研究性課題：歐拉公式的發(fā)現(xiàn)
——教學(xué)設(shè)計

青海省海東市化隆回族自治縣第一中學(xué) 王國昌

一、教材內(nèi)容分析

人教版《全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本?必修）?數(shù)學(xué)》第二冊（下?。┑诰耪?.9節(jié)研究性課題：多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)。本節(jié)采用“研究性學(xué)習(xí)”的形式，注重強調(diào)發(fā)現(xiàn)的過程，有意識的培養(yǎng)學(xué)生探究問題的良好習(xí)慣，掌握一些研究問題的思想方法，并對提高協(xié)作能力具有重要的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：識記平面和多面體歐拉公式，了解公式的發(fā)現(xiàn)過程。

2.能力目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過程，提高發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納猜想能力和邏輯思維能力以及人際交往協(xié)作能力。

3.情感目標(biāo)：以平面和多面體歐拉公式的探索為載體，體驗數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，體驗數(shù)學(xué)的簡潔美和內(nèi)在美，學(xué)習(xí)歐拉杰出的智慧、孜孜不倦的奮斗精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

三、教學(xué)重難點

1.重點：了解平面和簡單多面體歐拉公式。

2.難點：領(lǐng)會公式發(fā)現(xiàn)過程的思想和方法。

四、學(xué)習(xí)者特征分析

高二學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如平面幾何的圖形結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，并在學(xué)完簡單幾何體之后進(jìn)行的，對學(xué)生的能力層次要求不是太高。

五、教學(xué)策略選擇與設(shè)計

⑴教材創(chuàng)新:①增加了平面歐拉公式V-E+F=1這一被教材所忽視的平面圖形比長短曲直更本質(zhì)的屬性的探究；②涉及到圖論（連通圖等）的一些基本概念。

⑵教法設(shè)計：主要采用小組合作研究，進(jìn)行主體式、啟發(fā)式、對比式和直觀演示法等。

⑶學(xué)法設(shè)計：由淺入深、模型及多媒體演示、分組討論、特殊到一般、觀察歸納等方法。

⑷教學(xué)基本形式

教師引導(dǎo)——學(xué)生討論——再引導(dǎo)——再討論——歸納總結(jié)。

六、教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備

1.教室或教學(xué)研究室。

2.相關(guān)幾何模型和多媒體課件演示。

七、教學(xué)過程

1.介紹歐拉，引入課題

【教師活動】介紹歐拉：著名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707—1783），瑞士人。在數(shù)學(xué)家貝努利（Bernoulli）的賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，16歲就獲碩士學(xué)位，畢生從事數(shù)學(xué)研究，他的論著幾乎涉及18世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)分支。他首先使用f(x)表示函數(shù) ，首先用∑表示連加，首先用i表示虛數(shù)單位。在幾何學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式。數(shù)學(xué)中的歐拉方程、歐拉猜想、歐拉定理等有很多，其中一個特例：eiπ+1=0，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起，兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e和圓周率π；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，反映了數(shù)學(xué)中的奇異美。

【學(xué)生活動】1.了解歐拉一生研究數(shù)學(xué)，對人類作出的巨大貢獻(xiàn)。2.學(xué)習(xí)歐拉歐拉杰出的智慧、頑強的毅力、孜孜不倦的奮斗精神和崇尚科學(xué)道德精神。

【設(shè)計意圖】在了解、學(xué)習(xí)歐拉的基礎(chǔ)上，沿著他的足跡研究幾何圖形中的三要素:點、線、面之間數(shù)量關(guān)系的歐拉公式。

2.觀察歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）預(yù)備工作

【教師活動】指導(dǎo)學(xué)生分組，達(dá)到組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)。

【學(xué)生活動】小組分工：選出組長、計時員、記錄員、發(fā)言人。

【設(shè)計意圖】體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。

【教師活動】問題：①三角形內(nèi)角和等于多少？（簡稱180°定理）；②三角形順著一個方向的外角之和等于多少?③凸n邊形內(nèi)角和公式是什么?順著一個方向的外角之和又如何?

