模糊聚類分析在液壓油性能評價中的運用

劉金平，楊勇輝

(中國地質(zhì)大學(xué) 機械與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

液壓系統(tǒng)是工程機械重要的組成部件，在工程機械功能發(fā)揮上起到關(guān)鍵作用.液壓傳動最大的特點是在瞬間能產(chǎn)生很大的力和力矩，這對于工程機械或短時需要巨大能能量的設(shè)備而言是一種最為合適的選擇.液壓系統(tǒng)另一個用途是機械傳遞，液壓傳動突出的特點是運動靈活，能實現(xiàn)多種運動并在不同的運動方式中快速轉(zhuǎn)換，正好能滿足自動半自動控制運動復(fù)雜、啟動頻繁、運動敏捷的要求，在各類機床中廣泛使用.此外液壓傳動還有運動平穩(wěn)、可實現(xiàn)無級變速、過載保護、體積小、質(zhì)量輕等優(yōu)點，在現(xiàn)代裝備中也得到了大量使用[1-2].液壓油是液壓傳動的主要傳遞介質(zhì)和重要組成元素，它的性能直接影響液壓系統(tǒng)的可靠性、安全性、功能和效率，同時也影響系統(tǒng)的使用壽命和維護成本，因而科學(xué)判斷液壓油的性能，對用戶正確選擇產(chǎn)品，維護液壓系統(tǒng)的高效、可靠、安全運行具有重要的現(xiàn)實意義.雖然國家對各類液壓油質(zhì)量制定了有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，但它僅能用于判定產(chǎn)品合格與不合格兩類狀況，無法更進一步地細化其質(zhì)量，就市場化而言，難以體現(xiàn)“優(yōu)質(zhì)優(yōu)價，以質(zhì)論價”的商品交易原則.液壓油評價方法較多，但都是粗線條式的[3-8]，合格產(chǎn)品也有質(zhì)量的差別，無法真正衡量其合格程度.模糊聚類分析是一種智能化信息處理的重要算法，是利用模糊數(shù)學(xué)理論來研究聚類問題的一種數(shù)據(jù)分類方法，具有優(yōu)良的聚類性能，能根據(jù)實際情況調(diào)整分類的形式.聚類隨需要動態(tài)變化，分析方法邏輯嚴明、條理清晰，過程簡便，易于理解，結(jié)果直觀，適應(yīng)性強.本文應(yīng)用模糊聚類分析方法評定液壓油質(zhì)量，能精確細劃液壓油的質(zhì)量，對提升液壓油商品化價值，防止以次充好，維護消費者利益等具有積極意義.

1 模糊聚類分析的基本方法

1.1 模糊聚類原理

數(shù)據(jù)的聚類分析是根據(jù)數(shù)據(jù)系列的特征按照某種特定的要求或規(guī)律對其進行分類的一種數(shù)據(jù)分析方法.簡單講，就是在一組數(shù)據(jù)中將特征類似的數(shù)據(jù)集合在一起，歸為一類，使整個數(shù)據(jù)族分為不同特征的若干組別.數(shù)據(jù)聚類的原則是：使得各類之間的數(shù)據(jù)差別盡可能大，類內(nèi)之間的數(shù)據(jù)差別盡可能小，即為“最小化類間相似性，最大化類內(nèi)相似性”原則[3-4].在現(xiàn)實生活中，我們遇到的許多數(shù)據(jù)往往具有模糊性，因此，對這類帶有模糊性的數(shù)據(jù)進行聚類分析，不僅要考慮數(shù)據(jù)之間是否存在關(guān)系，還要更進一步考慮它們之間關(guān)系的緊密程度.因此，運用模糊數(shù)學(xué)工具解決這類問題更加合適，模糊聚類分析便是使用模糊數(shù)學(xué)的方法處理聚類分析的過程.模糊聚類基本原理就是將一個沒有類別標(biāo)記的雜亂樣本集，按照某種相似關(guān)系將其劃分為若干個子集(類)，使相似程度較高的樣本盡量劃歸于同一類，而不相似或者相似程度低的樣本盡量劃到不同的類別之中.

