一種創(chuàng)意折疊桌參數(shù)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型及仿真

(北京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 ,北京 100083)

0 引 言

折疊與伸展已成為家具設(shè)計(jì)行業(yè)普遍應(yīng)用的一個(gè)基本設(shè)計(jì)理念，具有折疊結(jié)構(gòu)的家具因其運(yùn)輸、存儲(chǔ)方便，節(jié)約空間，富有個(gè)性而滲透到家居行列中[1,2].韓佳成在2012年介紹了由荷蘭設(shè)計(jì)師 Robert van Embriqs 設(shè)計(jì)的一款折疊桌[3]，使用時(shí)可折疊支立在地面(如圖1所示[4])，不用時(shí)可展開(kāi)為一個(gè)矩形平板(如圖2所示[4])。

圖1 折疊桌實(shí)物圖

圖2 折疊桌折疊演示圖

這種折疊桌的主體結(jié)構(gòu)是若干條被截?cái)嗟目烧郫B等長(zhǎng)木條，每根木條被截?cái)喑扇?，截?cái)嗵幫ㄟ^(guò)合頁(yè)連接，以實(shí)現(xiàn)折疊.所有木條通過(guò)兩跟鋼筋串連到一起，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上.其余木條必須開(kāi)有一定長(zhǎng)度的空槽以保證折疊時(shí)鋼筋滑動(dòng)的自由度(見(jiàn)圖3).

圖3 桌腿開(kāi)槽形狀

這種折疊桌雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但是由于其形成過(guò)程是從一個(gè)平面結(jié)構(gòu)向一個(gè)三維造型的折疊過(guò)程，所以其有關(guān)參數(shù)的設(shè)計(jì)尤為重要. 文獻(xiàn)[6]和[7]給出了桌面為圓形的折疊桌動(dòng)態(tài)折疊的數(shù)學(xué)模型，并利用Matlab進(jìn)行了模擬.

研究的重點(diǎn)是建立折疊桌面邊緣為任意凸函數(shù)的折疊桌動(dòng)態(tài)折疊過(guò)程的一般數(shù)學(xué)模型，并利用Maple[8]軟件進(jìn)行折疊過(guò)程仿真模擬.通過(guò)仿真模擬，分析各個(gè)參數(shù)對(duì)折疊桌的影響.在此基礎(chǔ)上，建立相關(guān)加工參數(shù)的計(jì)算公式.

1 折疊桌折疊過(guò)程的數(shù)學(xué)模型

1.1 主要參數(shù)的符號(hào)及說(shuō)明

所涉及的折疊桌參數(shù)包括桌子高度(不包括木板厚度，用H表示)、桌子寬度(用D表示)、桌面形狀(可用一個(gè)凸曲線方程y=f(x)表示其一側(cè)邊緣曲線)、最大折疊角度(即最外側(cè)桌腿與水平方向的夾角，用θ表示).材料參數(shù)包括木條長(zhǎng)度(用L表示)、木條寬度(用w表示)及木條厚度(用v表示).用n表示木條個(gè)數(shù).加工參數(shù)的名稱、符號(hào)、意義見(jiàn)表1：

表1 折疊桌加工參數(shù)表

上述的提及的形狀參數(shù)、材料參數(shù)及加工參數(shù)都稱為設(shè)計(jì)參數(shù)，這些參數(shù)的意義也可在圖4中體現(xiàn)出來(lái).

圖4 主要設(shè)計(jì)參數(shù)示意圖

這類折疊桌的設(shè)計(jì)主要是針對(duì)以上的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行選定和優(yōu)化計(jì)算，使得產(chǎn)品輕便美觀、折疊靈活、支立穩(wěn)當(dāng)、加工方便、用材最少.特別是折疊角度θ、鋼筋位置參數(shù)c及槽孔長(zhǎng)度參數(shù)ci對(duì)折疊桌的整體效果起著至關(guān)重要的作用，而且這些參數(shù)之間互相關(guān)聯(lián)，所以必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真.

