扭轉(zhuǎn)陀螺的運(yùn)動研究

洪子昕,時 凱,艾 清

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系 應(yīng)用光學(xué)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100875)

陀螺具有定軸性和進(jìn)動性特性. 在無法直接觀測到外界情況時，這兩大特性使我們能夠完成對物體的姿態(tài)控制，進(jìn)而完成汽車及飛機(jī)導(dǎo)航、彈道導(dǎo)彈慣性制導(dǎo)等任務(wù). 激光陀螺儀、MEMS陀螺儀等新型陀螺儀的出現(xiàn)[1-2]，更是將陀螺儀的應(yīng)用范圍拓展到了心臟檢測[3]等領(lǐng)域. 目前對于陀螺在無外力作用、在脈沖力矩作用下以及在常值力矩作用下的運(yùn)動研究已較為詳盡[4]. 2017年IYPT賽題中的第12題扭轉(zhuǎn)陀螺，提出了陀螺在變化力矩作用下會如何運(yùn)動的問題. 本文對機(jī)械陀螺儀進(jìn)行了分析，給出了陀螺運(yùn)動的理論預(yù)測，并從實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行了驗(yàn)證，直觀地展示了陀螺的定軸性和進(jìn)動性對陀螺運(yùn)動的影響.

1 理論分析

將陀螺分為框架與轉(zhuǎn)子2部分，轉(zhuǎn)子即轉(zhuǎn)動部分. 轉(zhuǎn)子的運(yùn)動可視為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動與質(zhì)心平動的疊加. 由于陀螺有良好的定軸性，本文只考慮轉(zhuǎn)子的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖1所示. 其中Z軸方向的灰色線段表示繩子,O點(diǎn)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心，ω為轉(zhuǎn)子初始角速度.

為了便于描述轉(zhuǎn)子的運(yùn)動，建立圖2所示的定坐標(biāo)系OXYZ與動坐標(biāo)系Oxyz. 定坐標(biāo)系是以轉(zhuǎn)子中心為原點(diǎn)O，以轉(zhuǎn)子初始角動量的方向?yàn)閄軸正向、以豎直向上為Z軸正向的右手坐標(biāo)系，固定不動；動坐標(biāo)系半固連在轉(zhuǎn)子上，隨著轉(zhuǎn)子一起運(yùn)動(不包括轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)).

圖1 陀螺示意圖

圖2 坐標(biāo)系

定坐標(biāo)系與動坐標(biāo)系的變換關(guān)系為：將定坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)過α角，得到圖2中的橙色坐標(biāo)系. 再繞y軸轉(zhuǎn)過θ角，得到圖2中的綠色坐標(biāo)系Oxyz，即動坐標(biāo)系. 圖3為運(yùn)動中陀螺的俯視圖與正視圖.

(a)陀螺俯視圖

(b)陀螺正視圖圖3 α和θ圖示

在此，可以進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化. 將轉(zhuǎn)子的空間定位問題轉(zhuǎn)化為2個坐標(biāo)系的相對位置問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為α和θ的確定問題.

歐拉動力學(xué)方程是研究定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的常用方程，這里引入歐拉動力學(xué)方程進(jìn)行理論推導(dǎo). 對框架-轉(zhuǎn)子整體列歐拉動力學(xué)方程[5]為

(1)

(2)

(3)

式中，Hx,Hy和Hz為動坐標(biāo)系下系統(tǒng)的角動量分量，ωx,ωy和ωz為對應(yīng)的角速度分量，Mx,My和Mz為對應(yīng)的力矩分量. 又已知在動坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的角動量為

(4)

式中，I1和I2分別為轉(zhuǎn)子和框架在x軸方向的轉(zhuǎn)動慣量，Iy和Iz為y和z方向框架與轉(zhuǎn)子整體的轉(zhuǎn)動慣量，φ為轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角. 將ωx,ωy,ωz,My和Mz用α,θ和φ表示，有

(5)

(6)

(7)

My=-rmgsinθ,

(8)

Mz=-kαcosθ,

(9)

式中，k為繩子的扭矩系數(shù)，r為轉(zhuǎn)子質(zhì)心至繩子與轉(zhuǎn)子連接點(diǎn)的距離，m為陀螺的質(zhì)量，g為重力加速度. 將(5)～(9)式代入(1)～(3)式. 同時，考慮到框架陀螺的力學(xué)特性[1]，即沿轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸方向的力矩?zé)o法向內(nèi)傳遞給轉(zhuǎn)子，只有傳遞到轉(zhuǎn)子上的力矩才能產(chǎn)生作用.Mx無法直接確定，需要通過實(shí)驗(yàn)探究Mx的形式，得到具有預(yù)測功能的經(jīng)驗(yàn)公式.

2 實(shí)驗(yàn)研究

2.1 未知參量求解

2.1.1 轉(zhuǎn)動慣量測量

使用轉(zhuǎn)動慣量測量儀測量陀螺x,y和z軸的轉(zhuǎn)動慣量，并且使用Capstone進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

將轉(zhuǎn)子視為多個規(guī)則圓盤的疊加，可算出x方向轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量I1. 由于轉(zhuǎn)動慣量具有可加性，因此可作差求出x方向框架的轉(zhuǎn)動慣量I2.

