基于Rife算法和相位差法的頻率估計算法

謝 勝

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基于Rife算法和相位差法的頻率估計算法

謝 勝

(中國人民解放軍91388部隊，廣東 湛江, 524022)

針對Rife算法在低信噪比條件下被估計頻率接近FFT量化頻率時估計誤差較大, 而改變窗長相位差法具有較高的估計精度的特點, 文中利用頻譜細化技術對Rife算法進行了改進, 提出了基于改進Rife算法和改變窗長相位差法正弦波頻率估計綜合算法, 給出了理論計算過程及相關推導公式。仿真結果表明, 即使信噪比為-15dB, 改進算法仍然具有較高的估計精度而且在整個頻段上性能穩(wěn)定, 均方根誤差接近克拉美-羅限, 且改進算法計算量小, 易于硬件實現(xiàn)。

頻率估計; Rife算法; 改變窗長相位差法; 克拉美-羅限

0 引言

國內外學者從估計精度和運算量等角度提出了許多不同頻率估計算法。子空間算法[1-2]分辨率高, 但運算量較大。實時性好的Fit等算法[3-5]要求信噪比高。基于離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)的譜分析法運算量小, 但小樣本下估計精度差。Rife算法[6-7]部分克服了DFT估計誤差大的問題, 且Rife改進算法[8-9]在較高信噪比時估計誤差接近克拉美-羅限(Cramer-Rao lower bound, CRLB)。以上這些算法都不能較好地滿足低信噪比單頻信號快速精確頻率估計。

基于此, 文中提出了一種基于Rife算法和改變窗長相位差法的頻率估計算法, 較好地滿足了低信噪比信號快速精確頻率估計, 可廣泛應用于聲吶、振動測試和通信工程領域中。理論分析和仿真表明, 該算法計算量小, 信噪比門限低而且在整個頻段上性能接近CRLB, 在低信噪比條件下也能完成實時精確頻率估計。

1 正弦波頻率估計算法

加性高斯白噪聲污染的正弦信號可表示為

式中: Δ為采樣間隔;為樣本數(shù);,f,0分別為振幅、頻率和初相;()是方差為22的零均值復高斯白噪聲。

1.1 Rife算法

Rife算法[6]公式

令Rife算法頻率修正項為

式中: ||≤0.5;Δ;0為快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)最大譜線位置; |(0)|為()的FFT最大譜線幅值; |(0)|為FFT次大譜線幅值。當|(01)|≤|((0-1)|,=–1; 而當|(01)|≥|((01)|時,=1; 當接近0.5時, Rife算法頻率估計誤差接近CRLB; 而當||較小時, Rife算法易受噪聲影響, 估計誤差比DFT算法要大[10]。

1.2 改變窗長相位差法

文獻[11]針對頻率分辨率和信噪比較低條件下FFT最大值處的譜線找不準造成較大估計誤差的問題, 提出了改進的改變窗長相位差法。其思想是: 首先對長度為的序列1[]做FFT, 得到實際峰值譜線號1max及其相位1, 然后利用1max計算其對應第2段序列2[](2[]長度為(0<<1)的峰值譜線號:2max=·1max, 再對2[]做單點的DFT, 得

相位差為

為歸一化頻率估計值

上式中, 令

改變窗長相位差法估計誤差[11]與頻率修正項||有關, 當||接近0.5時, 估計誤差大; 而當||<0.2時, 估計誤差小。該算法只需做一次FFT和一次單點DFT, 運算量小。

1.3 綜合算法

分析Rife算法和改變窗長相位差法可看出: 當||接近零時, 改變窗長相位差法估計精度高, 而Rife算法頻率估計誤差較大; 當||接近0.5時, Rife算法頻率估計精度高, 接近CRLB, 而改變窗長相位差法頻率估計誤差大。這2種算法各有利弊可互相彌補, 充分利用這2種算法優(yōu)點, 在不同頻段采用不同估計算法可使整體估計性能得到提高。

從文獻[10]中可看出, Rife算法對噪聲比較敏感, 當信噪比較低時噪聲干擾使插值方向發(fā)生錯誤導致較大估計誤差, 文中采用頻譜細化技術可較好克服這個問題。

正弦信號()離散時間傅里葉變換(discrete- time Fourier transform, DTFT)和DFT為

式中,為連續(xù)角頻率。如果取[0,-1]區(qū)間任意連續(xù)實數(shù)值, 可得到任意連續(xù)頻率的頻譜值, 正弦信號頻率對應于連續(xù)頻譜的最大值。

由DFT頻譜可知,X0±1幅度值比X0±0.5幅度值小, 因此噪聲對X0±1的影響比對X0±0.5要大,用X0±0.5來確定Rife算法插值方向有利于降低Rife算法估計誤差。改進Rife算法如下

當信號頻率位于量化頻率中心區(qū)域[8]時, 改變窗長相位差法和Rife算法的頻率估計誤差相當。文中通過綜合利用FFT幅度和相位信息即對兩者頻率修正項進行加權處理后, 可進一步降低估計誤差。

其算法過程如下:

步驟3: 采用頻譜細化式(8)求取X0±0.5;