1.2 折疊桌的數(shù)學(xué)模型

首先建立坐標(biāo)系：以地面為xOy面，以木條構(gòu)成的平板平放地面時(shí)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與木條平行的方向?yàn)閥軸，向上方向?yàn)閦軸方向建立直角坐標(biāo)系(如圖5所示).

圖5 坐標(biāo)系

木板在提升折疊過(guò)程中，著地的木條端點(diǎn)不一定總是第1個(gè)和第n個(gè)木條的4個(gè)端點(diǎn).為建模方便，在折疊過(guò)程中我們總設(shè)第1個(gè)和第n個(gè)木條對(duì)應(yīng)的4個(gè)桌腳(即木條端點(diǎn))位于地面(即xOy面)，這樣，其它木條的端點(diǎn)就有可能伸到xOy面以下，從而這些點(diǎn)的豎坐標(biāo)就有可能為負(fù)值，當(dāng)折疊角度達(dá)到一定程度時(shí)，就只有最外側(cè)(即第1個(gè)和第n個(gè)木條)的4個(gè)桌腳著地，其他木條端點(diǎn)懸空，從而才能使桌子放穩(wěn).

不失一般性，假設(shè)桌面的形狀是由凸曲線y=f(x)(f(x)≥0)，y=-f(x)及木板最外側(cè)兩根木條所在直線圍成的對(duì)稱圖形.由前述符號(hào)可知桌面寬度為nw，記

(1)

即a等于桌面寬度的二分之一.令li表示第i根木條對(duì)應(yīng)的桌腿長(zhǎng)度，則

(2)

這里，木條的序號(hào)是從x軸負(fù)半軸距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處的木條開(kāi)始算起.從而所需木條的長(zhǎng)度L為

L=2r1+2l1.

(3)

b=r1+l1

(4)

顯然應(yīng)有r1

為便于動(dòng)態(tài)仿真模擬，引入一個(gè)動(dòng)態(tài)控制變量h來(lái)表示折疊過(guò)程中桌面離開(kāi)地面的高度，顯然0≤h≤H.

下面針對(duì)任意h∈[0,H]，建立每個(gè)木條對(duì)應(yīng)的桌面線段和桌腿線段的方程.

對(duì)于第i個(gè)木條，其折疊后形成的折線記為AiBiCiDi，其中Ai、Di為該木條的底面中線端點(diǎn)，Bi、Ci為兩個(gè)截?cái)嗝娴拙€中點(diǎn)，位于桌面底面邊緣.鋼筋穿過(guò)桌腿AiBi和CiDi的兩個(gè)點(diǎn)分別記為Ni和Mi. 由于AiBiCiDi所在的平面平行于yOz坐標(biāo)面，故Ai、Bi、Ci、Di4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為

xi=-a+(i-0.5)w

(5)

從而B(niǎo)i,Ci兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

Bixi，-f(xi)，h，Cixi，f(xi),h

(6)

因此BiCi的參數(shù)方程為

(7)

其中，xi由式(5)確定.

由于鋼筋垂直yOz面，故對(duì)所有i(1≤i≤n)，Mi都具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為y0和z0，由對(duì)稱性，所有Ni的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別為-y0和z0.

由前述假設(shè)，A1、D1、An、Dn總是在地面上，故它們的豎坐標(biāo)總是為0.

這時(shí)，點(diǎn)Ni與N1的投影點(diǎn)重合，記為N，點(diǎn)Mi與M1的投影點(diǎn)重合，記為M，則N和M的坐標(biāo)分別為N(0,-y0,z0)和M(0,y0,z0).

