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    一類帶有食餌避難捕食-競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散模型的定性分析

    2018-06-27 07:52:18劉曉慧
    關(guān)鍵詞:食餌捕食者平衡點(diǎn)

    劉曉慧,王 靜

    (東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

    1 預(yù)備知識(shí)

    眾所周知,擴(kuò)散現(xiàn)象對(duì)于捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為起著非常重要的作用.[1-3]因?yàn)榉N群的密度通常是空間不均勻分布的,擴(kuò)散過(guò)程能更好地刻畫(huà)出捕食者及食餌在不同的種群密度下種群數(shù)量流動(dòng)的復(fù)雜性.考慮如下的種群模型:

    (1)

    其中:Ω∈RN(N≥1)是一個(gè)給定的有界光滑域;u1,u2是具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩個(gè)食餌;u3是捕食者;△是拉普拉斯算子;v是Ω邊界上的單位外法向量;d1,d2,d3是正擴(kuò)散系數(shù);初始函數(shù)ui(x,0)(i=1,2,3)是連續(xù)函數(shù).系統(tǒng)(1)是一個(gè)捕食競(jìng)爭(zhēng)模型,在這個(gè)模型中,兩個(gè)食餌是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,并且在競(jìng)爭(zhēng)中第一個(gè)食餌u1比第二個(gè)食餌u2更有優(yōu)勢(shì),這主要體現(xiàn)在α>1上.食餌u2有避難保護(hù),即對(duì)捕食者免疫,使得捕食者u3只能捕食食餌u1.

    本文研究系統(tǒng)(1)的正穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性,可轉(zhuǎn)化為研究下面橢圓系統(tǒng)非常值正解的存在性與不存在性:

    (2)

    本文通過(guò)特征方程的方法得到系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性;通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)得到系統(tǒng)(2)的正穩(wěn)態(tài)解的上下界;通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腣函數(shù)得到系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點(diǎn)在一定的條件下是全局漸近穩(wěn)定的;最后利用拓?fù)涠壤碚搶?duì)系統(tǒng)(2)的非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性和存性進(jìn)行了研究.

    2 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

    令0=μ1<μ2<μ3<…是滿足Neumann邊界條件、在Ω上-Δ算子的特征值,E(μi)是μi在C1(Ω)上相應(yīng)的特征空間,定義集合

    Ψi(λ)=λ3+B1iλ2+B2iλ+B3i.

    其中:

    B1i=μi(d1+d2+d3)+A1,

    由文獻(xiàn)[4],因?yàn)閍11<0,a22<0,所以B1i,B2i,B3i>0.通過(guò)直接計(jì)算得

    其中:

    M1=(d1+d2+d3)(d1d2+d1d3+d2d3)-d1d2d3,

    M2=A1(d1d2+d2d3+d1d3)-(d1+d2+d3)[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]+(d1d3a22+d2d3a11),

    M3=A2(d1+d2+d3)-A1[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]-[(a11a22-a12a21)d3-a13a31d2].

    由文獻(xiàn)[4]可知A1A2-A3>0,于是對(duì)于所有的i≥0,均有B1iB2i-B3i>0.根據(jù)Routh-Hurwitz判別法,對(duì)每一個(gè)i≥1,Ψi(λ)=0的三個(gè)根λi1,λi2,λi3都有負(fù)實(shí)部,定理結(jié)論成立.

    3 正穩(wěn)態(tài)解的有界性

    引理3.2(最大值原理)[6]令g(x,ω)∈C(Ω×R1),bj(x)∈C(Ω),j=1,2,…,N.

    為了方便,定義常數(shù)(d1,d2,d3)=d,(a,b1,b2,d1,d2,k,l,m)=Λ.

    定理3.1設(shè)D1,D2,D3是任意給定的正常數(shù),則存在一個(gè)常數(shù)C=C(d,Ω,Λ),滿足當(dāng)K>Cα,且di≥Di(i=1,2,3)時(shí),對(duì)系統(tǒng)(2)的任意解(u1,u2,u3)有

    C-1

    證明首先證明(u1,u2,u3)有上界,即ui

    直接應(yīng)用最大值原理得u2≤K.下證u1,u3有上界.設(shè)ω=cd1u1+d3u3,那么

    由引理3.2,

    取C充分大,則ui

    其次證明(u1,u2,u3)有下界,即ui>C-1,i=1,2,3.

    根據(jù)系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程,已知u1≠0,所以只需要考慮u2=0或u3=0的情況.

    當(dāng)i→∞時(shí)有

    (3)

    4 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

    令u=(u1,u2,u3)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)正解,ui>0,i=1,2,3.

    證明首先構(gòu)造V函數(shù)

    由Green公式

    所以

    5 非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性

    證明因?yàn)?/p>

    (4)

    選取足夠小ε,使得

    定理證畢.

