無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中考慮個(gè)體重視的傳染病傳播研究

王 燕，羅彥君

蘭州理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，蘭州 730050

1 引言

近年來(lái)，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在各領(lǐng)域的發(fā)展，傳染病的傳播已經(jīng)成為一個(gè)熱門(mén)的研究課題并吸引了很多學(xué)術(shù)界的關(guān)注和興趣。如SARS、禽流感和甲型H1N1等傳染疾病的傳播。為了描述傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力過(guò)程，許多研究人員已經(jīng)研究了多種傳播模型，如SI模型[1-3]、SIS模型[4-7]、SIR 模型[8-10]、SIRS模型[11-12]。這些模型的研究在預(yù)測(cè)和控制傳染病的傳播中起著重要的作用。隨著研究的深入，對(duì)傳染病的傳播問(wèn)題的研究也層層遞進(jìn)。為了進(jìn)一步了解現(xiàn)實(shí)世界中傳染病的傳播動(dòng)態(tài)，許多研究人員對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳染病傳播進(jìn)行了研究。Pastor-Satorras與Vespignani研究了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播。研究發(fā)現(xiàn)，無(wú)限大規(guī)模的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播臨界值趨于0也就意味著只要病毒傳播率大于0，病毒就能傳播[13]。Huang等人基于SIR傳播模型在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中研究了具有相同傳染性的病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為。研究發(fā)現(xiàn)，如果模型的基本再數(shù)小于1，則無(wú)疾病平衡在全局漸近穩(wěn)定，否則，地方性平衡在全球漸近穩(wěn)定[14]。Kang等人在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上研究了具有時(shí)滯的傳染病傳播行為，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯可以影響傳染病達(dá)到均衡的收斂速度[15]。然而上述的研究多關(guān)注于網(wǎng)絡(luò)上單類(lèi)型的傳播動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)疾病爆發(fā)的閾值（或者說(shuō)疾病的基本再生數(shù)）和傳播范圍的影響；不同傳播模型在不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌膫鞑ラ撝岛蛡鞑シ秶?；針?duì)不同網(wǎng)絡(luò)，如何設(shè)計(jì)有效的免疫策略等。

但是值得注意的是，僅僅從傳染病傳播動(dòng)力學(xué)本身出發(fā)是不夠全面的。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，傳染病的爆發(fā)必然會(huì)引起個(gè)體的反應(yīng)，而個(gè)體的反應(yīng)會(huì)反過(guò)來(lái)影響傳染病的傳播。許多研究人員對(duì)個(gè)體行為反應(yīng)與傳染病之間的相互作用進(jìn)行了研究。例如，Liu等人考慮局域信息的意識(shí)行為，在SIR模型的基礎(chǔ)上引進(jìn)一個(gè)新的狀態(tài)——警覺(jué)狀態(tài)(SF)，所有處于警覺(jué)狀態(tài)的健康個(gè)體的感染率都相同并且小于易感染態(tài)的概率。研究表明，局部意識(shí)行為可以降低疾病的傳播閾值和感染范圍[16]。Meloni等人研究個(gè)體遷移對(duì)傳染病的影響即個(gè)體為了自我保護(hù)從傳染病流行度高的地區(qū)遷移到相對(duì)安全的地區(qū)，研究表明這種行為會(huì)使傳染病更大范圍地?cái)U(kuò)散[17]。Li等人在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中引進(jìn)反饋機(jī)制即健康個(gè)體會(huì)有意識(shí)地主動(dòng)減少與鄰居感染個(gè)體接觸的次數(shù)來(lái)降低被感染的概率。研究表明，反饋機(jī)制的引入能夠減緩疾病蔓延和最終被感染個(gè)體的規(guī)模[18]。