【學(xué)生活動】討論：①如何用圖形語言演示或作圖？用字母符號語言證明的思路？②證明用到哪些知識點? 證明的思想方法有哪些？③凸n邊形內(nèi)角和公式是什么？順著一個方向的外角之和是多少？

【設(shè)計意圖】①一組代表演示，教師動畫總結(jié)（附圖一）；二組代表證明，教師補充歸納（動畫一）。

②借助180°定理，平角及互補角概念，:三組代言人證明(附圖二)，得出結(jié)論360°

③指導(dǎo)四組代表證明，教師總結(jié)(附圖三)，結(jié)論：內(nèi)、外角和分別為：（n-2）180°、360°。

（2）平面歐拉公式的探索

附表一

【教師活動】我們從淺顯易懂的180°定理出發(fā)逐步探究歐拉公式。設(shè)平面上封閉圖形中的所有不交的區(qū)域都是多邊形。則分析這類圖形的頂點數(shù)V， 邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)（面數(shù)）F之間的關(guān)系。

【學(xué)生活動】討論：①凸n 邊形的情況（附圖四）；

②將凸n邊形用不交的對角線剖分成若干個三角形（附圖五）；

③平面封閉圖形(圖中所有不交的區(qū)域都是多邊形)（附圖六）；

④連通圖：指從圖中任何一點出發(fā)，沿著邊可到達(dá)任何頂點的圖形（附圖七）。

【設(shè)計意圖】四組代表填寫附表一，突顯學(xué)生的主體作用。

（3）簡單多面體歐拉公式的探索

附表二

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【教師活動】依次出示附圖八中｛（8）～（13）、（14）～（15）、（16）～（17）｝各組圖形或模型，要求學(xué)生研究V，E，F(xiàn)之間的關(guān)系。

【學(xué)生活動】①觀察、分析各組圖形或模型，填寫表格，討論、猜想有什么規(guī)律?②探索、歸納、總結(jié)，五組代表填寫附表二。

（4）歐拉的創(chuàng)新思想和方法

【教師活動】歐拉研究多面體的方法：假設(shè)它的面是用橡膠薄膜做成的，然后充氣，就會連續(xù)(不破裂，不粘連)變形(拓?fù)?，把它變成了曲面。（充氣動畫演示二）

【學(xué)生活動】比較圖八中的圖形。其中哪些多面體的表面能夠連續(xù)(不破裂，不粘連)變形，最后其表面可變成一個球面?環(huán)面?兩個對接球面?

【設(shè)計意圖】①除圖八(16)會變成一個環(huán)面，圖八(17)會變成兩個相切的球面外，其余的都變成球面。

②任何創(chuàng)新成果的產(chǎn)生都是以觀念的創(chuàng)新和方法的創(chuàng)新為前提的。

八、課堂小結(jié)

1.有關(guān)定義：

定義⑴．多面體 (Polyhedron)以及面(Face)、棱(Edge)、頂點(V )。

定義⑵．連通圖是指從圖中任何一點出發(fā)，沿著邊可到達(dá)任何頂點的的圖形。

定義⑶．表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€球面的多面體叫簡單多面體。

2.歐拉公式

⑴平面圖形（連通圖）的歐拉公式：V-E+F=1；

⑵簡單多面體的歐拉公式：V-E+F =2。

3.歐拉的創(chuàng)新思想和方法

九、布置作業(yè) 預(yù)習(xí)歐拉公式的證明及應(yīng)用。

十、評價形式（以指導(dǎo)、鼓勵性評價為主）

組內(nèi)評價：參與度、態(tài)度、積極性等。組間互評：思路、表述、方法等。

教師總結(jié)性評價：分工、表格設(shè)計、多元評價是否到位等。

十一、教學(xué)反思

教學(xué)中注意的問題：教師引導(dǎo)而不包辦探究過程，注重強調(diào)發(fā)現(xiàn)的過程，通過分組討論，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、由特殊到一般、歸納猜想的數(shù)學(xué)思想方法，并提高合作、探究的能力。

附圖：