面”混淆怎么辦？
【嘗試一】
師：（通過課前交流，引出師生比手掌大小的活動(dòng)，讓學(xué)生明確：手掌面的大小就是手掌的面積）手掌有面積，那數(shù)學(xué)書的封面有面積嗎？數(shù)學(xué)書封面的面積指的是什么？（學(xué)生僅僅能用手指出數(shù)學(xué)書封面的面積，用語言描述時(shí)很生澀）
師：還能找到其他物體的面積嗎？（在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生找到了黑板、課桌等物體表面的面積）
師：我們找到了黑板面、課桌面、課本封面等物體表面的面積。那圖形有面積嗎？
師（課件呈現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形、圓、平行四邊形）：這些平面圖形的面積指的又是什么呢？
……
一節(jié)課下來，盡管學(xué)生能“鸚鵡學(xué)舌”般地用生澀的語言簡(jiǎn)單描述什么是面積，但“面積概念建構(gòu)”這一教學(xué)活動(dòng)有如走過場(chǎng)，并沒有引領(lǐng)學(xué)生真正深入地體驗(yàn)和感知面積概念的本質(zhì)。要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)面積的真理解，教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)就應(yīng)凸顯層次性。帶著這樣的思考，我進(jìn)行了二次執(zhí)教。
【嘗試二】
1.感知面
師（板書：面）：認(rèn)識(shí)這個(gè)字嗎？這節(jié)課我們要研究的內(nèi)容就和面有關(guān)。仔細(xì)觀察，你能從哪些物體上找到面？
生1：我能從書上找到面。
師：你能指一下哪里是書的面嗎？
（學(xué)生做了一個(gè)摸書面的動(dòng)作）
師：她做了一個(gè)什么動(dòng)作？
生（齊）：摸。
師：一個(gè)摸的動(dòng)作，讓我們直觀地感受到哪里是數(shù)學(xué)書的封面。誰能像這位同學(xué)這樣摸出其他物體的面？
生2（邊摸邊說）：這是文具盒的一個(gè)面；這是黑板的表面……
師（出示樹葉、巧克力等）：我還帶來幾件物品，能找到它們的面嗎？
師（出示杯子）：你能找到杯子的面嗎？（學(xué)生回答略）
師：你們不僅找到了杯子這兩個(gè)平平的面，就連這個(gè)彎曲的面也逃不過你們的眼睛。
師：我們從這么多物體的表面上找到了面。如果我把杯子的這個(gè)面（上面）印畫下來，會(huì)是什么形狀？
生3：圓形。（教師用課件呈現(xiàn)）
師：如果把數(shù)學(xué)書的封面印畫下來呢？
生4：長(zhǎng)方形。（教師用課件呈現(xiàn)）
師：樹葉的面呢？
生5：手掌形。
師（課件呈現(xiàn)）：會(huì)得到這樣一個(gè)不規(guī)則的圖形。
師（課件呈現(xiàn)）：你們能找到這三個(gè)封閉圖形的面嗎？誰來摸一摸？
2.感知面積
師（課件呈現(xiàn)圓形、長(zhǎng)方形、不規(guī)則圖形）：對(duì)比這三個(gè)封閉圖形，哪個(gè)圖形的面最大？哪個(gè)圖形的面最??？
生6：長(zhǎng)方形的面最大，圓的面最小。
師：那黑板表面與課桌表面相比呢？
生7：黑板面大，課桌面小。
師：看來，面有大有小，物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。比如，黑板表面的大小就是黑板面的面積；數(shù)學(xué)書封面的大小就是數(shù)學(xué)書封面的面積。誰能像老師這樣邊摸邊說其他物體表面的面積？
生8（邊摸邊說）：地面的大小就是地面的面積；文具盒這個(gè)面的大小就是它的面積……
師：剛才我們研究了物體表面的面積，那這些封閉圖形的面積指的又是什么呢？ （學(xué)生交流）
師（總結(jié)）：通過剛才的交流，我們對(duì)面積有了進(jìn)一步的理解。
二、對(duì)比反思中的教學(xué)策略
兩次執(zhí)教結(jié)束后，我們團(tuán)隊(duì)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平分別對(duì)12名學(xué)生進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)評(píng)。給學(xué)生提供材料：一張面積是6平方厘米的長(zhǎng)方形紙片、一把尺子、面積為1平方厘米的正方形紙片若干。測(cè)評(píng)問題為：長(zhǎng)方形的面積是（ ），周長(zhǎng)是（ ）。學(xué)生兩次答題的正確率分別為：72%，90%。顯然，不同的教學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生帶來的體驗(yàn)與感知是不同的，進(jìn)而呈現(xiàn)不同的教學(xué)效果。
1.先感知“面”再比較“面的大小”——凸顯活動(dòng)設(shè)計(jì)的層次性
“思而后疑”，一個(gè)有效的教學(xué)活動(dòng)緣于教師的深思和質(zhì)疑，在一次次的自我否定中逐步完善教學(xué)活動(dòng)。