    6 非常值正穩(wěn)態(tài)解的存在性

    首先研究系統(tǒng)(2)在u*處的線性化,設(shè)X定義同前,令

    X+={u∈X|ui>0在Ω上,i=1,2,3},

    B(C)={u∈X|C-1

    其中C由前文給出.系統(tǒng)(2)改寫(xiě)為

    (5)

    u是系統(tǒng)(5)的正解,當(dāng)且僅當(dāng)

    F(u)?u-(I-Δ)-1{D-1G(u)+u}=0

    在X+中成立.這里(I-Δ)-1是(I-Δ)在帶有Neumann齊次邊界條件的X中的轉(zhuǎn)置.因?yàn)镕(·)是恒同算子的一個(gè)緊擾動(dòng),對(duì)任意B=B(c),若在?B中F(u)≠0,可以定義Leray-Schauder度deg(F(·),0,B).記DuF(u*)=I-(I-Δ)-1{DGu(u*)+I},如果DuF(u*)是可逆的,F(xiàn)在u*處的指數(shù)就定義為index(F(·),u*)=(-1)γ,這里γ是DuF(u*)帶有負(fù)實(shí)部特征根的總數(shù).在討論DuF(u*)的特征根時(shí),將用到如下的分解

    首先對(duì)任意i>0和1≤j≤dimE(μi),Xij在DuF(u*)下是不變的,且λ是DuF(u*)在Xij上的特征根,當(dāng)且僅當(dāng)它是如下矩陣的特征根:

    (6)

    如果H(μi)≠0,那么對(duì)任意1≤j≤dimE(μi),DuF(u*)在Xij上負(fù)特征根的個(gè)數(shù)是奇數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)H(μi)<0.

    引理6.1[7-8]假設(shè)對(duì)任意的i≥0,矩陣μiI-D-1Gu(u*)是非奇異的,則

    index(F(·),u*)=(-1)σ,

    這里

    這個(gè)結(jié)論表明σ和γ奇偶性是相同的.為了計(jì)算(F(·),u*)的指數(shù),需要考慮H(μi)的符號(hào).直接計(jì)算得

    det{μD-Gu(u*)}=A3(d3)μ3+A2(d3)μ2+A1(d3)μ-detGu(u*)?A(d3;μ).

    (7)

    其中:

    A3(d3)=d1d2d3,A2(d3)=-a11d2d3-a22d1d3,

    A1(d3)=a11a22d3-a13a31d2-a12a21d3.

    計(jì)算得

    如果參數(shù)Λ,d1,d2滿足a11d2+a22d1<0,能得到以下命題:

    (8)

    如果a11a22-a12a21<0,則

    (9)

    如果a11a22-a12a21>0,則

    (10)

    定理6.1假設(shè)參數(shù)Λ,di,i=1,2是固定的,a11>0,且滿足下面的條件之一:

    則存在一個(gè)正數(shù)D3,使得當(dāng)d3≥D時(shí)系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)非常值正解.

    證明如果a11a22-a12a21<0,由引理6.2知存在一個(gè)正常數(shù)D3,使得d3≥D3,且

    (11)

    (12)

    則u是系統(tǒng)(2)的一個(gè)非常值解,當(dāng)且僅當(dāng)它是系統(tǒng)(12)當(dāng)t=1時(shí)的一個(gè)正解.顯然u*是系統(tǒng)(12)對(duì)任意0≤t≤1唯一的正解.對(duì)任意的0≤t≤1,u是系統(tǒng)(12)的一個(gè)正解,當(dāng)且僅當(dāng)

    F(t;u)?u-(I-Δ)-1{D-1(t)G(u)+u}=0

    在X+上成立.

    顯然F(1;u)=F(u),定理5.1表明當(dāng)F(0;u)=F(u)=0時(shí),u*在X+中有唯一的正解

    DuF(t;u*)=I-(I-Δ)-1{D-1(t)Gu(u*)+I}.

    特別地,

    DuF(1;u*)=I-(I-Δ)-1{D-1Gu(u*)+I}=DuF(u*).

    (13)

    根據(jù)(9),(11)與(13)式,

    (14)

    由引理6.2,

    index(F(1;·),u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

    (15)

    如果a11a22-a12a21>0,由引理6.2知存在一個(gè)正常數(shù)D3,使得當(dāng)d3≥D3成立且

    (16)

    根據(jù)(10),(13)及(16)式,

    (17)

    由引理6.2,

    index(F(1;·),u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

    同理

    index(F(0;·),u*)=(-1)01.

    (18)

    由定理3.1知存在一個(gè)正常數(shù)C,使得對(duì)任意的0≤t≤1,方程(13)的正解滿足C-1

    deg(F( 1;·),0,B(c))=deg(F(0;·),0,B(c)).

    (19)

    另一方面,由假設(shè),方程F(1;u)=0和F(0;u)=0在B(c)上有唯一的正解,因此由(15)和(18)式,

    deg(F( 0;·),0,B(c))=index(F(0;·),0,u*)=(-1)0=1,

    deg(F( 1;·),0,B(c))=index(F(1;·),0,u*)=(-1)0=-1.

    這與(19)式矛盾,定理證畢.

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 葉其孝,李正元,王明新,等.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,2011:38-176.

    [2] PENG R,WANG M X.Positive steady states of the Holling-Tanner prey-predator model with diffusion[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2005,135:149-164.

    [3] PANG P Y,WANG M X.Non-constant positive steady-states of a predator-prey system with non-monotonic functional response and diffusion[J].Proc London Math Soc,2004,88(3):135-157.

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    [5] LIN C S,NI W M,TAKAI I.Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis systems[J].J Differential Equations,1988,72:1-27.

    [6] LOU Y,NI W M.Diffusion self-diffusion and cross-diffusion[J].J Differential Equations,1996,131:79-131.

    [7] KO W,RYU K.Qualitative analysis of a predator-prey model with Holling type Ⅱ:functional response incorporating a prey refuge[J].J Differential Equations,2006,231:534-550.

    [8] HENRY D.Geometric theory of semilinear parabolic equations[M].Berlin:Springer-Verlag,1993:8-137.

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