因此，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0和豎坐標(biāo)z0的表達(dá)式為

注意到點(diǎn)M與Mi具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，所以Mi的坐標(biāo)為

從而結(jié)合式式(6)，可得DiCi所在直線的方向向量為

(8)

又注意到Di點(diǎn)到Ci點(diǎn)的距離即為第i個(gè)木條對(duì)應(yīng)的一條桌腿長(zhǎng)，從而有

故得

代入(8)式，便得Di的坐標(biāo)為

(9)

其中

根據(jù)對(duì)稱性，Ai的坐標(biāo)為

(10)

從而可得桌腿AiBi和CiDi的方程分別為

(11)

(12)

至此，式(7)，(11)和(12)就是當(dāng)折疊高度為h時(shí)，每個(gè)木條折疊后的所形成的空間造型的數(shù)學(xué)模型.

圖6 第i個(gè)木條與第1個(gè)木條在yOz面上的投影

2 折疊桌的動(dòng)態(tài)仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析

2.1 設(shè)計(jì)參數(shù)的初步分析

模型中，參數(shù)r1，l1，a及b都是間接參數(shù)，通過(guò)式(1)，(2)，(3)和(4)獲得，而這些表達(dá)式中，需要給定形狀參數(shù)H，θ，材料參數(shù)w，n，其中H是想要折疊桌的高度，可根據(jù)不同的需要確定，一般在40 cm到70 cm之間選取.θ反應(yīng)折疊程度，若θ太小，則桌腳容易在地面打滑，使桌面平攤到地面，而且由式(1)和(3)可知，需要的木條長(zhǎng)度L也變大，造成材料浪費(fèi)；但θ太大(比如接近90度)，則桌子腳距太小，使得桌子頭重腳輕，容易翻倒.一般選取θ時(shí)，最好使桌面邊緣在地面的投影剛好落在四個(gè)桌腳上.另外，若地面很光滑，則盡可能取接近90度的值，若地面較粗糙，則可適當(dāng)減小，一般選取70-80度為宜.木條寬度w可根據(jù)需要的桌面寬度選取，但不宜太寬，因?yàn)樘珜挄?huì)使開(kāi)槽難度增加，而且影響美觀，一般以2 cm到5 cm為宜.木條個(gè)數(shù)n由桌子寬度決定.y=f(x)反映了桌面的形狀，要求為光滑的凸曲線，比如半圓，橢圓等.鋼筋位置參數(shù)c是影響桌子折疊效果和其它加工參數(shù)最主要的因素，在以下的仿真模擬中將進(jìn)一步討論.

2.2 折疊過(guò)程仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析

采用Maple 軟件編程,得到針對(duì)以上參數(shù)的折疊桌動(dòng)態(tài)折疊過(guò)程三維效果圖(如圖7所示).

再次，在圖7中，對(duì)位置參數(shù)k分別取0.3、 0.4、0.5、0.6、0.7和0.8，而讓其它參數(shù)保持不變，通過(guò)編程得到如圖9所示的仿真模擬效果圖.

由圖9可以看出，當(dāng)k太小(k<0.3)時(shí)，折疊的部分桌腿會(huì)碰到一起，在實(shí)際中無(wú)法實(shí)現(xiàn)充分折疊，同時(shí)美觀性也較差；而當(dāng)k太大(k>0.7)時(shí)，鋼筋會(huì)露在有些桌腳下面，這意味著這些桌腿開(kāi)槽時(shí)桌腳一端也要開(kāi)槽，在實(shí)際中這些桌腿將移出鋼筋，從而整個(gè)木條將無(wú)法固定，這是不允許的.同時(shí)，k越大，開(kāi)槽長(zhǎng)度也越大，增加了加工難度.因此，k的選取應(yīng)該使鋼筋位置在外側(cè)桌腿的中部為宜，即最好取k=0.5.

