對(duì)有理函數(shù)極限的再認(rèn)識(shí)

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(青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)

一、理論背景

對(duì)剛剛步入大學(xué)校門的學(xué)生們來說，中學(xué)階段形成的思維方式成為影響大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素，他們頭腦中已有的知識(shí)儲(chǔ)備和思維模式往往決定了他們解決數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)的策略。而課堂中不同的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐活動(dòng)又決定著學(xué)生的推理活動(dòng)，從而影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)的理解模式和思維方式。

Freudenthal提出了基于現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的“再創(chuàng)造”教學(xué)方法，這種方法是將數(shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來進(jìn)行解釋和分析。數(shù)學(xué)實(shí)踐作為一種特殊的活動(dòng)，教師應(yīng)按照以下四個(gè)要素來指導(dǎo)教學(xué)：任務(wù)(活動(dòng)的性質(zhì)和目標(biāo))；技巧(相應(yīng)于任務(wù)的技巧)；技術(shù)(判斷該技巧的技術(shù))；理論(支撐該技術(shù)的理論)。這里的“技術(shù)”可以是概念、程序或法則，它是關(guān)于數(shù)學(xué)技巧的論述，也就是讓實(shí)踐者來回憶、思考并發(fā)現(xiàn)這個(gè)技巧。而“理論”則是為定義概念、判斷程序及法則提供清晰的知識(shí)體系和結(jié)構(gòu)框架。

然而，目前的大學(xué)數(shù)學(xué)教育在傳統(tǒng)評(píng)價(jià)體系的束縛下，常規(guī)性的操作練習(xí)和考試測(cè)驗(yàn)成為檢驗(yàn)學(xué)生的重要而且唯一尺度。但是，這些標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)對(duì)學(xué)生思維方式的發(fā)展并沒有太大的作用，甚至在一定程度上是阻礙了學(xué)生能力的發(fā)展。更糟糕的是我們的教學(xué)法卻一直在傳授這些要“教”或“考”的知識(shí)，而各自的技術(shù)和理論卻在呈現(xiàn)逐年削弱的趨勢(shì)。

二、教學(xué)實(shí)踐

《高等數(shù)學(xué)》在講授極限的運(yùn)算法則時(shí)，教材中會(huì)涉及有理函數(shù)極限的計(jì)算問題。

從具體案例可以看出，有理函數(shù)極限的計(jì)算似乎都在強(qiáng)調(diào)解題的技巧，從教學(xué)法的角度來看，這種教學(xué)模式僅僅是停留在代數(shù)運(yùn)算階段，學(xué)生所獲取的知識(shí)也只是一些零散的小技巧而已。而真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的理論模塊則根本沒有涉及到，也就是沒有真正告知學(xué)生這些技巧背后的理論。

三、調(diào)查結(jié)果

教師在處理有理函數(shù)的極限計(jì)算問題時(shí)，他們應(yīng)當(dāng)意識(shí)到“約掉零因子”這個(gè)技巧不僅僅是中學(xué)階段的因式分解問題，更重要的是反應(yīng)出極限的理論即“兩個(gè)函數(shù)除了一個(gè)點(diǎn)外處處相等，則兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限相同”。這種極限理論關(guān)注的則是極限的ε-δ定義，而我們的絕大多數(shù)教師則很少或幾乎沒有關(guān)注到這些理論，因此這種數(shù)學(xué)教學(xué)就導(dǎo)致了理論和計(jì)算的脫鉤，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在學(xué)生看來就成為純粹的代數(shù)運(yùn)算和技巧的使用。

學(xué)生的這種感知并非是空穴來風(fēng)，我們?cè)谝豁?xiàng)問卷測(cè)試和訪談中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生把有理函數(shù)的極限計(jì)算完全歸結(jié)為因式分解問題。通過整理分析學(xué)生的回答，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生把這種任務(wù)類型分成了兩類：

這時(shí)，表達(dá)式中的多項(xiàng)式通常是可以利用一些代數(shù)技巧來因式分解，如“平方差公式”“分配性質(zhì)”，等等。他們通常認(rèn)為這種涉及多項(xiàng)式的極限計(jì)算問題不可能僅僅通過代入即可求得，一般會(huì)考察其他的一些知識(shí)點(diǎn)。

四、教學(xué)啟示

學(xué)生的這種自發(fā)的知識(shí)模型讓我們充分意識(shí)到，常規(guī)的習(xí)題訓(xùn)練和標(biāo)準(zhǔn)化的考試題目對(duì)他們的數(shù)學(xué)感知產(chǎn)生了重要的影響。學(xué)生似乎是按照有理函數(shù)的表達(dá)式形式將極限分成了不同的任務(wù)類型，而不是按照微積分的規(guī)范如未定式類型等。

由于傳統(tǒng)的關(guān)于有理函數(shù)的極限考試題、教材練習(xí)、課堂例題以及隨堂測(cè)驗(yàn)大都是涉及二次或三次多項(xiàng)式，因此學(xué)生自然會(huì)認(rèn)為這是一種社會(huì)規(guī)范。這無疑給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)敲響了警鐘，學(xué)生并不是基于數(shù)學(xué)的規(guī)范把極限進(jìn)行分類的，而是基于認(rèn)知、社會(huì)及教學(xué)法的規(guī)范；從學(xué)生認(rèn)知角度看，他們普遍認(rèn)為“如果一個(gè)多項(xiàng)式很容易因式分解，那就分解吧”，他們也表示“一看到x2-9這種多項(xiàng)式，大腦就異常興奮”；而且在實(shí)際教學(xué)中，教師給學(xué)生的題目任務(wù)往往通過因式分解就能解決，在學(xué)生看來這是一個(gè)有效的解決數(shù)學(xué)任務(wù)的策略。學(xué)生的這種感知并非是從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的，離開數(shù)學(xué)規(guī)則而大談技巧或常規(guī)，這在一定程度上可以說是數(shù)學(xué)教育的失敗。

數(shù)學(xué)課堂要教的知識(shí)絕不是為評(píng)價(jià)學(xué)生而設(shè)定的常規(guī)性任務(wù)及相應(yīng)的技巧，更重要的是要傳授給學(xué)生這些運(yùn)算(活動(dòng))所依托的理論(技術(shù))，這是數(shù)學(xué)教育最重要的也是最根本的任務(wù)。

[1]Lithner，J. Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises.Educational Studies in Mathematics， 2003，(52)：29.

[2] Freudenthal，H.Mathematics as an Educational Task，Reidel，Dordrecht.1973.

[3]Freudenthal，H.Revisiting Mathematics Education.China Lectures，Kluwer，Dordrecht-Boston-London.1991.

[4]Hardy，N.Students' perceptions of institutional practices：the case of limits of functions in college level Calculus courses.Educational Studies in Mathematics，2009，(72)：341.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2002.