二重積分簡(jiǎn)便運(yùn)算的證明①

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(大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江 大慶 163000)

0 引 言

數(shù)學(xué)分析中二重積分計(jì)算是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的基本計(jì)算.若重積分的計(jì)算方法不當(dāng)，會(huì)給整改計(jì)算帶來(lái)很大困難.基于重積分計(jì)算的基礎(chǔ)性，本文研究了重積分的一種簡(jiǎn)便計(jì)算方法，利用特殊變換將一類相對(duì)奇函數(shù)的二重積分計(jì)算簡(jiǎn)單化。

由格林公式、高斯公式、斯托克斯公式能直接或間接地把二重積分同三重積分、曲線積分及曲面積分聯(lián)系起來(lái)，以及三重積分，曲面積分的計(jì)算要化成二重積分，通過(guò)研究又可以將曲面積分三重積分的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)化。

1 二元函數(shù)的相對(duì)奇偶性定義

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在平面區(qū)域D上，若對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D，都有

f(x,-y)=-f(x,y)

成立，則稱z=f(x,y)在D上是相對(duì)于自變量y的相對(duì)奇函數(shù)。

若對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D，都有

f(x,-y)=f(x,y)

成立，則稱z=f(x,y)在D上是相對(duì)于自變量y的相對(duì)偶函數(shù)。

2 二重積分在被積函數(shù)是相對(duì)奇函數(shù)條件下的計(jì)算

定理：若二元函數(shù)z=f(x,y)在有界閉區(qū)域D上是相對(duì)y的奇函數(shù)，則有

證明：由z=f(x,y)在D上是相對(duì)自變量y的相對(duì)奇函數(shù)，則可知有界閉區(qū)域D是關(guān)于x軸對(duì)稱的。

當(dāng)區(qū)域D為如圖X形區(qū)域情況時(shí)，有

y=f1(x)與y=f2(x)的圖像彼此關(guān)于x軸對(duì)稱的，即有f1(x)=-f2(x),x∈[a,b]，從而

D={(x,y)|a≤x≤b,f2(x)≤y≤f1(x)}

其中

f1(x)=-f2(x),x∈[a,b]。

選取變換：

x=u,y=-v，(u=x,v=-y)

則區(qū)域D在此變換下對(duì)應(yīng)uv平面的區(qū)域Δ為：

Δ={(u,v)|a≤u≤b,f2(u)≤-v≤f1(u)} =

{(u,v)|a≤u≤b,-f1(u)≤v≤-f2(u)}=

{(u,v)|a≤u≤b,f2(u)≤v≤f1(u)}

即D在變換下沒(méi)有改變。

當(dāng)區(qū)域D為如圖Y形區(qū)域情況時(shí)，

圖1

圖2

由z=f(x,y)在D上是相對(duì)自變量y的相對(duì)奇函數(shù)，有界閉區(qū)域D是關(guān)于x軸對(duì)稱的，故知函數(shù)φ1(y)與φ2(y)關(guān)于x軸對(duì)稱，即

φ1(y)=φ1(-y),φ2(y)=φ2(-y)

此時(shí)

D={(x,y)|-a≤y≤a,φ2(y)≤x≤φ1(y)

且φ1(y)=φ1(-y),φ2(y)=φ2(-y)}。

仍然選取如上變換x=u,y=-v，則對(duì)應(yīng)uv平面的區(qū)域Δ為：

Δ={(u,v)-a≤v≤a,φ2(-v)≤u≤φ1(-v)

={(u,v)-a≤v≤a,φ2(v)≤u≤φ1(v)

即D在變換下沒(méi)改變。又

從而有

證畢。

解如圖

圖3

圖4

由定理知，區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，且二元函數(shù)z=xy為相對(duì)變量y的奇函數(shù)，則

故

例2 設(shè)

D={(x,y)x2+y2≥1,(x-1)2+y2≤1

解：如圖

故

3 結(jié) 論

通過(guò)以上的研究，對(duì)這一類具有相對(duì)自變量y的相對(duì)奇函數(shù)條件的函數(shù)，當(dāng)對(duì)其進(jìn)行二重積分計(jì)算就要簡(jiǎn)便了很多，避免了繁瑣的化累次積分及計(jì)算過(guò)程，可以直接應(yīng)用文中所證的定理結(jié)論，即其二重積分直接結(jié)果為零。在二重積分計(jì)算中往往很多計(jì)算整體或部分步驟涉及此結(jié)論，給計(jì)算帶來(lái)了很大的捷徑。

參考文獻(xiàn)：

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2001.

[3] 錢吉林等主編.數(shù)學(xué)分析題解精粹(第二版)[M].崇文書(shū)局.2009.

[4] 宋國(guó)華主編.高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)[M].石油工業(yè)出版社.2009.

[5] 北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院數(shù)理教研室編著.高等數(shù)學(xué)(下)[M].北京郵電大學(xué)出版社,2010年1月.

[6] 陳文燈等編著.高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)——思路、方法與技巧[M].清華大學(xué)出版社,2003年7月.