上述文獻(xiàn)都研究了在健康個(gè)體知道傳染病后所有個(gè)體針對(duì)傳染病的采取的反應(yīng)是一致的，并且采取行為反應(yīng)的個(gè)體對(duì)傳染病的重視程度都是一樣情況下的傳染病傳播特性。但是在真實(shí)生活中每個(gè)個(gè)體的反應(yīng)是不相同的，當(dāng)個(gè)體知道有傳染病這一消息后，有些個(gè)體認(rèn)為性命攸關(guān)就非常重視，然而也有些個(gè)體認(rèn)為無(wú)關(guān)緊要就不重視傳染病，重視傳染病的易染個(gè)體也稱(chēng)為具有個(gè)體重視的易染個(gè)體。具有個(gè)體重視的易染個(gè)體一般采取一些行為來(lái)預(yù)防被感染如減少出門(mén)、戴口罩、講衛(wèi)生等。并且每個(gè)具有個(gè)體重視的易染個(gè)體對(duì)傳染病的重視度不一定相同。根據(jù)上述因素，本文在經(jīng)典的SIR模型上提出了一種無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中具有個(gè)體重視的SIR模型。引入網(wǎng)絡(luò)的基本度量參數(shù)和具有個(gè)體重視的易染個(gè)體所占的比例p以及個(gè)體重視度α，并以此建立所提模型的動(dòng)力學(xué)方程。運(yùn)用平均場(chǎng)理論方法求解所建動(dòng)力學(xué)方程，并分析所提出模型的動(dòng)力學(xué)行為。研究改進(jìn)的和標(biāo)準(zhǔn)的模型傳播閾值和分析具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例和個(gè)體重視度對(duì)傳染病傳播過(guò)程的影響。

2 基于個(gè)體重視的SIR模型

2.1 經(jīng)典的SIR模型

在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的SIR模型中，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)個(gè)體，邊表示個(gè)體之間的聯(lián)系。在SIR模型中，個(gè)體有三個(gè)基本的狀態(tài)：易染狀態(tài)（susceptible）、感染狀態(tài)（infected）和被移除狀態(tài)（removed）。經(jīng)典的SIR模型描述一類(lèi)易染個(gè)體被治愈后變成免疫狀態(tài)的傳染病，而且免疫狀態(tài)的個(gè)體不會(huì)再次被感染變成感染狀態(tài)，也不具有傳染特性。其感染機(jī)制如圖1所示。

圖1 經(jīng)典的SIR模型

其中每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，每個(gè)易感染個(gè)體如果和感染個(gè)體接觸，則易感染個(gè)體以λ的概率被感染變成感染個(gè)體，感染個(gè)體則以μ的概率被治愈變成被移除個(gè)體。在每一個(gè)給定的時(shí)刻，個(gè)體處于三種狀態(tài)之一，其中Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)分別表示在t時(shí)刻度為k的三類(lèi)個(gè)體所占群體的比例，并滿足歸一化條件：

基于平均場(chǎng)理論可得，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)隨時(shí)間t演化的非線性微分方程為：

θ(t)為定義的輔助函數(shù)，表示t時(shí)刻任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)與感染節(jié)點(diǎn)相連的概率。因此θ(t)獨(dú)立于節(jié)點(diǎn)的度，可以表示為：

