數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

余淑娥

（三明市三元區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 三明 365001）

日本數(shù)學(xué)史家米山國(guó)藏在他的著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中說(shuō)道：“不管他們（指學(xué)生）從事什么業(yè)務(wù)工作，即使把所教給的知識(shí)(概念、定理、法則和公式等)全忘了，唯有銘刻在他們心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法都隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生。” 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！笨梢?jiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性?！皵?shù)形結(jié)合”就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

一、以形助數(shù)，化抽象為具體，幫助學(xué)生理解和感悟數(shù)學(xué)知識(shí)

“以形助數(shù)”是指用“形”（實(shí)物圖、幾何圖、線段圖等）將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，借助“形”的直觀來(lái)認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。小學(xué)生的思維正處于具體形象思維逐漸向抽象邏輯思維發(fā)展過(guò)渡階段，但他們的抽象邏輯思維還帶有很大的形象思維的成分?！靶巍边@座“橋梁”有利于幫助他們實(shí)現(xiàn)這種過(guò)渡。

（一）以形助數(shù)，闡明算理

算理是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)，某些算理對(duì)于相應(yīng)年齡階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)具有很強(qiáng)的抽象性，如一年級(jí)“進(jìn)位加法和退位減法”，三年級(jí)“多位數(shù)乘除法”，六年級(jí)“分?jǐn)?shù)的乘除法”等，如何幫助相應(yīng)年齡階段的學(xué)生理解抽象算理是教學(xué)的難點(diǎn)。以形助數(shù)，借“形”演“理”，是破解這個(gè)難點(diǎn)常用的一種方法。例如在教學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算理時(shí)，學(xué)生對(duì)于“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”算理較難理解，教師可以借助線段圖將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”來(lái)進(jìn)行教學(xué)。

1．出示問(wèn)題情境。

小明2/3小時(shí)走了2km，小紅5/12小時(shí)走了5/6km。誰(shuí)走得快些？

2．理解題意，列出求速度算式。

小明的速度是“2÷2/3”，小紅的速度是“ 5/6÷5/12”。

3．結(jié)合數(shù)的意義，用線段圖將“數(shù)”及其關(guān)系表示出來(lái)。

先畫出1小時(shí)的2/3也就是2/3小時(shí)，再標(biāo)出2/3小時(shí)走的路程2km和1小時(shí)的路程？km。

4．看線段圖求速度。

小明速度求法：2/3小時(shí)里面有2個(gè)1/3小時(shí)，所以1個(gè)1/3小時(shí)走了2 km的1/2，也就是（2×1/2）km，1小時(shí)里面有3個(gè)1/3小時(shí)，所以1小時(shí)走了（2×1/2×3）km。再用同樣的方法求出小紅的速度。

5．整理出算式。

小明的速度：2÷2/3=2×1/2×3=2×3/2=3，小紅的速度 ： 5/6 ÷5/12=5/6×1/5×12=5/6×12/5=2。

6．觀察算式的計(jì)算過(guò)程，發(fā)現(xiàn) “一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法——被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)”。

通過(guò)以上化“數(shù)”為“形”教學(xué)過(guò)程，抽象算理就變得直觀，學(xué)生理解起來(lái)就容易多了。

（二） 以形助數(shù)，理解數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的分析和理解也是貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。以文字形式呈現(xiàn)的問(wèn)題中，有些題目的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽或復(fù)雜，學(xué)生無(wú)從下手，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題情境中的“數(shù)”用“形”表示出來(lái)，幫助理解題中的數(shù)量關(guān)系，獲得解決問(wèn)題的思路。例如六年級(jí)上學(xué)期在解決“姐弟倆共有20張卡通圖片，姐姐給弟弟1/5后兩人張數(shù)一樣多，原來(lái)姐弟倆各有多少?gòu)埧ㄍ▓D片”時(shí)，學(xué)生對(duì)于“1/5”這個(gè)數(shù)隱含的數(shù)量關(guān)系往往較難理解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其用線段圖表示出來(lái)， 那么隱含在其中的數(shù)量關(guān)系就直觀地呈現(xiàn)在了學(xué)生面前，學(xué)生就容易獲得解題思路。

（三）以形助數(shù)，溝通聯(lián)系

有些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系比較隱蔽，由于小學(xué)生抽象思維能力較弱，很難建立它們之間的聯(lián)系，如三年級(jí)上冊(cè)“12小時(shí)計(jì)時(shí)法與24小時(shí)計(jì)時(shí)法聯(lián)系”、四年級(jí)下冊(cè)“雞籠同籠”問(wèn)題中“雞腳與兔腳數(shù)量變化聯(lián)系”等，對(duì)于這些抽象的聯(lián)系，教師可以化“數(shù)”為“形”，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示來(lái)幫助學(xué)生理解和感悟。例如，在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)，為了幫助學(xué)生建立“封閉圖形與非封閉圖形植樹(shù)數(shù)量之間的聯(lián)系”，教師可以借助直觀圖的動(dòng)態(tài)演示來(lái)進(jìn)行教學(xué)。