2 改進算法性能分析

在MATLAB中對文中算法性能進行研究。取=0.2,=0.5,=0.5,==0.5。時移對稱窗采用矩形窗。

2.1 改進算法與Rife算法和改變窗長相位差法性能對比

仿真參數(shù)如下: 取=1 024,f=800 kHz, 則Δ=f/=781.25 Hz, 載波頻率0=f/4=200 kHz, 令f=f0Δ,在區(qū)間[–0.5, 0.5]均勻分成60頻率點, 對每個頻率點作1 000次Monte-Carlo仿真。定義信噪比為=22。對復正弦波信號, 在相位、幅度和頻率3個參數(shù)均未知的情況下, 估計方差克拉美羅限為=12·2[2Δ221)]。

信噪比分別為-15 dB和-10 dB條件下改進算法與Rife算法和改變窗長相位差法的估計均方根誤差如圖1所示(為圖示簡潔, 橫坐標采用頻率比值f/Δ=/4+來表示)。

從圖1可看出, 當||≤0.2時, Rife算法估計誤差接近CRLB 4倍, 而改變窗長相位差法估計誤差小且穩(wěn)定, 表現(xiàn)較強抗噪聲性能。而當||≥0.2時, 改變窗長相位差法估計誤差逐漸增大, 而Rife算法誤差則逐漸減小, 仿真結果與理論分析結果一致。由于3種算法估計誤差在敏感頻段即量化頻率中心區(qū)域內交疊在一起, 為便于清楚了解此頻段內3種算法的估計誤差, 對圖1(a)敏感頻段左半部分(也可取右半部分)進行了局部放大, 得到了圖2。從圖2可看到, 在量化頻率中心區(qū)域利用Rife算法與改變窗長相位差法的頻率修正項進行加權處理, 綜合利用FFT幅度和相位信息來修正插值項, 進一步提高了估計精度。

從圖1和圖2可看出, 文中的改進算法在整個頻段內具有較高估計精度和穩(wěn)定性, 而且估計誤差接近CRLB, 總體性能明顯優(yōu)于改變窗長相位差法和Rife算法。

圖3給出了敏感頻段即量化頻率中心區(qū)域信號頻率為1=0+0.3·Δ時, 3種算法在不同信噪比條件下的均方根誤差。從圖3可看出, 改進算法估計誤差在較寬信噪比范圍內均接近CRLB。這表明文中算法能有效克服頻率估計誤差隨信噪比變化而波動大的問題, 表明該算法抗噪聲性能好。

2.2 計算量分析

Rife算法需做一次點FFT運算并求出最大和次大FFT譜線, 共需要/2×log2+/2復數(shù)乘法和×log2復數(shù)加法。改變窗長相位差法需做一次點FFT和一次單點DFT。做一次點FFT需要2×log2復數(shù)乘法和×log2復數(shù)加法, 作一次單點DFT需次復數(shù)乘法和-1復數(shù)加法。改變窗長相位差法共需2×log2+復數(shù)乘法和×log2+-1復數(shù)加法。

改進算法在作一次點FFT運算基礎上, 還需計算頻率修正項和共需/2×log2+3/2復數(shù)乘法和×log2+-1復數(shù)加法。若||≥時, 必須結合頻譜細化公式作3點DFT, 這需要進行3次復數(shù)乘法和3(-1)次復數(shù)加法, 此時改進算法共需/2×log2+9/2復數(shù)乘法和×log2+ 4(-1)復數(shù)加法。由于真實頻率落在量化頻率區(qū)間內概率是均勻分布的, 當=0.2,=0.5時, 從統(tǒng)計角度看, 這種概率只占60%。文中改進算法運算量比文獻[12]所提方法小。

3 結束語

文中在Rife算法和改變窗長相位差法基礎上提出了一種正弦頻率估計的改進算法。理論分析和仿真結果均表明, 文中算法具有較好抗噪聲性能, 估計精度高且計算量小, 能在較低信噪比條件下完成實時精確頻率估計, 具有工程應用價值。

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(責任編輯: 許 妍)

Frequency Estimation Algorithm Based on Rife Algorithm and Phase Difference Correction Method

XIE Sheng

(91388thUnit, The Liberation Army of China, Zhanjiang 524022, China)

In view of the fact that the Rife algorithm has large estimation error when the estimated frequency is close to the fast Fourier transform(FFT) quantization frequency under low signal to noise ratio(SNR), but the window-length changing phase difference correction method is of high estimation accuracy, the spectrum subdivision technique is used to improve the Rife algorithm, and a synthesis algorithm of sinusoidal frequency estimation based on the improved Rife algorithm and the window-length changing phase difference correction method is proposed. The theoretical calculation process and related formulas derivation are given. Simulation results show that even if the SNR is as low as -15 dB, the improved algorithm still gains high estimation accuracy and stable performance in the whole frequency band, and the root mean square error(RMSE) is close to the Cramer-Rao lower bound(CRLB). The improved algorithm needs small calculation amount and is easy for hardware implementation.

frequency estimation；Rife algorithm；window-length changing phase difference correction algorithm；Cramer-Rao lower bound(CRLB)

謝勝. 基于Rife算法和相位差法的頻率估計算法[J]. 水下無人系統(tǒng)學報, 2018, 26(3): 263-266.

TJ6; TN929.3

A

2096-3920(2018)03-0263-04

10.11993/j.issn.2096-3920.2018.03.013

2017-05-09;

2018-03-11.

謝 勝(1976-), 男, 碩士, 工程師, 主要研究方向為信號處理.