1.2 確定評價指標(biāo)

液壓油用途廣泛，種類繁多，性能技術(shù)指標(biāo)較多，不同種類和不同用途對其性能要求有所差異和側(cè)重[9]，在液壓油性能評價指標(biāo)上，既要體現(xiàn)全面性、系統(tǒng)性原則，也要體現(xiàn)一般性、代表性原則，同時還要兼顧可操作性、可量化性的原則.液壓油的基本要求是良好的流動性、穩(wěn)定性和較長的使用壽命.基于上述原則，本文提出了評價液壓油性能的8個指標(biāo)，具體如圖1所示.

圖1 液壓油性能評價指標(biāo)體系

1.3 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

由于液壓油質(zhì)量指標(biāo)的量綱和數(shù)量級不盡相同，為了方便比較，需要對原始數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化處理.為了使模糊聚類分析的效果更好，標(biāo)準(zhǔn)化通常分兩步進行：1)平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換；2)極差變換—歸一化[10-12].

平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換公式為

(1)

(2)

(3)

式中：rij為原始數(shù)據(jù)，xij為平移標(biāo)準(zhǔn)差變換后的數(shù)據(jù)，μj為第j個指標(biāo)的均值，σj為第j個指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差.

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過第1步變換后，每個指標(biāo)數(shù)據(jù)的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換雖然消除了指標(biāo)數(shù)據(jù)的量綱的影響，但是數(shù)據(jù)并不一定在 [0，1]區(qū)間上，因此，還須對其進行極差變換—歸一化處理，公式為

(4)

式中yij為歸一化后的數(shù)據(jù).

原始數(shù)據(jù)通過兩步歸一化后，不僅消除了評價指標(biāo)的量綱不同對聚類效果的影響，而且生成的數(shù)據(jù)都在區(qū)間[0，1]中，即指標(biāo)的評價值都轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)的形式，這樣就為模糊聚類創(chuàng)造了條件.

1.4 確定指標(biāo)的權(quán)重

由于屬性指標(biāo)的權(quán)重對聚類的結(jié)果影響較小，故本文采用較為簡單的環(huán)比評分法確定評價指標(biāo)的權(quán)重.首先根據(jù)評價指標(biāo)對評價結(jié)果的影響大小，對每個評價對象的重要性程度進行評分，可采用百分制或十分制，可為小數(shù)也可為分數(shù)，根據(jù)決策者的喜好自行決定.設(shè)第j個評價指標(biāo)的重要性評分為Pj，則其權(quán)重為

(5)

式中：wj為第j個評價指標(biāo)的權(quán)重(j=1，2，…，m)， ∑wj=1.

1.5 計算加權(quán)規(guī)范化數(shù)據(jù)

權(quán)重確定后，就可對規(guī)范化數(shù)據(jù)進行加權(quán)處理，將規(guī)范化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變?yōu)榧訖?quán)規(guī)范化數(shù)據(jù)，即

zij=wj·xij，

(6)

式中：zij為第i個評價對象第j個指標(biāo)的加權(quán)模糊數(shù)，wj為第j個指標(biāo)的權(quán)重.

1.6 構(gòu)造模糊相似矩陣

模糊聚類分析的核心是建立模糊關(guān)系矩陣.模糊關(guān)系矩陣通常以模糊相似矩陣體現(xiàn)，它反映的是各評價對象的相似程度，是模糊聚類分析的基礎(chǔ).構(gòu)建模糊相似矩陣方法較多，一般須要滿足3個原則：1)正確性；2)不變性；3)可區(qū)分性.其中，最大最小法是構(gòu)建模糊相似矩陣諸多方法中較為理想和有效的一種，不僅滿足上述3條原則，且分辨率很高，判斷準(zhǔn)確.故本文采用最大最小法來構(gòu)建模糊相似矩陣，它由各評價對象間的相似系數(shù)構(gòu)成，即R=(rij)n×n，根據(jù)最大最小法法則，評價對象之間的相似系數(shù)[11-12]計算公式為

(7)

式中：rij表示樣本xi與xj之間的相似程度，rij的值越大，表明這兩個樣本相似程度越高；rij=1表明兩個樣本完全相同；rij=0表明兩個樣本完全不同.

