HDMR在多維隨機(jī)變量結(jié)構(gòu)全局靈敏度分析的應(yīng)用①

(同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092)

0 引 言

現(xiàn)如今工程結(jié)構(gòu)的使用環(huán)境與條件日益復(fù)雜，諸多不確定因素在結(jié)構(gòu)參數(shù)和外載荷的體現(xiàn)已不可忽視。對(duì)于受到多源不確定性影響的工程結(jié)構(gòu)，通過考察系統(tǒng)多源輸入量對(duì)系統(tǒng)輸出量的影響從而確定重要的輸入量，已經(jīng)成為工程領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)。旨在于研究模型輸入量的不確定性對(duì)輸出響應(yīng)影響的靈敏度分析能有效解決這類問題。

多隨機(jī)變量結(jié)構(gòu)的靈敏度分析實(shí)際上是求取具有高維輸入變量的某一特定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出信息的過程，需要找到相對(duì)簡便高效的方法替代大量樣本的常規(guī)計(jì)算，就能解決復(fù)雜耗時(shí)這一狀況。近年來，元建模常用于近似求解多輸入與單輸出間的線性與非線性映射關(guān)系，Rabitz和Alis提出了一種針對(duì)高維度問題的近似建模方法[1]，即高維模型表示(high dimensional model representation，簡稱HDMR)方法，能夠?qū)?fù)雜的高維問題通過層級(jí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造轉(zhuǎn)化為一系列低維問題的求和，從而提高建模效率。而RS-HDMR的組件函數(shù)正交性與其待求問題可行域內(nèi)方差分解的有效性還將更有利于全局靈敏度分析，獲取關(guān)鍵變量，為改進(jìn)模型輸出提供依據(jù)。

將RS-HDMR應(yīng)用于結(jié)構(gòu)多維不確定輸入變量對(duì)系統(tǒng)輸出量的影響研究，獲取各組件函數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出量的全局靈敏度信息。即利用HDMR通過替代模型降低計(jì)算成本改進(jìn)靈敏度分析的計(jì)算效率以驗(yàn)證該方法的工程適用性與可行性。

1 HDMR基本理論

HDMR可以有效地表示出科學(xué)或工程系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與多維輸入變量之間的映射關(guān)系。設(shè)待求問題設(shè)計(jì)變量的可行域?yàn)锳n(An∈Rn，Rn是n維實(shí)數(shù)空間)，則輸出函數(shù)f(x)∈R可以由所有單一輸入變量的獨(dú)立作用和變量之間的耦合作用的層級(jí)疊加所表示，其一般形式為：

f1,2,...,n(x1,x2,...,xn)

(1)

式中，f0是常數(shù)項(xiàng)，表示響應(yīng)的零階分量函數(shù)；fi(xi)表示的是變量xi單獨(dú)作用時(shí)對(duì)輸出函數(shù)f(x)的影響，稱為響應(yīng)的一階分量函數(shù)；fij(xi ，xj) 表示了變量xi和xj耦合作用時(shí)對(duì)輸出函數(shù)f(x)的影響，稱為響應(yīng)的二階分量函數(shù)；隨后的各項(xiàng)表達(dá)式表示了數(shù)目逐漸增加的變量耦合作用對(duì)輸出函數(shù)的影響。

對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng)而言，輸入變量間的關(guān)系一般表現(xiàn)為低階耦合，高階項(xiàng)的影響較弱，可以忽略。則輸出函數(shù)f(x)可以簡寫為：

(2)

(3)

2 工程算例分析

現(xiàn)有一六層兩跨鋼框架結(jié)構(gòu)模型，在水平荷載的外力作用下產(chǎn)生相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移，將結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中于各節(jié)點(diǎn)，取梁、柱為基本計(jì)算單元，通過數(shù)值模擬的方法建立相應(yīng)的平面桿系有限元模型，如圖1。

圖1 六層兩跨框架計(jì)算模型示意圖

(注：柱截面尺寸Ac為0.3m2，梁截面尺寸Ab為0.25m2)