初次執(zhí)教，因?yàn)槲覜]有給學(xué)生提供有效且富有層次性的活動(dòng)，所以學(xué)生對(duì)“面在哪”沒有足夠的體驗(yàn)與感知。沒有具體的表象做支撐，學(xué)生自然沒有建立起面積是表示“形”的大小，即“一大片”的概念，不能很好地把握面積的“實(shí)質(zhì)”，即面積是“小面積”的累加，所以在測(cè)量正方形的面積時(shí)便出現(xiàn)了圖1的情況。
課后，我對(duì)面積的概念及本質(zhì)進(jìn)行了客觀分析，決定對(duì)活動(dòng)進(jìn)行重建：首先通過找面、摸面、畫面等系列操作活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生感知面在哪里，什么是面，建立面是“一大片”的表象；然后借助比面、估面、量面等體驗(yàn)活動(dòng)，明確無論是規(guī)則的、不規(guī)則的物體表面，還是封閉圖形的面，都是有大小的，物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)面積概念的建構(gòu)。帶著這樣的理念與思路，我再次走進(jìn)課堂，進(jìn)行了第二次執(zhí)教。從測(cè)評(píng)結(jié)果來看，這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)是比較有成效的。
2.“做足”活動(dòng)過程——保證操作與體驗(yàn)的時(shí)間與空間
“智慧訓(xùn)練的目的是形成智慧而不是貯存記憶，是培養(yǎng)出智慧的探索者，而不僅僅是博學(xué)之才。”因而，“趕場(chǎng)式”的操作與體驗(yàn)過程，注定活動(dòng)是失敗的。第一次執(zhí)教時(shí)，學(xué)生跟隨教師的步伐，用短暫的幾分鐘匆匆走完了建構(gòu)面積概念的歷程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)面積的意義及本質(zhì)理解不準(zhǔn)確。而第二次執(zhí)教時(shí)，我放慢步子，將學(xué)生操作與體驗(yàn)的過程做足、做實(shí)，給學(xué)生提供充分的時(shí)間與空間去感知。當(dāng)學(xué)生再次使用1平方厘米這個(gè)面積單位測(cè)量正方形面積時(shí)，便有了如圖2所示的做法和下面的交流：
生1：用4個(gè)1平方厘米的小正方形才能把大正方形擺滿，所以這個(gè)大正方形的面積就是4平方厘米。
生2：你為什么要把小正方形放在大正方形的上面測(cè)量，而不把它放到邊上測(cè)量？
生1：因?yàn)槲覀円獪y(cè)量的是這個(gè)正方形的面的大小，而不是邊的長(zhǎng)短（邊比畫邊交流）。
生2：你怎么知道它的面積是4平方厘米？
生1：因?yàn)樗怯?個(gè)1平方厘米的小正方形組成的。
師：也就是說它包含了幾個(gè)面積單位，面積就是幾，對(duì)嗎？
學(xué)生在操作及互相質(zhì)疑的過程中主動(dòng)對(duì)比“線”與“面”的不同，進(jìn)而建立起“周長(zhǎng)”與“面積”概念的清晰表象。這種體驗(yàn)與感受只有在親歷活動(dòng)和直觀感知的基礎(chǔ)之上才能得到，是任何教師單純的說教所替代不了的。
正如《兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——皮亞杰研究的教育含義》一書中談到的“智慧自動(dòng)作發(fā)端，活動(dòng)是聯(lián)結(jié)主客體的橋梁。把活動(dòng)原則實(shí)施于教學(xué)過程，就應(yīng)放手讓兒童去動(dòng)手、動(dòng)腦探索外物，獲得豐富的邏輯——數(shù)理經(jīng)驗(yàn)，通過反省的抽象，逐步形成、發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！?/p>
三、歷經(jīng)異樣的活動(dòng)與收獲異樣的精彩
課堂教學(xué)時(shí)間僅有短短的40分鐘，合理有效地實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)教學(xué)活動(dòng)安排教學(xué)內(nèi)容就顯得非常重要。一個(gè)豐富、有趣的教學(xué)活動(dòng)不僅能使教學(xué)任務(wù)順利實(shí)施，使學(xué)生學(xué)會(huì)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，成為學(xué)習(xí)的主人，還能增進(jìn)師生間的情感交流，使教師成功地成為課堂教學(xué)中的組織者、引導(dǎo)者與合作者。
第二次執(zhí)教“面積和面積單位”時(shí)，因?yàn)槲覍?duì)活動(dòng)有了更深層次的思考，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不僅明確了面積的“形”，即面積的概念，還體會(huì)到了面積的“神”，即面積的核心——單位、包含單位的個(gè)數(shù)，計(jì)量面積的原則——密鋪性、疊合性等。盡管面積的“神”對(duì)學(xué)生來說難以言表，但它早已深入學(xué)生內(nèi)心，學(xué)生之間智慧的碰撞、思維的交融，便是最好的例證。