各評價對象相似系數(shù)求出后，即可得模糊相似矩陣.顯然，模糊相似矩陣為對稱矩陣：

1.7 聚類

模糊聚類分析中要求建立的模糊關(guān)系矩陣為模糊等價矩陣，它必須滿足自反性、對稱性和傳遞性3種要求，而模糊相似矩陣雖然具有自反性、對稱性，但不一定具有傳遞性，即不一定為模糊等價矩陣，因此，還需要采取一定方法將模糊相似矩陣R轉(zhuǎn)化成模糊等價矩陣.將模糊相似矩陣轉(zhuǎn)化為模糊等價矩陣的方法比較多，最簡捷的方法是采用二次法求傳遞閉包t(R)方式，即以模糊相似矩陣R為基礎(chǔ)，依次求模糊相似矩陣的2次方、4次方、…、k次方(k必須為偶數(shù))，當(dāng)首次出現(xiàn)Rk·Rk=Rk時，Rk即為傳遞閉包t(R)，t(R)即為所求的模糊等價矩陣.具體過程如下：

R→R2→R4，…，→R2k=R2(k+1)=t(R) .

(8)

可見，截矩陣中的元素只有0或1，這便于進行識別和分類.根據(jù)截矩陣Rλ中元素的分布情況進行分類，元素相同的行劃歸一類，λ從大到小依次取不同值，得到相應(yīng)的分類結(jié)果，從而實現(xiàn)動態(tài)聚類.

1.8 確定最佳分類數(shù)

在模糊聚類分析中，聚類方式是隨閾值變化而變化的，閾值λ取不同的值，得到的分類結(jié)果就不同，即動態(tài)聚類，它只是作為一種聚類方式研究之用，其實用意義不大.而在解決實際問題時，往往需要確定一個確切的分類結(jié)果，即確定最佳分類數(shù)r和閾值λ，二者實際上屬于一個問題，它們是一一對應(yīng)的，最佳分類數(shù)確定后最佳閾值也就確定了.最佳分類數(shù)r通常采用統(tǒng)計量F來確定，最佳閾值λ則通過最佳分類數(shù)r獲得.

1)計算原始數(shù)據(jù)矩陣總體樣本的中心向量

(9)

2) 計算各類別樣本的中心向量

(10)

由此引入統(tǒng)計量F

(11)

(12)

(13)

統(tǒng)計量F是描述分類有效性的一個指標(biāo)，其意義可從兩個方面概括，統(tǒng)計量F的分子含義是表示類與類之間的距離，分母則表示類內(nèi)樣本之間的距離.類與類之間的距離越大，類內(nèi)樣本之間的距離越小，表明分類越顯著.故F值越大，表明類與類之間的距離大，顯示各類的差別越大，同時也說明各類內(nèi)部元素之間的距離越小，即同類元素之間的差距越小，這也就意味著分類效果越好.具體而言，如果F>F0.05(r-1，n-r)，則說明類與類之間差異是有統(tǒng)計學(xué)意義的，分類是比較合理的.如果滿足條件F>F0.05(r-1，n-r)的分類數(shù)目不止1個，則需要進一步考察ΔF=(F-F0.05)/F0.05值的大小，選取ΔF最大的對應(yīng)分類數(shù)為最佳分類數(shù)目.