對(duì)于材料屬性和外部荷載的定義，均考慮各參數(shù)隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)輸出位移響應(yīng)的影響，設(shè)置成區(qū)間變量。以框架結(jié)構(gòu)頂部右端的節(jié)點(diǎn)位移作為輸出變量，獲取多輸入?yún)^(qū)間變量與節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)輸出的映射關(guān)系，具體如下表1。

表1 框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的隨機(jī)變量及其分布信息

由于每一次輸入?yún)?shù)的變化都需要帶入到相應(yīng)的平面桿系有限元模型中求解，獲取每一個(gè)樣本點(diǎn)需要一定的時(shí)間，若采用普通的全局靈敏度分析方法則需要大量的樣本點(diǎn)，耗時(shí)耗力。通過采用RS-HDMR的近似建模方法，利用較少的樣本點(diǎn)獲得較高精度的近似模型，提高效率，并獲取全局靈敏度指標(biāo)，量化幾種關(guān)鍵影響因素對(duì)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移的影響程度，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要理論依據(jù)。

2.1 近似模型的構(gòu)造

采用RS-HDMR構(gòu)建框架頂層節(jié)點(diǎn)位移的近似模型，對(duì)每個(gè)設(shè)計(jì)變量在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行蒙特卡羅隨機(jī)采樣，取點(diǎn)數(shù)量根據(jù)構(gòu)建近似模型時(shí)是否達(dá)到預(yù)先要求的精度決定，通過建立的平面桿系有限元模型數(shù)值模擬，計(jì)算獲得樣本點(diǎn)處的真實(shí)響應(yīng)值。為了保證模型的近似精度，將近似模型擴(kuò)展到二階項(xiàng)，且擬合的多項(xiàng)式最高次數(shù)為二次。并假設(shè)Xi(i=1,2,…,m)是待求問題設(shè)計(jì)變量的可行域內(nèi)的m個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)，且f(Xi)表示的是輸出函數(shù)值，采用了如下三種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)校核構(gòu)造的近似模型與真實(shí)響應(yīng)函數(shù)的誤差大?。?/p>

(1)R2(R square)

(8)

(2)RAAE(relative average absolute error，相對(duì)平均絕對(duì)誤差)

(9)

式中，STD表示的是函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，與R2相同，該指標(biāo)也是從整體上反映了近似模型的精度，且RAAE的值越小，近似精度則越高。

(3)RMAE(relative maximum absolute error，相對(duì)最大絕對(duì)誤差)

(10)

與R2和RAAE不同，該指標(biāo)是一項(xiàng)局部指標(biāo)，描述了設(shè)計(jì)空間某一局部區(qū)域的誤差，且RMAE的值越小，近似精度則越高。

現(xiàn)采用1000個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)，通過三種評(píng)價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證模型的函數(shù)逼近能力，評(píng)價(jià)結(jié)果如表2所示。

表2 采用RS-HDMR近似模型評(píng)價(jià)結(jié)果

由表中數(shù)據(jù)分析可知，R2的值在0.97以上(越接近1，近似精度越高)，RAAE的值約為0.11(越接近0，近似精度越高)，RMAE的值約為0.61(數(shù)值越小，近似精度越高)，由此可見，采用RS-HDMR在1000個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)的條件下就能夠反映真實(shí)模型的特性，擬合的精度較高，且包括隨機(jī)采樣、真實(shí)值近似值計(jì)算的常規(guī)時(shí)間約為26s，而HDMR的計(jì)算總時(shí)間的0.037s，計(jì)算時(shí)間降低顯著。

2.2 全局靈敏度分析

經(jīng)過RS-HDMR的近似模型構(gòu)建后，獲取各階分量函數(shù)，并對(duì)提供的信息進(jìn)行方差分析，從而得到各階分量函數(shù)的全局靈敏度信息。則總方差可以表示為：

(4)

