Rota-Baxter 3-超代數(shù)的構(gòu)造

王 波，劉貴來，魏 竹

(東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024)

0 引言

Rota-Baxter代數(shù)是由數(shù)學家Glen E Baxter在1960年提出的，隨后眾學者進行了廣泛研究.[1-3]李代數(shù)中滿足Rota-Baxter等式的線性算子是由Belavin引入的，之后由物理學家楊振寧和Rodney Baxter命名.近年來，Rota-Baxter代數(shù)在理論物理和數(shù)學中有許多應(yīng)用并取得了豐碩的研究成果，主要包括量子場論[4]、Yang-Baxter方程[5-7]、Hopf代數(shù)[8-9]與Rota-Baxter 3-Lie代數(shù)[10-11].Rota-Baxter算子在應(yīng)用數(shù)學中也有廣泛應(yīng)用.

1974年，物理學家Wess和Zumion為了建立相對論的費米子與玻色子的統(tǒng)一理論，提出了超對稱性概念，將普通時空滿足的Poincaré代數(shù)(即非齊次Lorentz代數(shù))擴充為超Poincaré代數(shù)[12]，將有限個不同內(nèi)部量子數(shù)的玻色子與費米子放在李超代數(shù)的一個不可約表示中，從此李超代數(shù)引起數(shù)學工作者的研究興趣.

受Rota-Baxter代數(shù)和超代數(shù)研究的啟發(fā)，本文給出了超導子、Rota-Baxter 3-李超代數(shù)及Rota-Baxter李超三系的定義，并給出在這兩個超代數(shù)上分別通過重新定義偶三元線性映射來構(gòu)造新Rota-Baxter 3-李超代數(shù)和Rota-Baxter李超三系的方法.

1 Rota-Baxter 3-超代數(shù)的超導子

定義1.2設(shè)(V，·)是域K上的超代數(shù).若V上的偶線性映射D：V→V滿足

D(x·y)=D(x)·y+x·D(y)，?x，y∈V，

(1)

則稱映射D為V的超導子，所有超導子的集合記為Der(V).更一般地，若V上的偶線性映射d：V→V滿足

d(x·y)=d(x)·y+x·d(y)+λx·y，?x，y∈V，λ∈K，

(2)

則稱映射d為V上權(quán)為λ的超導子.

定義1.3設(shè)3-超代數(shù)(V，〈，，〉)上偶線性映射d：V→V滿足等式

〈d(x1)，x2，x3〉+〈x1，d(x2)，x3〉+〈x1，x2，d(x3)〉+

λ〈d(x1)，d(x2)，x3〉+λ〈d(x1)，x2，d(x3)〉+
λ〈x1，d(x2)，d(x3)〉+λ2〈d(x1)，d(x2)，d(x3)〉，

(3)

定義1.4設(shè)(V，·)是域K上的超代數(shù).若V上的偶線性映射P：V→V滿足

P(x)·P(y)=P(P(x)·y+x·P(y)+λx·y)，?x，y，∈V，λ∈K，

(4)

則稱(V，·，P)是域K上的Rota-Baxter超代數(shù)，稱映射P為V的權(quán)為λ的Rota-Baxter超算子，稱(4)式為Rota-Baxter超等式.

定義1.5設(shè)3-超代數(shù)(V，〈，，〉)上偶線性映射P：V→V滿足

P(〈P(x1)，P(x2)，x3〉)+P(〈P(x1)，x2，P(x3)〉)+
P(〈x1，P(x2)，P(x3)〉)+λP(〈P(x1)，x2，x3〉)+
λP(〈x1，P(x2)，x3〉)+λP(〈x1，x2，P(x3)〉)+λ2P(〈x1，x2，x4〉)，

(5)

定理1.1設(shè)(V，〈，，〉)是域K上的3-超代數(shù)，則偶可逆線性映射P：V→V是權(quán)為λ的Rota-Baxter超算子的充分必要條件是P-1是3-超代數(shù)(V，〈，，〉)的權(quán)為λ的超導子.

證明設(shè)偶可逆線性映射P：V→V是權(quán)為λ的Rota-Baxter超算子，且對于?x1，x2，x3∈V，令yi=p-1(xi)，i=1，2，3，由等式(5)有

P-1(〈x1，x2，x3〉)=P-1(〈P(y1)，P(y2)，P(y3)〉)=
P-1P(〈P(y1)，P(y2)，y3〉+〈P(y1)，y2，P(y3)〉+〈y1，P(y2)，P(y3)〉)+
λP-1P(〈P(y1)，y2，y3〉+〈y1，P(y2)，y3〉+〈y1，y2，P(y3)〉)+λ2P-1P(〈y1，y2，y3〉)=
〈x1，x2，P-1(x3)〉+〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉+λ(〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+
〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉)+λ2(〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉)，

故由(3)式可得P-1是超代數(shù)(V，〈，，〉)的權(quán)為λ的超導子.