2 實例分析

文中以L-HL32普通液壓油為例，取樣10個不同廠家生產(chǎn)的該牌號的液壓油，選取圖1所示的8個指標(biāo)作為其質(zhì)量評價指標(biāo).故評價對象集為S={s1，s2，…，s10}，評價指標(biāo)集為C={c1，c2，…，c8}，所有指標(biāo)性能測試參照國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)檢測，這10個樣品的8個指標(biāo)值見表1(數(shù)據(jù)為測試3次的平均值).

表1 液壓油性能測試值

按式(1)～式(4)對原始數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理，結(jié)果見表2.

確定指標(biāo)權(quán)重.根據(jù)生產(chǎn)實際經(jīng)驗，取液壓油8個評價指標(biāo)的重要性評分分別為：P1=10.0，P2=9.5，P3=9.0，P4=8.5，P5=8.0，P6=7.5，P7=7.0，P7=6.5.

則它們的權(quán)重分別為：w1=0.151 5，w2=0.143 9，w3=0.136 4，w4=0.128 8，w5=0.121 2，w6=0.113 6，w7=0.106 4，w8=0.098 5.

按式(6)計算加權(quán)規(guī)范化數(shù)據(jù)，結(jié)果見表3.

表2 原始數(shù)據(jù)規(guī)范化結(jié)果

表3 加權(quán)數(shù)據(jù)規(guī)范化結(jié)果

按式(7)計算評價對象的相似度，得到相似矩陣R

計算相似矩陣R的傳遞閉包，得到模糊等價矩陣t(R)

根據(jù)傳遞閉包t(R)得到分類閾值

Lλ=[0.446092，0.489057，0.533258，0.604127，0.620320，0.630094，0.641760，0.647168，0.719333，1].

根據(jù)閾值Lλ對樣品進行動態(tài)聚類，結(jié)果見表4.同時得到動態(tài)聚類圖，如圖2所示.

表4 動態(tài)聚類結(jié)果

圖2 液壓油動態(tài)聚類圖

對于樣本分類問題，確定最佳分類數(shù)目十分關(guān)鍵.分類數(shù)目應(yīng)當(dāng)合適與恰當(dāng)，分類太少，無法體現(xiàn)個性之間的差異性，也就失去了研究它們的必要；分類太多，信息雜亂，理不清頭緒，也就無從分析個體之間的聯(lián)系.因此，對10個大小的樣本來說，一般分為3～5類比較合適.

當(dāng)r=3時，統(tǒng)計量F=1.527 3，F(xiàn)0.05(2，7)=4.74，F(xiàn)

當(dāng)r=4時，統(tǒng)計量F=4.782 6，F(xiàn)0.05(3，6)=4.76，F(xiàn)>F0.05(3，6)，分類效果顯著.

當(dāng)r=5時，統(tǒng)計量F=1.187 9，F(xiàn)0.05(4，5)=6.26，F(xiàn)

因為只有當(dāng)r=4時，分類效果才顯著，因此，最佳分類數(shù)為4，對應(yīng)的分類閾值λ=0.604 127，樣本組成為：{s1、s7}，{s3、s4}，{s5、s9}，{s2、s6、s8、s10}.

3 結(jié)語

液壓系統(tǒng)是機械設(shè)備的重要組成部分，其性能與液壓油的性能有很大關(guān)系，為了保證液壓系統(tǒng)的可靠性和安全性，不僅需要掌握液壓油的大體質(zhì)量，而且還要詳細了解其質(zhì)量優(yōu)劣程度.模糊聚類分析是對模糊事物按一定要求進行分類的一種數(shù)學(xué)分析方法，它能客觀準(zhǔn)確反映數(shù)據(jù)樣本之間的內(nèi)在聯(lián)系，具有通俗易懂、易于實現(xiàn)、應(yīng)用范圍廣、決策形象直觀、結(jié)論簡明等諸多優(yōu)點，在許多工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.本文運用模糊聚類理論，采用極大極小法構(gòu)成相似矩陣，對液壓油質(zhì)量進行了分類，更進一步細化了液壓油質(zhì)量評判尺度，對用戶選擇液壓油產(chǎn)品具有指導(dǎo)意義.

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