1．出示問(wèn)題情境：張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹(shù)。池塘的周長(zhǎng)是60m，如果每隔15 m栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？

2．畫圖感悟，理解計(jì)算方法。

3．將圓形圖示展開(kāi)拉直（如圖）。

4．觀察比較，發(fā)現(xiàn)“封閉圖形植樹(shù)數(shù)量與非封閉圖形植樹(shù)數(shù)量的聯(lián)系”。

通過(guò)以上“化曲為直”動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生就能直觀形象地理解“封閉圖形的植樹(shù)數(shù)量與非封閉圖形的植樹(shù)數(shù)量之間的聯(lián)系”（封閉圖形的植樹(shù)數(shù)量相當(dāng)于非封閉圖形 “一端栽，一端不栽”的情況），加深學(xué)生對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”的理解和感悟。

（四）以形助數(shù)，推理驗(yàn)證

在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有些推理性結(jié)論由于受學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)所限，理解起來(lái)較為困難，教師可以借助直觀圖，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”來(lái)進(jìn)行推理。例如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，教師先出示“1/2”“2/4”“4/8”這三個(gè)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生猜一猜：這三個(gè)分?jǐn)?shù)大小有什么關(guān)系？然后引導(dǎo)學(xué)生用畫圖法進(jìn)行驗(yàn)證（先畫三個(gè)相同的平面圖形，再用涂色辦法分別表示出這三個(gè)分?jǐn)?shù)），最后引導(dǎo)學(xué)生觀察“數(shù)”和“圖”：說(shuō)一說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)？通過(guò)這樣“以形助數(shù)”的教學(xué)，學(xué)生就能通過(guò)直觀圖獲得“猜測(cè)”驗(yàn)證結(jié)果。

二、以數(shù)解形，化具體為抽象，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平

“以數(shù)解形”是指用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言如數(shù)字、算式等，將“形”中所隱含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)，借助簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果說(shuō)“以形助數(shù)”是適應(yīng)小學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)，那么“以數(shù)解形”則是滿足小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的發(fā)展要求。因?yàn)樘岣邔W(xué)生數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的必然要求。

（一）以數(shù)解形，建立數(shù)學(xué)模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模式并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程”。引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)量關(guān)系，變化規(guī)律等），幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的目的和手段。“以數(shù)解形”可以成為實(shí)現(xiàn)這一目的重要工具。例如在教學(xué)“1/8+3/8=?”時(shí)，教師可以先讓學(xué)生用畫圖法直觀得出“1/8+3/8=4/8”，再引導(dǎo)學(xué)生用“1個(gè)1/8+3個(gè)1/8=4個(gè)1/8=4/8”將這一過(guò)程表示出來(lái)。最后抽象出同分母分?jǐn)?shù)相加計(jì)算方法：分母不變，分子相加，初步建立同分母分?jǐn)?shù)相加計(jì)算模型。

（二） 以數(shù)解形，培養(yǎng)抽象思維能力

小學(xué)生的思維是沿著“操作思維—形象思維—抽象思維”路徑逐漸發(fā)展的。從思維培養(yǎng)角度講，教學(xué)的最終目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平和能力?！耙詳?shù)解形”是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的重要手段。例如，在解決“一張餐桌可以坐6人，兩張餐桌可以坐10人，三張餐桌可以坐14人，按此規(guī)律推斷，5張餐桌可以坐多少人？8張呢……”這樣一個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生一般會(huì)用畫圖的方法進(jìn)行解決，但隨著桌子數(shù)量的增加，他們就會(huì)感覺(jué)這種方法越來(lái)越“困難”。此時(shí)，教師可以順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)式和字母式將圖中桌子的數(shù)量與所坐人數(shù)關(guān)系表示出來(lái)（如圖），再用計(jì)算的辦法進(jìn)行解決，這樣學(xué)生的抽象思維能力就得到鍛煉和提高。

［1］黃忠德．小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的思考與實(shí)踐［J］．小學(xué)教學(xué)參考，2009（5）．

［2］顧泠沅，邵光華．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］．上海：上海教育出版社，2009．

［3］王永．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)化［EB/OL］．［2014-04-25］． https：//wenku．baidu．com/view/de5bd03b90c69ec3d4bb7521．html．