其中，總方差中的各分量方差可以表示為：

(5)

由此可以進(jìn)一步計(jì)算得到全局靈敏度因子：

(6)

忽略高階耦合項(xiàng)的影響，則滿足：

(7)

式中，Si為一階全局靈敏度因子，用于表示變量xi對(duì)輸出的主效應(yīng)；Sij為2階耦合靈敏度因子，用于表示變量xi和變量xj對(duì)輸出的交互效應(yīng)。

圖2 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的全局靈敏度(RS-HDMR)

對(duì)六層框架模型的輸出量進(jìn)行方差分析，獲取各分量函數(shù)對(duì)模型輸出響應(yīng)的全局靈敏度信息。將獲得的一階全局靈敏度因子進(jìn)行對(duì)比，考察各個(gè)輸入變量對(duì)模型頂部節(jié)點(diǎn)位移輸出量的影響程度。圖2可以清晰定量地看出基于RS-HDMR一階全局靈敏度因子的各個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度。

顯然，柱的慣性矩Ic和梁的慣性矩Ib對(duì)框架頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)度較大，而柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2對(duì)頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)度較小，幾乎可以忽略。六個(gè)變量參數(shù)的一階全局靈敏度因子比較結(jié)果為：柱的慣性矩Ib>梁的慣性矩Ic>梁的彈性模量Eb>柱的彈性模量Ec>水平荷載F1>水平荷載F2。為了與RS-HDMR獲得的全局靈敏度信息形成對(duì)照與提供依據(jù)，分別采用Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法獲取該框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)位移輸出響應(yīng)的全局靈敏度信息，同樣在1000個(gè)隨機(jī)采樣樣本點(diǎn)的條件下，進(jìn)行蒙特卡羅采樣，獲取相應(yīng)的一階全局靈敏度參數(shù)因子。各個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度見圖3和圖4。

圖3 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的全局靈敏度(Sobol方法)

圖4 框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的全局靈敏度(Saltelli單循環(huán)法)

通過采用Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法獲得的全局靈敏度信息進(jìn)行比對(duì)分析，可以得出近似的結(jié)論：柱的慣性矩Ic和梁的慣性矩Ib對(duì)框架頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)度較大，而柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2對(duì)頂層節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)度較小，并且按照各變量的貢獻(xiàn)程度進(jìn)行排序，Sobol方法與RS-HDMR的方法結(jié)果相同，而Saltelli單循環(huán)法的排序除了無法區(qū)別柱的彈性模量Ec和作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1的貢獻(xiàn)程度大小，其它的結(jié)論基本相同。

因此，基于上述三種方法的全局靈敏度分析，可以獲知在控制該平面桿系有限元框架模型的節(jié)點(diǎn)位移輸出響應(yīng)，優(yōu)化工程設(shè)計(jì)，應(yīng)重點(diǎn)考慮對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻(xiàn)大的輸入?yún)?shù)，例如框架結(jié)構(gòu)中柱與梁的慣性矩。這在實(shí)際工程的應(yīng)用中具有重大意義，尤其是當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)較多時(shí)，可以采用簡便有效的全局靈敏度分析方法對(duì)具有不確定性的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行分析，獲取各參數(shù)變量對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度。

在采用上述三種靈敏度分析方法的過程中，基于蒙特卡羅的隨機(jī)采樣方式，Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法的計(jì)算耗時(shí)相對(duì)較長，在1000個(gè)隨機(jī)采樣樣本點(diǎn)的條件下，分別需要2min和3min的時(shí)間；而采用RS-HDMR構(gòu)造近似模型、并進(jìn)行方差分析獲取全局靈敏度因子的方法，計(jì)算耗時(shí)大約只需要26s。通過比較，RS-HDMR在數(shù)量較少的樣本點(diǎn)條件下，能夠較為精確地構(gòu)造近似模型，從而顯著提高計(jì)算效率，而Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法需要獲取真實(shí)的響應(yīng)，計(jì)算耗時(shí)較長，且為了保證收斂性和計(jì)算精度需要進(jìn)一步增加采樣點(diǎn)的數(shù)量。