其中為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的平均度數(shù)。

2.2 改進(jìn)的SIR模型

在改進(jìn)的模型中，假設(shè)在個(gè)體總數(shù)N恒定下，具有個(gè)體重視的易染個(gè)體所占的比例為p(0

（1）具有個(gè)體重視的易染個(gè)體，則以λ′的概率變成感染個(gè)體。或者不具有個(gè)體重視的易染個(gè)體則以λ的概率變成感染個(gè)體。

（2）被感染個(gè)體以概率β被治愈變成被移除個(gè)體。

改進(jìn)模型如圖2。

圖2 改進(jìn)的SIR模型

由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)是不均勻的，所以每個(gè)健康個(gè)體的鄰居感染數(shù)不同。因此，每個(gè)具有個(gè)體重視的不同度的易染個(gè)體的重視程度是不一樣的。根據(jù)無(wú)標(biāo)度的異質(zhì)性，每個(gè)具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的鄰居被感染的越多，易染個(gè)體的重視度越大，易染個(gè)體被感染的概率就越低。因此用鄰居感染數(shù)kinf和一般個(gè)體重視度α來(lái)刻畫(huà)具重視傳染病的個(gè)體的重視度。設(shè)kinf為度為k的易染個(gè)體的感染鄰居數(shù)，α為具有個(gè)體重視的易染個(gè)體了解某個(gè)鄰居被感染后的個(gè)體重視度，則無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中度為k的易染個(gè)體的個(gè)體重視度為g(α,kinf)=1-(1-α)kinf。易染個(gè)體的重視度越大越容易采取措施來(lái)降低被感染的可能性，進(jìn)而導(dǎo)致具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的感染率降低，因此具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的被感染率可以定義為：λ'=(1-g)λ=(1-α)kinfλ。

根據(jù)圖2所示的SIR傳播模型，由動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論可得Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)隨時(shí)間t演化的微分方程組為：

式 -(1-p)λkSk(t)θ(t)-p(1-α)kinfSk(t)θ(t)中，第一項(xiàng)表示度為k的不具有個(gè)體重視的易染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生新感染節(jié)點(diǎn)的密度。第二項(xiàng)表示度為k的具有個(gè)體重視的易染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生新感染節(jié)點(diǎn)的密度。βIk(t)表示感染個(gè)體以β的速率變成免疫個(gè)體的密度。

由于在傳染病傳播初期，度為k的感染個(gè)體的密度Ik(0)極小，可令I(lǐng)k(0)?0，所以傳染病的初始條件為：

綜合上述初始條件，由式（4）可得SK(t)的表達(dá)式為：

其中

式（7）兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得γ(t)的一個(gè)自洽方程為：

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，即t→∞時(shí)，有Ik(∞)=0，也即，而不失一般性β=1。因此可由式（8）可得：

定義 F[γ(∞)]為輔助函數(shù)。顯然，γ(∞)=0 為式（9）的一個(gè)平凡解，對(duì)于一種傳染病能夠在網(wǎng)絡(luò)中大范圍爆發(fā)，式（9）必須存在一個(gè)關(guān)于 γ(∞)的非平凡解，即γ(∞)≠0 ，則需滿足條件：

由式（9）和（10）可得：

式（11）簡(jiǎn)化可得傳播閾值為：

針對(duì)BA網(wǎng)絡(luò)中所有的易感染節(jié)點(diǎn)，滿足個(gè)體重視度函數(shù)：

當(dāng)α=0時(shí)，式（12）變成經(jīng)典的SIR模型傳播閾值。當(dāng) α≠0時(shí)，由于1-p+p(1-α)kinf<1，所以改進(jìn)的SIR模型的臨界閾值大于標(biāo)準(zhǔn)的SIR模型的閾值

改進(jìn)的SIR模型，傳染病的爆發(fā)程度最終為：

其中表示標(biāo)準(zhǔn)的SIR模型最終爆發(fā)程度。理論表明具有個(gè)體重視的傳染病爆發(fā)規(guī)模小于標(biāo)準(zhǔn)的SIR模型的爆發(fā)規(guī)模。

因此，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體重視的引入增大了模型中傳染病的傳播閾值，能夠有效抑制傳染病的傳播。具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例和個(gè)體重視度與傳播閾值是正相關(guān)。