不一樣的活動(dòng)，不一樣的體驗(yàn)，只要教師舍得花時(shí)間給學(xué)生提供操作與探索的空間，讓他們經(jīng)歷有效的活動(dòng)，學(xué)生定會(huì)收獲不一樣的精彩！
（責(zé)編 金 鈴）
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為什么總是出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？學(xué)生真實(shí)的思維障礙在哪里？學(xué)生能說出面積的“定義”，就代表他真正理解了這個(gè)概念嗎？教學(xué)中，設(shè)計(jì)什么活動(dòng)，才能讓學(xué)生既了解面積是表示“形”的大小，又能很好地把握面積的“實(shí)質(zhì)”？下面，我將結(jié)合“面積概念建構(gòu)”的兩次教學(xué)來分析學(xué)生出現(xiàn)上述問題的真實(shí)思維障礙，以及相應(yīng)的解決辦法。
一、“線”與“面”混淆怎么辦？
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師：還能找到其他物體的面積嗎？（在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生找到了黑板、課桌等物體表面的面積）
師：我們找到了黑板面、課桌面、課本封面等物體表面的面積。那圖形有面積嗎？
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【嘗試二】
1.感知面
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師（出示杯子）：你能找到杯子的面嗎？（學(xué)生回答略）
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生3：圓形。（教師用課件呈現(xiàn)）
師：如果把數(shù)學(xué)書的封面印畫下來呢？
生4：長(zhǎng)方形。（教師用課件呈現(xiàn)）
師：樹葉的面呢？
生5：手掌形。
師（課件呈現(xiàn)）：會(huì)得到這樣一個(gè)不規(guī)則的圖形。
師（課件呈現(xiàn)）：你們能找到這三個(gè)封閉圖形的面嗎？誰來摸一摸？
2.感知面積
師（課件呈現(xiàn)圓形、長(zhǎng)方形、不規(guī)則圖形）：對(duì)比這三個(gè)封閉圖形，哪個(gè)圖形的面最大？哪個(gè)圖形的面最??？
生6：長(zhǎng)方形的面最大，圓的面最小。
師：那黑板表面與課桌表面相比呢？
生7：黑板面大，課桌面小。
師：看來，面有大有小，物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。比如，黑板表面的大小就是黑板面的面積；數(shù)學(xué)書封面的大小就是數(shù)學(xué)書封面的面積。誰能像老師這樣邊摸邊說其他物體表面的面積？
生8（邊摸邊說）：地面的大小就是地面的面積；文具盒這個(gè)面的大小就是它的面積……
師：剛才我們研究了物體表面的面積，那這些封閉圖形的面積指的又是什么呢？ （學(xué)生交流）
師（總結(jié)）：通過剛才的交流，我們對(duì)面積有了進(jìn)一步的理解。
二、對(duì)比反思中的教學(xué)策略
兩次執(zhí)教結(jié)束后，我們團(tuán)隊(duì)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平分別對(duì)12名學(xué)生進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)評(píng)。給學(xué)生提供材料：一張面積是6平方厘米的長(zhǎng)方形紙片、一把尺子、面積為1平方厘米的正方形紙片若干。測(cè)評(píng)問題為：長(zhǎng)方形的面積是（ ），周長(zhǎng)是（ ）。學(xué)生兩次答題的正確率分別為：72%，90%。顯然，不同的教學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生帶來的體驗(yàn)與感知是不同的，進(jìn)而呈現(xiàn)不同的教學(xué)效果。
1.先感知“面”再比較“面的大小”——凸顯活動(dòng)設(shè)計(jì)的層次性
“思而后疑”，一個(gè)有效的教學(xué)活動(dòng)緣于教師的深思和質(zhì)疑，在一次次的自我否定中逐步完善教學(xué)活動(dòng)。
初次執(zhí)教，因?yàn)槲覜]有給學(xué)生提供有效且富有層次性的活動(dòng)，所以學(xué)生對(duì)“面在哪”沒有足夠的體驗(yàn)與感知。沒有具體的表象做支撐，學(xué)生自然沒有建立起面積是表示“形”的大小，即“一大片”的概念，不能很好地把握面積的“實(shí)質(zhì)”，即面積是“小面積”的累加，所以在測(cè)量正方形的面積時(shí)便出現(xiàn)了圖1的情況。