反之，若P是超代數(shù)(V，〈，，〉)的權(quán)為λ的超導子，?x1，x2，x3∈V，由等式(3)可得

P(〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉)=〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+
〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉+

λ〈x1，x2，P-1(x3)〉+λ(〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉)+λ2〈x1，x2，x3〉，

從而

〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉=P-1(〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉)+
P-1(〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉+λ〈x1，x2，P-1(x3)〉)+
λP-1(〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉)+λ2P-1(〈x1，x2，x3〉).

2 從Rota-Baxter 3-李超代數(shù)構(gòu)造Rota-Baxter 3-李超代數(shù)

定義2.1設(shè)V是域K上的向量超空間.若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V，滿足：

[x1，x2，x3]=-(-1)|x1||x2|[x2，x1，x3]，[x1，x2，x3]=-(-1)|x2||x3|[x1，x3，x2]，

(6)

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=(-1)|x2||y2|+|x2||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x1，y2，y3]，x2，x3]+

(-1)|x3||y2|+|x3||y3|[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]]，

(7)

?x1，x2，x3，y2，y3∈V.則稱(V，[，，])為3-李超代數(shù)，稱(7)式為3-Jacobi超等式.

事實上，(7)式與下式等價：

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=(-1)|x2||y2|+|x2||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x1，y2，y3]，x2，x3]+

(-1)|x1||x2|+|x1||y2|+|x1||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x2，y2，y3]，x1，x3]+

(-1)|x1||x3|+|x1||y2|+|x1||y3|+|x2||x3|+|x2||y2|+|x2||y3|[[x3，y2，y3]，x1，x2].

(8)

定義2.2設(shè)(V，[，，])是域K上的3-李超代數(shù).若V上偶線性映射P：V→V滿足

λP([x1，P(x2)，x3])+λP([x1，x2，P(x3)])+λ2P([x1，x2，x3])，

(9)

設(shè)(V，[，，]，P)是域K上權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù)，利用等式(5)，可在V上定義偶三元線性映射

[P(x)，P(y)，z]+[P(x)，y，P(z)]+[x，P(y)，P(z)]+

λ[P(x)，y，z]+λ[x，P(y)，z]+λ[x，y，P(z)]+λ2[x，y，z]，

(10)

?x，y，z∈V，λ∈K.

定理2.1設(shè)(V，[，，]，P)是域K上權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù).若在V上定義偶三元線性運算[，，]P滿足等式(10)，則(V，[，，]P，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù).

證明首先證明(V，[，，]P，P)是3-李超代數(shù).顯然[，，]P滿足等式(6)，只需證明[，，]P滿足3-Jacobi超等式即可.對于?x1，x2，x3，x4，x5∈V，令y1=[x1，x2，x3]P，y2=x4，y3=x5，由等式(9)和(10)有

因為(V，[，，]，P)是3-李超代數(shù)，所以對于?≠K?{1，2，3，4，5}有

(-1)|x1||x2|+|x1||x4|+|x1||x5|+|x3||x4|+|x3||x5|[[(x2)，(x4)，(x5)]，(x1)，(x3)]+
(-1)|x1||x3|+|x1||x4|+|x1||x5|+|x2||x3|+|x2||x4|+|x2||x5|[[(x3)，(x4)，(x5)]，(x1)，(x2)].

再證明Rota-Baxter等式成立即可.事實上，

推論2.1[13]設(shè)(V，[，]，P)是域K上權(quán)為λ的Rota-Baxter李超代數(shù)，f∈L*，假設(shè)f，P滿足f([x，y])=0，

(P+λid)(f(x)[P(y)，P(z)]+(-1)|x||y|+|x||z|f(y)[P(z)，P(x)]+
(-1)|x||z|+|y||z|f(z)[P(x)，P(y)])=0.

若定義

[x，y，z]f，P=f(P(x))([P(y)，z]+[y，P(z)]+λ[y，z])+

(-1)|x||y|+|x||z|f(P(y))([P(z)，x]+[z，P(x)]+λ[z，x])+

(-1)|x||z|+|y||z|f(P(z))([P(x)，y]+[x，P(y)]+λ[x，y])+

f(x)([P(y)，P(z)]+λ[P(y)，z]+λ[y，P(z)]+λ2[y，z])+

(-1)|x||y|+|x||z|f(y)([P(z)，P(x)]+λ[P(z)，x]+λ[z，P(x)]+λ2[z，x])+

(-1)|x||z|+|y||z|f(z)([P(x)，P(y)]+λ[P(x)，y]+λ[x，P(y)]+λ2[x，y])，

(11)

?x，y，z∈V，λ∈K，則(V，[，，]f，P，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù).