2.1.2 繩子扭矩系數(shù)測量

固定酶解時間為2 h，酶解溫度為50 ℃，料液比為1∶8 (g/mL)，試驗(yàn)考察了纖維素酶添加量對辣椒堿、辣椒二氫堿及辣椒紅色素含量的影響，試驗(yàn)結(jié)果見圖2。

實(shí)驗(yàn)采用橡皮繩，設(shè)繩子滿足扭力公式，即繩子的回復(fù)力矩M滿足

M=-kα,

(10)

由轉(zhuǎn)動定理得

(11)

該運(yùn)動為簡諧運(yùn)動，且運(yùn)動的角頻率滿足

(12)

在實(shí)驗(yàn)裝置的底部固定拍攝設(shè)備，按圖1連接好裝置，扭轉(zhuǎn)繩子數(shù)圈，再平穩(wěn)地釋放. 錄制自放手到繩子幾乎不再扭轉(zhuǎn)的視頻. 進(jìn)行后期處理，得到α-t關(guān)系圖像，并用Matlab擬合，如圖4所示. 得到擬合方程為

α=-10.7e-0.121tsin (3.61t-1.72)+0.566,

相關(guān)系數(shù)R2=0.996可以認(rèn)為在研究范圍內(nèi)，扭矩公式一直成立,則繩子的扭矩系數(shù)k=6.11×10-4kg·m2·rad2/s2.

圖4 扭矩系數(shù)擬合曲線

2.1.3Mx探究

按圖5搭建裝置，將光感與示波器相連，將激光筆與光感調(diào)節(jié)至等高，并將陀螺放置在二者之間. 在轉(zhuǎn)子上貼1張薄紙片，使轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)1周，紙片能夠擋1次光，光感接收到1次信號變化，從而使示波器的波形瞬時改變，得到尖峰. 在示波器顯示屏上能得到轉(zhuǎn)子的即時轉(zhuǎn)動頻率.

圖5 轉(zhuǎn)速衰減實(shí)驗(yàn)裝置

首先通過預(yù)實(shí)驗(yàn)，求轉(zhuǎn)子的最大轉(zhuǎn)速. 實(shí)驗(yàn)中采用電啟動陀螺，觀察示波器的頻率示數(shù)，發(fā)現(xiàn)加速30 s后，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率基本不變，且穩(wěn)定在149 Hz. 故之后每次實(shí)驗(yàn)時，加速轉(zhuǎn)子30 s以上，使得每次實(shí)驗(yàn)時，轉(zhuǎn)子的初始轉(zhuǎn)速相同.

再進(jìn)行轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減方式的探究. 加速轉(zhuǎn)子30 s以上，拍攝示波器顯示屏，后期讀取轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的時間與示波器即時的頻率示數(shù)，得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的f-t圖像，如圖6所示.

圖6 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的f-t圖像

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，猜測轉(zhuǎn)速呈指數(shù)衰減，得到擬合方程為f=aebt,且a=127.1,b=-5.844×10-3,R2=0.998 5. 根據(jù)擬合結(jié)果，可以認(rèn)為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速呈指數(shù)衰減，設(shè)

ω=2πaebt,

(13)

則有

Lx=I1ω=2πaI1ebt,

(14)

(15)

2.1.4 阻尼項(xiàng)求解

圖7中橙色點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，藍(lán)色曲線為理論曲線.α-t圖像中，標(biāo)出了α達(dá)到第1個最大值時的t與α；θ-t圖像中，標(biāo)出了θ達(dá)到第1個零點(diǎn)時(不含起點(diǎn))的t與θ.

(a)α-t

(b)θ-t圖7 扭轉(zhuǎn)2圈α和θ理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比 (理論修正后)

考慮到陀螺運(yùn)動的累加性，初始的微小差距會對之后的運(yùn)動產(chǎn)生較大影響[7]，可以認(rèn)為圖7中實(shí)驗(yàn)與理論符合良好. 之后又做了多組實(shí)驗(yàn)，對得到的阻力系數(shù)c0,c1,c2進(jìn)行了普適性檢驗(yàn).

2.2 Mz-α

扭轉(zhuǎn)繩子1～3圈，即Mz為1～3倍，得到α-t實(shí)驗(yàn)關(guān)系，即圖8中橙色數(shù)據(jù)點(diǎn). 將3個阻力系數(shù)代入理論公式，得到α-t的理論關(guān)系曲線，即圖8中藍(lán)色曲線.

(a)扭轉(zhuǎn)1圈

(b)扭轉(zhuǎn)2圈

(c)扭轉(zhuǎn)3圈圖8 不同扭轉(zhuǎn)圈數(shù)下α-t曲線的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

由于是以扭轉(zhuǎn)2圈的阻力系數(shù)作為阻力系數(shù)的理論值，故扭轉(zhuǎn)1圈的實(shí)驗(yàn)與理論的偏差為振幅減小較慢，且周期縮短較慢；扭轉(zhuǎn)3圈的實(shí)驗(yàn)與理論的偏差為振幅減小較快，且周期縮短較快. 考慮到陀螺運(yùn)動的累加性，可以認(rèn)為圖7能夠說明理論的適用性，適用范圍為較少圈數(shù)下的前250 s.

2.3 Mz-θ

扭轉(zhuǎn)繩子1～3圈，即Mz為1～3倍，得到的θ-t實(shí)驗(yàn)關(guān)系，即圖9中橙色數(shù)據(jù)點(diǎn). 將3個阻力系數(shù)代入理論公式，得到θ-t的理論關(guān)系曲線， 即

(a)扭轉(zhuǎn)1圈

(b)扭轉(zhuǎn)2圈

(c)扭轉(zhuǎn)3圈圖9 不同扭轉(zhuǎn)圈數(shù)下θ-t曲線的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

3 結(jié) 論

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