近世代數(shù)課程的教學(xué)探討

周潘岳 何婧

【摘 要】 近世代數(shù)課程教學(xué)在內(nèi)容上要注重抓主線和知識的應(yīng)用價(jià)值，加強(qiáng)與高等代數(shù)相關(guān)知識的聯(lián)系；在教學(xué)方法上要以具體實(shí)例引入課堂，聯(lián)系前后知識形成知識系統(tǒng)，引發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情。

【關(guān)鍵詞】 近世代數(shù)；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法

近世代數(shù)也稱為抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門非常重要的專業(yè)必修課，其特點(diǎn)是高度抽象，邏輯性強(qiáng)，推理嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生普遍認(rèn)為是一門難懂難學(xué)的課程，加之課程由大學(xué)三年一期開設(shè)，提前到二年一期，更加大了學(xué)習(xí)難度，導(dǎo)致很多學(xué)生苦不堪言。但是，如果降低難度和要求，學(xué)生就不能學(xué)到應(yīng)有的知識，達(dá)不到教學(xué)的效果，抽象思維能力和邏輯推理能力也得不到應(yīng)有的提高，這與我們的教學(xué)目標(biāo)相違背。那么如何解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)為太抽象、難度大的問題，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這給教師們提出了新的要求和挑戰(zhàn)。本文結(jié)合近世代數(shù)課程教學(xué)的情況，以文獻(xiàn)為例，[1]從以下方面，提出幾點(diǎn)建議，以供讀者參考。

一、教學(xué)內(nèi)容方面

近世代數(shù)這門課程的內(nèi)容涉及到大量抽象的概念、命題、定理和推論，對于剛接觸到這門課程的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)起來無疑是非常困難的，覺得內(nèi)容枯燥乏味，更不用提對這門課程的興趣。隨著我國高等教育的改革，要滿足當(dāng)前社會發(fā)展的需要，必須在大學(xué)增加其它新的課程。相應(yīng)的，專業(yè)教學(xué)計(jì)劃做了相應(yīng)的調(diào)整，壓縮了課時(shí)。這樣一來，想要詳細(xì)的上完整本書所有的內(nèi)容，這完全是不可能的。因此，上課教師應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求和其它課程安排，在不減少授課內(nèi)容，保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，合理安排教學(xué)任務(wù)，調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，激發(fā)學(xué)生的積極性和主觀能動(dòng)性。

1、抓主線，教內(nèi)容

教材的內(nèi)容主要包括群、環(huán)、域三個(gè)部分，這是近世代數(shù)最核心的內(nèi)容。在教授這三個(gè)部分過程中要抓住主線，圍繞這些主線進(jìn)行系統(tǒng)的教學(xué)。例如，群的主線是群同態(tài)，它是保持運(yùn)算的映射，揭示出兩個(gè)群的某些共同性質(zhì)，以此來區(qū)分兩者的異同。有關(guān)群的內(nèi)容都可以圍繞群同態(tài)而展開；環(huán)的主線是理想；域的主線是域擴(kuò)張。如果能夠抓住這些主線，在實(shí)際教學(xué)中一定能達(dá)到事半功倍的效果。

2、注重知識的應(yīng)用價(jià)值

近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的分支，它的基本內(nèi)容是每一個(gè)數(shù)學(xué)工作者必須具備的理論知識。更重要的是，有些數(shù)學(xué)方法是很多領(lǐng)域的科技工作者必須掌握的，它為理論物理、分析化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息安全、通訊和密碼學(xué)等提供了數(shù)學(xué)語言，這就是這門課程強(qiáng)大的生命力之所在。然而，很多教師在授課的時(shí)候壓根就不談應(yīng)用，只講證明，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明，不知為什么要學(xué)，學(xué)了有什么用，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，缺少學(xué)習(xí)動(dòng)力。

教師應(yīng)時(shí)刻把握時(shí)代發(fā)展的需求，特別是對近世代數(shù)在相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展要有所了解，將所講內(nèi)容聯(lián)系到實(shí)際的應(yīng)用。例如，當(dāng)今社會信息安全越來越重要，它不僅涉及到政治、經(jīng)濟(jì)、軍事和外交領(lǐng)域，與我們的日常生活也密切相關(guān)。信息安全最重要最核心的內(nèi)容就是密碼學(xué)，近世代數(shù)中有限域的內(nèi)容就應(yīng)用在密碼學(xué)中，[2]通過講述有限域在密碼學(xué)中的應(yīng)用能讓學(xué)生體會到近世代數(shù)這門課程的魅力和應(yīng)用價(jià)值，也很大程度上激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣。

3、加強(qiáng)與高等代數(shù)相關(guān)知識的聯(lián)系

近世代數(shù)是高等代數(shù)的后續(xù)課程，有很多的概念和定理是高等代數(shù)中相關(guān)概念和定理的推廣與延伸。所以，在講解這些內(nèi)容的時(shí)候，和學(xué)生一起回顧高等代數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生找到它們的相似和不同之處。比如在講授唯一分解多項(xiàng)式時(shí)，高等代數(shù)中講授的不可約多項(xiàng)式可以認(rèn)為是其中的一個(gè)特例。又比如在講解域的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生在高等代數(shù)的知識中去尋找域的具體例子，以便更好理解這些抽象概念。通過這樣的方法學(xué)習(xí)概念，符合學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，從表面現(xiàn)象到概念的認(rèn)識規(guī)律。讓學(xué)生明白課程之間或?qū)W科之間是相互聯(lián)系的，是一個(gè)有機(jī)的整體，也能激發(fā)和維持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、教學(xué)方法與教學(xué)手段方面