圖7 折疊桌折疊過(guò)程三維效果圖

a 橢圓型 b 操場(chǎng)型

3 折疊桌的加工參數(shù)計(jì)算

在折疊桌的所有參數(shù)中，有些是根據(jù)實(shí)際需要事先選定的，諸如桌子高度H、寬度D、木條寬度w、厚度v等，有些要根據(jù)實(shí)際情況和經(jīng)驗(yàn)取定值，比如折疊角度θ和鋼筋位置參數(shù)k(如前所述).當(dāng)這些參數(shù)的值取定后，其它參數(shù)就要通過(guò)模型進(jìn)行計(jì)算.

其次，需確定每根木條的截?cái)辔恢?對(duì)于第i個(gè)木條，其截?cái)帱c(diǎn)Bi和Ci距離木條中心的距離實(shí)際就是ri，即該木條位于桌面部分長(zhǎng)度的2倍，從而計(jì)算式為

(13)

再次，需確定鋼筋位置參數(shù)c.如前所述，c=kl1，l1由式(2)計(jì)算，一般取k=0.5.

最后，需確定每根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度.對(duì)于第i個(gè)木條，鋼筋的初始位置(即整個(gè)木板平鋪時(shí)鋼筋穿過(guò)該木條的位置)距離該木條中心的距離為c，折疊后鋼筋位于Mi和Ni點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于投影點(diǎn)M和N(如圖4所示)，所以可得在第i個(gè)木條上的開(kāi)槽長(zhǎng)度為

注意到

故有

(14)

特別的，當(dāng)i=1時(shí)，由于r1=f(x1)，故由上式易得c1=0；當(dāng)i=n時(shí)，由于r1=rn=f(xn)，也可得cn=0.

圖9 不同鋼筋位置參數(shù)的折疊桌模擬圖

木條序號(hào)12345678910ri7.80613.17016.53618.99820.87922.32623.41924.20624.71724.969ci0.0004.3587.66510.37012.59514.39715.80816.84917.53617.878

圖10是根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制的加工參數(shù)示意圖，其中，Bi和Ci是截?cái)帱c(diǎn)，開(kāi)槽的地方用陰影表示，不同木條開(kāi)槽長(zhǎng)度不同.

圖10 截?cái)辔恢煤烷_(kāi)槽長(zhǎng)度示意圖

4 結(jié) 論

建立了一種折疊桌折疊過(guò)程的一般性數(shù)學(xué)模型，通過(guò)編程仿真模擬驗(yàn)證模型的正確性，同時(shí)也說(shuō)明仿真模擬程序的正確性和可行性.同時(shí)通過(guò)仿真模擬的直觀性來(lái)討論各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的可行性，可為進(jìn)一步產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供較好的理論參考.

在研究中，重點(diǎn)考慮了模型建立的仿真模擬，對(duì)關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和最優(yōu)設(shè)計(jì)未做深入討論，特別是折疊角度對(duì)穩(wěn)定性的影響以及鋼筋位置參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計(jì)還需做進(jìn)一步理論分析.

參考文獻(xiàn):

[1] 雷忠興．折疊結(jié)構(gòu)在家具設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]．現(xiàn)代裝飾(理論)，2014(5)：10-12．

[2] 林佳欣，聶桂平．基于TRIZ理論的折疊家具設(shè)計(jì)研究[J]．東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，37(4): 518-521．

[3] 韓佳成．平板折疊邊桌[J]．設(shè)計(jì)，2012(8):25-25.

[4] Smoyu. Robert van Embriqs 創(chuàng)意組合折疊餐桌.中國(guó)設(shè)計(jì)之窗, http://www.333cn.com/ industrial/sjxs/133003.html．

[5] 2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽. http://www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm 2014problems.rar．

[6] 蔡志杰. 創(chuàng)意折疊桌的設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用, 2015, 4(1): 66-74.

[7] 王秋森，黨展鵬，莊文華,等. 平板折疊桌的設(shè)計(jì)模型[J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用, 2015，4(1): 23-32.

[8] 何青，王麗芬. Maple教程[M].北京：科學(xué)出版社，2006.