一類(lèi)周期均值回復(fù)過(guò)程的最小二乘估計(jì)

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(蚌埠學(xué)院理學(xué)院，安徽 蚌埠 233000)

0 引 言

經(jīng)典Ornstein-Uhlenbeck 過(guò)程(以下簡(jiǎn)稱(chēng)O-U過(guò)程)的特點(diǎn)是經(jīng)一段時(shí)間的演化后會(huì)回歸到長(zhǎng)期均衡水平，這個(gè)特點(diǎn)被人們稱(chēng)為均值回復(fù).正因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)使得O-U過(guò)程在物理、金融等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]. 近些年來(lái)，關(guān)于O-U過(guò)程漂移項(xiàng)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題已被很多學(xué)者深入研究[3-8]. 這些文獻(xiàn)大多假定O-U過(guò)程帶有常數(shù)回歸水平且過(guò)程是遍歷的。然而，實(shí)際問(wèn)題中有些數(shù)據(jù)含有季節(jié)因素或長(zhǎng)期趨勢(shì)，此時(shí)僅帶有常數(shù)均值水平的O-U過(guò)程就不能用來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)了. 因此，Bishwal[9]，Dehling等人[10]， Franke和Kott[11]考慮一類(lèi)推廣的O-U過(guò)程，其漂移項(xiàng)帶有時(shí)間函數(shù).本文要研究的正是這類(lèi)均值回復(fù)過(guò)程，還進(jìn)一步假定漂移項(xiàng)中的時(shí)間函數(shù)是周期函數(shù)，并稱(chēng)此類(lèi)均值回復(fù)過(guò)程為周期均值回復(fù)過(guò)程. 到目前為止，國(guó)內(nèi)外關(guān)于周期均值回復(fù)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)推斷的研究文獻(xiàn)非常少，Dehling等人在文獻(xiàn)[10]中構(gòu)造了一個(gè)周期均值回復(fù)過(guò)程未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量，并證明了該極大似然估計(jì)量具有強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性.基于連續(xù)樣本軌道，本文構(gòu)造了一類(lèi)周期均值回復(fù)過(guò)程未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，該估計(jì)量與文[10]中極大似然估計(jì)量相比，構(gòu)造時(shí)無(wú)需附加一些條件.還論證了此最小二乘估計(jì)量具有強(qiáng)相合性；估計(jì)誤差的漸近分布研究是隨機(jī)微分方程參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一大難點(diǎn)，借助一個(gè)中心極限定理[14-15]證明了估計(jì)誤差的漸近正態(tài)性，該證明比文獻(xiàn)[10]中的證明簡(jiǎn)單.

1 最小二乘估計(jì)量構(gòu)造

假設(shè)(Ω,F,Ρ)是一個(gè)完備的概率空間，B是定義在該空間上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).主要考慮一類(lèi)周期均值回復(fù)過(guò)程{Xt,t≥0}滿(mǎn)足如下的隨機(jī)微分方程：

dXt=(F(t)-βXt)dt+dBt,t≥0

(1)

為了估計(jì)方程(1)中的未知參數(shù)，需對(duì)方程(1)作如下假設(shè)：

(A1)設(shè)L(θ,t,Xt)=F(t)-βXt，L(θ,t,Xt)滿(mǎn)足全局Lipschitz條件和線(xiàn)性增長(zhǎng)條件.

(A2)設(shè)θ0=(α1,α2,…,αm,β)*，α1,α2,…,αm,β是參數(shù)的真實(shí)值.

(A3)設(shè)f1(t),f2(t),…fm(t)在實(shí)數(shù)集R的緊區(qū)間上是有界的.

(A4)設(shè)f1(t),f2(t),…fm(t)具有同周期l的周期函數(shù)，即fi(t+l)=fi(t).

其中假設(shè)(A2)中的(·)*表示一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置.

為了計(jì)算的方便，假定樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度T是周期l的整數(shù)倍即T=Nl,N是整數(shù).而且不失一般性，令周期l等于1. 接下來(lái)，在上述假設(shè)基礎(chǔ)上來(lái)構(gòu)造方程(1)中未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)量并討論其相關(guān)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).

設(shè)隨機(jī)過(guò)程{Xt,t≥0}在[0,T]上能被連續(xù)觀測(cè)，引入下面的比較函數(shù)：

(2)

(3)

其中

上面的線(xiàn)性方程組可簡(jiǎn)寫(xiě)成：

因條件(A4)和(A5)成立，則GT=TIm. 再由線(xiàn)性方程組求解知

命題1.1得證.

注1.1 一般情況下，矩陣PT不一定是可逆的，但當(dāng)觀測(cè)時(shí)間T足夠大時(shí)PT是可逆的.并且矩陣PT的逆可通過(guò)分塊矩陣求逆的方法得到，詳細(xì)求逆過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10].矩陣PT的逆可表達(dá)為:

2 最小二乘估計(jì)量的強(qiáng)相合性及漸近正態(tài)性證明

Xt=e-βtx0+g(t)+Z(t)

(4)

其中

(5)

引理2.1[10]定義在C[0,1]上的隨機(jī)變量序列

(6)

是平穩(wěn)的、遍歷的.

引理2.2[10]當(dāng)t→∞，則有

(7)

現(xiàn)應(yīng)用方程(1),可將式(3)重寫(xiě)可得到命題2.1.

命題2.1 如果{Xt,0≤t≤T}的樣本軌道能被連續(xù)觀測(cè)，且條件(A4)和(A5)成立，則有

(8)

證明： 事實(shí)上，根據(jù)方程(1)知

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則有

和

那么矩陣QT可寫(xiě)成：

其中

命題2.1得證.

命題2.2 如果{Xt,0≤t≤T}的樣本軌道能被連續(xù)觀測(cè)且條件(A4)和(A5)成立，則當(dāng)T→∞.

對(duì)于,命題2.2的證明，需應(yīng)用一個(gè)多重隨機(jī)積分中心定理即引理2.3，這個(gè)引理的詳細(xì)證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[14]或[15].

引理2.3 設(shè)Ip(fT),T≥0是一列p(p≥2)階重積分，滿(mǎn)足

則下面兩個(gè)斷言等價(jià)：

(ⅰ)當(dāng)T→∞時(shí)，Ip(fT)依分布收斂于N(0,σ2).

命題2.2的證明：因?yàn)?/p>

由式(4)知，

(9)

式 (9)等號(hào)的右邊第一項(xiàng)將依概率收斂于0，因?yàn)楫?dāng)T趨向于無(wú)窮大時(shí)，

式(9)等號(hào)的右邊第二項(xiàng)是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，其均值為0，方差等于

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的定理9.2.8，得到

另外，由注2.2知

至此，命題2.2得證.

定理1.2的證明：根據(jù)命題2.1知

3 結(jié) 論

針對(duì)一類(lèi)周期均值回復(fù)過(guò)程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，假定樣本軌道是連續(xù)觀測(cè)的，構(gòu)造了漂移項(xiàng)中未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)量并討論了該估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，研究表明該最小二乘估計(jì)量具有強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性.

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