1、以具體實(shí)例引入課堂

近世代數(shù)課程具有高度抽象，推理嚴(yán)謹(jǐn)，理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，如果只是單純講授概念和定理，學(xué)生不知所云、枯燥乏味，大大影響教學(xué)效果。所以，在教學(xué)方法和內(nèi)容上，教師需要特別注意激發(fā)學(xué)生的興趣。在教學(xué)中，教師應(yīng)該盡量地把抽象和難懂的問題講得深入淺出，使學(xué)生容易理解和接受。在引出一個(gè)新的概念之前，教師盡量從具體的例子和問題出發(fā)，讓學(xué)生有一個(gè)從直觀到抽象的思維過程，這樣可以讓學(xué)生掌握基本概念的同時(shí)提高學(xué)生的抽象思維能力。

2、聯(lián)系前后知識，形成知識系統(tǒng)

近世代數(shù)的知識點(diǎn)很多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以掌握，對相似的知識點(diǎn)容易混淆。教師在教學(xué)過程中要注意及時(shí)總結(jié)相關(guān)知識，形成知識系統(tǒng)，同時(shí)對相似的概念和知識點(diǎn)進(jìn)行區(qū)別。使學(xué)生不僅能準(zhǔn)確掌握各知識點(diǎn)，也能從整體上掌握近世代數(shù)的基本知識和方法。

3、由教到引，引發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)

指導(dǎo)學(xué)生閱讀相關(guān)的教材，提高學(xué)生的自學(xué)能力。正如葉圣陶先生所說“所謂教師之主導(dǎo)作用，蓋在于引導(dǎo)啟迪，俾學(xué)生自奮其力，自致其知，非謂教師滔滔講說，學(xué)生默默聆受?！闭俏覀冋f的啟發(fā)式教學(xué)，教師在其中起畫龍點(diǎn)睛的作用。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該多鼓勵(lì)學(xué)生上講臺，為學(xué)生提供鍛煉的機(jī)會，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、分析問題和解決問題的能力。

4、黑板板書與多媒體教學(xué)工具配合使用

在教學(xué)手段上，應(yīng)該將傳統(tǒng)的黑板板書與多媒體等現(xiàn)代信息技術(shù)手段相結(jié)合，將教學(xué)內(nèi)容中那些思想簡單、易于理解但繁瑣的過程以PPT的形式向?qū)W生演示，而對邏輯推理較多的知識，采用黑板板書的形式進(jìn)行推理。這樣既可以節(jié)省大量書寫時(shí)間，又能讓學(xué)生掌握重要的思想方法，做到松緊得當(dāng)，快慢適宜，有的放矢。

5、教師的鼓勵(lì)是學(xué)生前進(jìn)的動(dòng)力

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)近世代數(shù)的時(shí)候都感到受挫和茫然，此時(shí)教師的鼓勵(lì)至關(guān)重要。任課教師也是他們在學(xué)習(xí)這門課程時(shí)最信任、最依賴的人。教師的期許有多高，學(xué)生在未來的道路上收獲的成果就有多大。通過期待的眼神、激勵(lì)人心的語言激發(fā)學(xué)生求知的欲望，提升學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的自信。記得一次期中考試，一位平時(shí)學(xué)習(xí)不認(rèn)真的同學(xué)成績很不理想，當(dāng)試卷發(fā)下來之后，他沮喪的問我：“老師，我只考了30分，怎么辦？”我拍拍他的肩膀說：“這次沒考好不要緊，你很聰明，我相信只要你認(rèn)真努力，一定能夠?qū)W得好?！睆哪且院?，這位同學(xué)一改以往學(xué)習(xí)態(tài)度，認(rèn)真聽課，成績突飛猛進(jìn)。

6、靈活多樣的課后輔導(dǎo)與答疑

近世代數(shù)課程難度大，內(nèi)容多，課堂時(shí)間有限，想利用課堂時(shí)間將內(nèi)容完全掌握理解比較困難。老師的指導(dǎo)和幫助能讓學(xué)生的課后練習(xí)與鞏固有更好的效果。在科技發(fā)達(dá)的時(shí)代，對學(xué)生的指導(dǎo)已經(jīng)不再僅局限于面對面的方式，可以使用各種交流手段靈活多樣的輔導(dǎo)與答疑。例如，每周安排一個(gè)固定的時(shí)間進(jìn)行面對面答疑，對于那種普遍存在的問題或者難度很大的習(xí)題，組織上一次習(xí)題課，也可以隨時(shí)通過微信或QQ的視頻通話進(jìn)行解決等等。雖然教材的練習(xí)題多，難度也很大，但通過這樣形式多樣，時(shí)間自由的輔導(dǎo)答疑方式，學(xué)生學(xué)起來就輕松很多，他們的學(xué)習(xí)興趣也就上去了，還能引發(fā)學(xué)生對很多相關(guān)問題的思考。同時(shí)，老師通過學(xué)生提問情況能及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有助于更好的教學(xué)，做到有的放矢，實(shí)現(xiàn)雙贏的局面。

三、結(jié)語

教學(xué)的實(shí)踐表明，近世代數(shù)的課堂教學(xué)一直存在或多或少的問題。如何上好一堂課，特別是像近世代數(shù)這么抽象的課程，需要花心思去摸索和實(shí)踐?？偠灾绾问沟谜n堂的教學(xué)煥發(fā)出新的活力，需要教師們繼續(xù)努力，不忘初心，牢記使命，永不停息。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 裴定一，郭華光.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] Yann Laigle-Chapuy. Permutation polynomials and applications to coding theory. Finite fields and their applications[J]. 2007.13（1）58-70.

【作者簡介】

周潘岳（1986-）男，湖南岳陽人，博士，湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院助理研究員，主要研究方向：代數(shù)表示論.