課后，我對(duì)面積的概念及本質(zhì)進(jìn)行了客觀分析，決定對(duì)活動(dòng)進(jìn)行重建：首先通過找面、摸面、畫面等系列操作活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生感知面在哪里，什么是面，建立面是“一大片”的表象；然后借助比面、估面、量面等體驗(yàn)活動(dòng)，明確無論是規(guī)則的、不規(guī)則的物體表面，還是封閉圖形的面，都是有大小的，物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)面積概念的建構(gòu)。帶著這樣的理念與思路，我再次走進(jìn)課堂，進(jìn)行了第二次執(zhí)教。從測(cè)評(píng)結(jié)果來看，這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)是比較有成效的。
2.“做足”活動(dòng)過程——保證操作與體驗(yàn)的時(shí)間與空間
“智慧訓(xùn)練的目的是形成智慧而不是貯存記憶，是培養(yǎng)出智慧的探索者，而不僅僅是博學(xué)之才。”因而，“趕場(chǎng)式”的操作與體驗(yàn)過程，注定活動(dòng)是失敗的。第一次執(zhí)教時(shí)，學(xué)生跟隨教師的步伐，用短暫的幾分鐘匆匆走完了建構(gòu)面積概念的歷程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)面積的意義及本質(zhì)理解不準(zhǔn)確。而第二次執(zhí)教時(shí)，我放慢步子，將學(xué)生操作與體驗(yàn)的過程做足、做實(shí)，給學(xué)生提供充分的時(shí)間與空間去感知。當(dāng)學(xué)生再次使用1平方厘米這個(gè)面積單位測(cè)量正方形面積時(shí)，便有了如圖2所示的做法和下面的交流：
生1：用4個(gè)1平方厘米的小正方形才能把大正方形擺滿，所以這個(gè)大正方形的面積就是4平方厘米。
生2：你為什么要把小正方形放在大正方形的上面測(cè)量，而不把它放到邊上測(cè)量？
生1：因?yàn)槲覀円獪y(cè)量的是這個(gè)正方形的面的大小，而不是邊的長(zhǎng)短（邊比畫邊交流）。
生2：你怎么知道它的面積是4平方厘米？
生1：因?yàn)樗怯?個(gè)1平方厘米的小正方形組成的。
師：也就是說它包含了幾個(gè)面積單位，面積就是幾，對(duì)嗎？
學(xué)生在操作及互相質(zhì)疑的過程中主動(dòng)對(duì)比“線”與“面”的不同，進(jìn)而建立起“周長(zhǎng)”與“面積”概念的清晰表象。這種體驗(yàn)與感受只有在親歷活動(dòng)和直觀感知的基礎(chǔ)之上才能得到，是任何教師單純的說教所替代不了的。
正如《兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——皮亞杰研究的教育含義》一書中談到的“智慧自動(dòng)作發(fā)端，活動(dòng)是聯(lián)結(jié)主客體的橋梁。把活動(dòng)原則實(shí)施于教學(xué)過程，就應(yīng)放手讓兒童去動(dòng)手、動(dòng)腦探索外物，獲得豐富的邏輯——數(shù)理經(jīng)驗(yàn)，通過反省的抽象，逐步形成、發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！?/p>
三、歷經(jīng)異樣的活動(dòng)與收獲異樣的精彩
課堂教學(xué)時(shí)間僅有短短的40分鐘，合理有效地實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)教學(xué)活動(dòng)安排教學(xué)內(nèi)容就顯得非常重要。一個(gè)豐富、有趣的教學(xué)活動(dòng)不僅能使教學(xué)任務(wù)順利實(shí)施，使學(xué)生學(xué)會(huì)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，成為學(xué)習(xí)的主人，還能增進(jìn)師生間的情感交流，使教師成功地成為課堂教學(xué)中的組織者、引導(dǎo)者與合作者。
第二次執(zhí)教“面積和面積單位”時(shí)，因?yàn)槲覍?duì)活動(dòng)有了更深層次的思考，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不僅明確了面積的“形”，即面積的概念，還體會(huì)到了面積的“神”，即面積的核心——單位、包含單位的個(gè)數(shù)，計(jì)量面積的原則——密鋪性、疊合性等。盡管面積的“神”對(duì)學(xué)生來說難以言表，但它早已深入學(xué)生內(nèi)心，學(xué)生之間智慧的碰撞、思維的交融，便是最好的例證。
不一樣的活動(dòng)，不一樣的體驗(yàn)，只要教師舍得花時(shí)間給學(xué)生提供操作與探索的空間，讓他們經(jīng)歷有效的活動(dòng)，學(xué)生定會(huì)收獲不一樣的精彩！
（責(zé)編 金 鈴）
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