證明由文獻[10]，?x，y，z∈V，若定義

[x，y，z]f=f(x)[y，z]+(-1)|x||y|+|x||z|f(y)[z，x]+(-1)|x||z|+|y||z|f(z)[x，y]，

則(V，[，，]f，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù).現(xiàn)定義[，，]∶=[，，]f，再利用等式(10)可以定義偶三元線性映射[，，]f，P，由定理2.1，(V，[，，]f，P，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李超代數(shù)，顯然等式(11)成立.

3 從Rota-Baxter李超三系構(gòu)造Rota-Baxter李超三系

定義3.1[10]設(shè)V是域K上的向量超空間.若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V，滿足：

[x，y，z]=-(-1)|x||y|[y，x，z]，

(12)

[x，y，z]+(-1)|x||y|+|x||z|[y，z，x]+(-1)|x||z|+|y||z|[z，x，y]=0，

(13)

[[x，y，z]，u，v]=(-1)|y||u|+|y||v|+|z||u|+|z||v|[[x，u，v]，y，z]+
(-1)|z||u|+|z||v|[x，[y，u，v]，z]+[x，y，[z，u，v]]，

(14)

?x，y，z，u，v∈V.則稱(V，[，，])為李超三系.

李超三系是3-李超代數(shù)，可以按照Rota-Baxter 3-李超代數(shù)的定義方式來定義Rota-Baxter李超三系.

定義3.2設(shè)(V，[，，])是李超三系.若V上偶線性映射P：V→V滿足

[P(x)，P(y)，P(z)]=[P(x)，P(y)，z]+[P(x)，y，P(z)]=

[x，P(y)，P(z)]+λ[x，y，P(z)]+λ[x，P(y)，z]+λ[P(x)，y，z]+λ2[x，y，z]，

(15)

?x，y，z∈V，λ∈K，則稱(V，[，，]，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超三系.

定理3.1設(shè)(V，[，，]，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超三系.若在V上定義偶三元線性映射[，，]P：V?V?V→V滿足等式(10)，則(V，[，，]P，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超三系.

證明由于(V，[，，]，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超三系，?x，y，z，u，v∈V，顯然有

[x，y，z]P=-(-1)|x||y|[y，x，z]P，

[x，y，z]P+(-1)|x||y|+|x||z|[y，z，x]P+(-1)|x||z|+|y||z|[z，x，y]P=0.

再根據(jù)定理2.1，

[[x，y，z]P，u，v]P=(-1)|y||u|+|y||v|+|z||u|+|z||v|[[x，u，v]P，y，z]P+
(-1)|z||u|+|z||v|[x，[y，u，v]P，z]P+[x，y，[z，u，v]P]P.

由等式(10)和(9)，

[P(x)，P(y)，P(z)]P=[P2(x)，P2(y)，P(z)]+
[P2(x)，P(y)，P2(z)]+[P(x)，P2(y)，P2(z)]+

λ[P2(x)，P(y)，P(z)]+λ[P(x)，P2(y)，P(z)]+
λ[P(x)，P(y)，P2(z)]+λ2[P(x)，P(y)，P(z)]=

P([x1，P(x2)，P(x3)]P)+λP([P(x1)，x2，x3]P)+
λP([x1，P(x2)，x3]P)+λP([x1，x2，P(x3)]P)+λ2P([x1，x2，x3]P).

定理3.2設(shè)(V，[，]，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超代數(shù).若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V滿足

[x，y，z]∶=[x，[y，z]]，?x，y，z∈V，

(16)

則(V，[，，]，P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李超三系.

證明由文獻[10，14]，若(V，[，])是李超代數(shù)，則(V，[，，])是李超三系([，，]滿足等式(16)).由(4)和(16)式，?x，y，z∈V，

[P(x)，[P(y)，P(z)]]=[P(x)，P([y，P(z)])]+
[P(x)，P([P(y)，z])]+λ[P(x)，P([y，z])]=

P([P(x)，[y，P(z)]])+P([x，P([y，P(z)])])+λP([x，[y，P(z)]])+

P([P(x)，[P(y)，z]])+P([x，P([P(y)，z])])+λP([x，[P(y)，z]])+

λP([P(x)，[y，z]])+λP([x，P([y，z])])+λ2P([x，[y，z]]).

因為

P([x，[P(y)，P(z)]])=P([x，[y，P(z)]])+P([x，P([P(y)，z])])+λP([x，P([y，z])])，

從而

[P(x)，P(y)，P(z)]=[P(x)，[P(x)，P(y)]]=
P([P(x)，[P(y)，z]])+P([P(x)，[y，P(z)]])+P([x，[P(y)，P(z)]])+

λP([P(x)，[y，z]])+λP([x，[P(y)，z]])+λP([x，[y，P(z)]])+λ2P([x，[y，z]])=

P([P(x)，P(y)，z])+P([P(x)，y，P(z)])+([x，P(y)，P(z)])+

λP([P(x)，y，z])+λP([x，P(y)，z])+λP([x，y，P(z)])+λ2P([x，y，z]).

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