3 仿真結(jié)果與分析

理論分析已經(jīng)表明考慮個(gè)體重視明顯改變了傳染病的傳播過(guò)程。為了證明理論分析的正確性。通過(guò)數(shù)值仿真分析所提的模型在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性。在傳染病傳播的初始時(shí)刻，隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為感染節(jié)點(diǎn)。所有仿真參數(shù)如下：在BA網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N=1 000，網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)m0=3，網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)時(shí)引進(jìn)的每個(gè)新節(jié)點(diǎn)的最少連邊數(shù)m=3，易染個(gè)體與感染個(gè)體相連被感染的概率λ=0.2，感染個(gè)體以β=1的概率被治愈。

實(shí)驗(yàn)1經(jīng)典的SIR模型和加入個(gè)體重視度的SIR模型比較。

在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)參數(shù) p=0，α=0時(shí)表示標(biāo)準(zhǔn)的SIR模型；當(dāng)參數(shù) p=0.1，α=0.1時(shí)則表示有個(gè)體重視的SIR模型。實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選擇一個(gè)傳播個(gè)體運(yùn)行50次仿真取平均值得到的被移除個(gè)體的密度R(t)隨時(shí)間t的變化情況和感染個(gè)體的密度I(t)隨時(shí)間t的變化情況，分別如圖3和圖4所示。

由圖3、4可以看出，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體重視引入后傳染病的傳播規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來(lái)。意味著個(gè)體的重視度可以影響傳染病的傳播，對(duì)傳染病傳播起到抑制作用。

實(shí)驗(yàn)2加入個(gè)體重視度模型中，易染個(gè)體重視度一定時(shí)。

在實(shí)驗(yàn)中，易染個(gè)體重視度一定時(shí)(α=0.1)，具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例參數(shù)分別為 p=0.1，p=0.2。實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選擇一個(gè)傳播個(gè)體運(yùn)行50次仿真取平均值得到的被移除個(gè)體的密度R(t)隨時(shí)間t的變化情況和感染個(gè)體的密度I(t)隨時(shí)間t的變化情況，分別如圖5和圖6所示。

由圖5、6可以看出，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的重視度α一定時(shí)，隨著具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例 p增大，傳染病的爆發(fā)規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來(lái)。意味著越多的人重視傳染病，傳染病就傳播的越慢。

實(shí)驗(yàn)3加入個(gè)體重視度模型中，具有個(gè)體重視的易染個(gè)體比例一定時(shí)。

在實(shí)驗(yàn)中，易染個(gè)體的規(guī)模一定時(shí)(p=0.2)，個(gè)體重視度參數(shù)分別為α=0.1，α=0.2。實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選擇一個(gè)傳播個(gè)體運(yùn)行50次仿真取平均值得到的被移除個(gè)體的密度R(t)隨時(shí)間t的變化情況和感染個(gè)體的密度I(t)隨時(shí)間t的變化情況，分別如圖7和圖8所示。

由圖7、8可以看出，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例p一定時(shí)，隨著易染個(gè)體的重視度α增加，傳染病的爆發(fā)規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來(lái)。

4 結(jié)束語(yǔ)

傳染病在傳播過(guò)程中受到人為因素的影響。為了分析個(gè)體重視度和具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例對(duì)傳染病的影響。本文提出了一種新的SIR模型，該模型充分考慮到了人們對(duì)傳染病的不同態(tài)度即有些人重視傳染病而有些人不重視傳染病和對(duì)傳染病的重視程度不一樣。利用平均場(chǎng)理論，分析了該模型在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)仿真與數(shù)值模擬，表明個(gè)體重視的引入能夠?qū)魅静〉膫鞑ニ俣群捅l(fā)的規(guī)模起到有效的抑制作用。在傳染病傳播過(guò)程中可以通過(guò)增大具有個(gè)體重視的易染個(gè)體的比例或者增加個(gè)體的重視度，來(lái)抑制傳染病的傳播。因此，在當(dāng)今信息和技術(shù)發(fā)達(dá)的社會(huì)，當(dāng)傳染病爆發(fā)時(shí)，政府部門(mén)應(yīng)該通過(guò)各種方式來(lái)引起更多人的重視和提高個(gè)體的重視度，來(lái)抑制傳染病的傳播。