3 結(jié) 論

(1)引入了RS-HDMR的全局靈敏度分析方法，研究了六層兩跨鋼框架結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)位移輸出關(guān)于柱慣性矩Ic、梁慣性矩Ib、柱的彈性模量Ec、梁的彈性模量Eb、作用在框架結(jié)構(gòu)的一側(cè)的水平荷載F1和F2六個(gè)模型參數(shù)的全局靈敏性，確定了對(duì)該框架結(jié)構(gòu)模型的輸出響應(yīng)貢獻(xiàn)度較大大的兩個(gè)輸入?yún)?shù)：柱與梁的慣性矩。

(2)與Sobol方法和Saltelli單循環(huán)法相比較，RS-HDMR利用高維模型的層級(jí)理論，有效的表示了輸出響應(yīng)與各輸入變量間的耦合性與映射關(guān)系，采用較少的樣本點(diǎn)建立精度較高的近似模型，從而為全局靈敏度分析降低了計(jì)算成本，提高了建模效率，這對(duì)于工程優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。但基于傳統(tǒng)的蒙特卡羅隨機(jī)采樣，該方法在建模與計(jì)算效率上仍然具有局限性，因此，仍需要進(jìn)一步發(fā)展與完善。

(3)采用RS-HDMR方差分析所獲得的全局靈敏度指標(biāo)，有利于評(píng)估各個(gè)隨機(jī)輸入?yún)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)的影響程度，根據(jù)得到的靈敏度信息，設(shè)計(jì)人員可以針對(duì)具有重要貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能夠?yàn)楣こ淘O(shè)計(jì)的改進(jìn)與結(jié)構(gòu)性能的提高提供有益指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn):

[1] Rabitz H, Alis.O.F.General Foundations of High Dimensional Model Representations[J].Journal of Mathematical Chemistry, 1999, 25(2-3):197-233.

[2] 宋夢(mèng), 于繼來, 李碧君,等.HDMR在電網(wǎng)潮流概率評(píng)估與調(diào)控中的應(yīng)用[J].電網(wǎng)技術(shù), 2014, 38(6):1585-1592.

[3] 湯龍, 李光耀, 王琥.Kriging-HDMR非線性近似模型方法[J].力學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 43(4):780-784.

[4] 李偉平, 竇現(xiàn)東, 王振興,等.BPNN-HDMR非線性近似模型方法及應(yīng)用[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版), 2014, 41(5):32-38.

[5] 李亮, 孫秦.SVM-HDMR高維非線性近似模型構(gòu)造法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2013, 49(15):6-9.

[6] 黃志遠(yuǎn), 邱浩波, 蔡習(xí)文.IDIRECT-HDMR高維近似模型方法及工程應(yīng)用[J].機(jī)械制造與自動(dòng)化, 2015(3):100-103.

[7] Ziehn T, Tomlin A S.GUI-HDMR - A software Tool for Global Sensitivity Analysis of Complex Models[J].Environmental Modelling & Software, 2009, 24(7):775-785.

[8] Li G, Rabitz H, Wang S W, et al.Correlation Method for Variance Reduction of Monte Carlo Integration in RS-HDMR[J].Journal of Computational Chemistry, 2003, 24(3):277-83.

[9] 王曉霞, 賈玉璽, 董抒華.基于Morris方法的纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件固化均勻性的全局靈敏度分析[J].復(fù)合材料學(xué)報(bào), 2015, 32(4):1211-1217.

[10] 周長聰[1].隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)全局靈敏度分析[J].高技術(shù)通訊, 2015, 25(10-11):956-963.

[11] Li G, Hu J, Wang S W, et al.Random Sampling-high Dimensional Model Representation (RS-HDMR) and Orthogonality of Its Different Order Component Runctions.[J].Journal of Physical Chemistry A, 2006, 110(7):2474-85.