數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

吳佩信

對于等差（比）數(shù)列可利用求和公式直接求和，對于有些數(shù)列也可以用歸納法求和。此外，對于非等差（比）數(shù)列可以考慮應(yīng)用以下方法求前項(xiàng)和。

一、分組求和法

當(dāng)數(shù)列的每一項(xiàng)都能分成n個(gè)部分的和，并且相應(yīng)部分所形成的數(shù)列是等差（比）數(shù)列時(shí)，可用此方法求解。

【例題1】已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)n和

【解答】

【變式1】已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)n和.

【解答】

二、裂項(xiàng)相消法

數(shù)列的每一項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，其中分子是常數(shù)，分母是若干個(gè)“間隔”相等的“連續(xù)”整數(shù)的和，此時(shí)可考慮用此方法。

【例題2】已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)n和.

【解答】

【變式2】已知數(shù)列滿足求其前項(xiàng)n和.

【解答】

三、錯(cuò)位相減法

數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)求數(shù)列的前項(xiàng)n和時(shí)，可應(yīng)用此法求解。

【例題3】已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)n和.

【解答】

兩式相減，得

【變式3】已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)n和.

【解答】略

四、并項(xiàng)求和法

數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)并在一起構(gòu)成特殊數(shù)列時(shí)，可以考慮應(yīng)用此法。

【例題4】數(shù)列前項(xiàng)n和滿足

【解答】

【變式4】求值：

【解答】略

五、疊加法

對于一些特殊的數(shù)列（自然數(shù)的若干次方構(gòu)成的數(shù)列）應(yīng)用此方法較簡便。

【例題5】已知數(shù)列滿足，求其前n項(xiàng)和。

【解答】顯然有

令上面式中

得n個(gè)式子，然后相加得：

應(yīng)用此種方法可以求得數(shù)列的前n項(xiàng)和。

六、通項(xiàng)公式與其前項(xiàng)n和的關(guān)系

【例題6】已知下面各數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式。

（1）；（2）

求的通項(xiàng)公式.

【解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

即

當(dāng)時(shí)，上式也成立，故通項(xiàng)公式為

（2）當(dāng)n=1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

即

當(dāng)n=1時(shí)，上式不成立，故通項(xiàng)公式為

七、構(gòu)造法

當(dāng)給出了數(shù)列的前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系式，可以考慮將構(gòu)造成一個(gè)新數(shù)列，利用求通項(xiàng)的方法求出。

【例題7】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足求數(shù)列前n項(xiàng)和.

【解答】

數(shù)列是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，故