圖3 BA網(wǎng)絡(luò)，R(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)1）

圖4 BA網(wǎng)絡(luò)，I(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)1）

圖5 BA網(wǎng)絡(luò)，R(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)2）

圖6 BA網(wǎng)絡(luò)，I(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)2）

圖7 BA網(wǎng)絡(luò)，R(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)3）

圖8 BA網(wǎng)絡(luò)，I(t)與t的關(guān)系（實(shí)驗(yàn)3）

[1]Pei Y Z，Liu S Y，Li C G，et al.The dynamics of an impulsive delay SI model with variable coefficients[J].Applied Mathematical Modeling，2009，33（6）：2766-2776.

[2]Zhou T，Liu J G，Bai W J，et al.Behaviors of susceptibleinfected epidemics on scale-free networks with identical infectivity Physical[J].Physical Review E Satistical Nonlinear&Soft Matter Physics，2006，74：121-137.

[3]Usaini S，Anguelov R，Garba S M.Dynamics of SI epidemic with a demographic Allee effect[J].Theoretical Population Biology，2015，106：1-13.

[4]Yang J Y，Chen Y M，Xu F.Effect of infection age on an SIS epidemic model on complex networks[J].Journal of Mathematical Biology，2016，73（5）：1-23.

[5]Wang Y，Jin Z，Yang Z M，et al.Global analysis of an SIS model with an infective vector on complex networks[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2012，12（2）：543-557.

[6]Liu W B，Zheng Q B.A stochastic SIS epidemic model in media coverage in a two patch setting[J].Applied Mathematics and Computation，2015，262：160-168.

[7]Han D，Sun M，Li D D.Epidemic process on activitydriven modular networks[J].Physical A：Statistical Mechanics and its Application，2015，432：354-362.

[8]Chen Y M，Zou S F，Yang J Y.Global analysis of an SIR epidemic model with infection age and saturated incidence[J].Nonlinear Analysis Real World Applications，2016，30：16-31.

[9]Youssef M，Scoglio C.An individual-based approach to sir epidemics in contact networks[J].Journal of Theoretical Biology，2011，283（2）：136-144.

[10]Graham M，House T.Dynamics of stochastic epidemics on heterogeneous networks[J].Journal of Mathematical Biology，2014，68（7）：1583-1605.

[11]Chen L J，Sun J T.Global stability and optimal control of an SIRS epidemic model on heterogeneous networks[J].Physic A：Statistical Mechanics and its Applications，2014，410：196-204.

[12]Li C H，Tsai C C，Yang S Y.Analysis of epidemic spreading ofan SIRS modelin complex heterogeneousnetworks[J].Communicationsin NonlinearScience&Numerical Simulation，2014，19（4）：1042-1054.

[13]Pastor-Satorras R，Vespignani A.Epidemic spreading in scale-free networks[J].Physical Review Letters，2001，86（14）：3200-3203.

[14]Huang Q，Min L Q，Chen X.Susceptible-infected-recovered models with natural birth and death on complex networks[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，2015，38（1）：37-50.

[15]Kang H，Lou Y，Chen G，et al.Epidemic spreading and global stability of a new sis model with delay on heterogeneous networks[J].Journal of Biological Systems，2015，23（4）：557-595.

[16]Liu C，Xie J R，Chen H S，et al.Interplay between the local information based behavioral responses and the epidemic spreading in complex networks[J].Chaos：An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2015，25（10）：103-111.

[17]Meloni S，Perra N，Arenas A，et al.Modeling human mobility responses to the large-scale spreading of infectious diseases[J].Scientific Reports，2011，62（1）：1-7.

[18]Li T，Liu X D，Wu J，et al.An epidemic spreading model on adaptive scale-free networks with feedback mechanism[J].Physical A Statistical Mechanics& Its Applications，2016，450：649-656.