關于根式函數的多值性探討

王振華，張為元，賀 雯

（咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西咸陽 712000）

從柯西時期開始，復變函數論已經有150年的歷史了，已經深入到了數論、微積分方程等學科，并且在實際問題中得到了廣泛的應用，其基礎內容已經成為理工科專業(yè)的必修課程。2000年，金庭枝和王長慶[1]利用幅角函數證明了初等根式函數的枝點判定定理,并得到了一個求解根式函數單值分支的方法；2006年，朱順東[2]關于函數的輻角在所給曲線上的改變量做了說明和注解；2010年，張忠誠和柳翠華[3]給出了確定多值函數單值解析分支值的步驟和方法；2015年，段輝明等[4]關于多值函數的教學提出了良好的建議；2016年，何美[5]、王金花[6]針對多值函數單值解析分支方面的計算做了歸納和總結。這些文獻都涉及到了G平面，但都沒有給出清晰準確的定義。為此，重新闡述了G平面的概念，并以根式函數為例討論了G平面的結構和應用。

1 根式函數的單值分支

定義1設E為一復數集，若對E內每一個復數z，有惟一確定的復數ω與之對應，則稱在E上確定了一個單值函數ω=f(z)(z∈E)。如對E內每一復數z，有幾個或無窮多個ω與之對應，則稱在E上確定了一個多值函數ω=f(z)(z∈E)。E稱為函數ω=f(z)的定義域。ω值的全體所成集M稱為函數ω=f(z)的值域。[7]

定義2對某個多值解析函數ω=f(z),若滿足：在z=a的充分小的一個鄰域內，作一條包圍該點的簡單閉曲線C，當z從C的某點出發(fā)，繞C連續(xù)變化一周而回到出發(fā)點時，f(z)從一個值變到另一個值，則稱此點為多值解析函數 f(z)的支點。連接f(z)全體支點的曲線稱為 f(z)在z平面上的支割線。[8]

定義3將z平面沿x負半軸割破（包括原點）所得的平面稱為G平面?？梢员硎緸?/p>

規(guī)定G平面上復數輻角主值的范圍為-π＜θ0＜π。

k可以取n個值，故一個復數z對應n個函數值，它們位于半徑為nr的圓周上，相鄰兩個函數值之間的張角為。在G平面上，動點z無法穿過支割線，也就不能繞原點z=0轉一周，函數也就不能在G內同一點取不同的函數值，即在G內就能夠分出該函數的單值分支?，F以ω= z3為例，說明怎樣分出根式函數的單值解析分支。我們令

θ0為z的輻角主值。對任意的z∈G,其輻角θ必屬于G中的一個區(qū)間。

(1)當 k=0時，此時則＜ η, 如圖1所示：

圖1 k=0時的單值分支

(2)當 k=1時，此時

θ=θ0+2π,ω=則如圖2所示：

圖2 k=1時的單值分支

(3)當k=2時，此時

θ=θ0+4π,ω=

則π＜η＜π,如圖3所示：

圖3 k=2時的單值分支

(4)當 k=3時，此時

θ=θ0+6π則如圖4所示：

圖4 k=3時的單值分支

不難發(fā)現，當k=0,3,6,9,…時對應ω平面中同一個角形區(qū)域Γ0，當k=1,4,7,10,…時也對應ω平面中同一個角形區(qū)域Γ1，當k=2,5,8,11,…時對應ω平面中同一個角形區(qū)域Γ2，我們發(fā)現對任意的z∈G，必然存在k0∈{0 ,1,2,3,…},使得當

z∈ (2k-1)π,(2k+1)π 時，ω=3z的圖像必為

00三個分支Γ0,Γ1,Γ2中的某一個。

根據上面的討論，根式函數中變量z對應的3個函數值分別分布在w平面上的3個角形區(qū)域Γk(k=0,1,2)內。每一個角形區(qū)域Γk都稱為根式函數的一個單值分支。那么，如果取一個固定的k，即選定一個固定的角形區(qū)域Γk，函數是否就是G平面到角形區(qū)域Γk的單值分支呢？

定理1在G平面上，根式函數ω=3z可以分出3個不同的單值分支函數

證明令 z=r eiθ1,z=r eiθ2,對任意的z,z∈且 z1≠z2,它們對應的函數值分別為

我們把z1≠z2分兩種情形討論：

當 r1≠r2時，顯然 wk1≠wk2,即當r1=r2,θ1≠θ2時，因為

又因為 Argz1≠Argz2,所以是定義在G平面上的單值函數。

如圖5左圖所示，z0是上的某一點，原點z=0包含在閉曲線的內部。這時穿過了負實軸。于是，當變點z從z0出發(fā)，沿正或負方向繞一周后，z0的輻角就增加或減少了2π，z的像點ωk=(nz)k就不能回到它們的原來位置了，而是如圖5中的虛線路徑所示，由一支變化到另外一支，即

因此，在包含了原點z=0的復平面上，ω=nz就不能分成n個相互獨立的單值解析分支，也就是說根式函數ω=nz在支點鄰域內無單值性。

但如果割破z平面，則函數ω=nz將不再有支點，此時只要取定一個k的值，就得到一個以Γk為值域的單葉函數（如圖5右實線圖所示）：

圖5 支點與多值性的關系

ωk這是的n個單值分支函數，其中k=0的一支稱為 zn的主值支。

2 證明的單值分支函數的解析性

定理2設

f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),z=reiθ,z∈G。如果 u(r,θ),v(r,θ)在點(r,θ)是可微的，且滿足極坐標的C-R方程：

則 f(z)在點z是可微的，并且

證明設 z=x+iy=reiθ, 則

從而

再由可得

因此可得 f(z)在點z可微且

定理3根式函數w= zn的n個單值分支wk=(zn)k(k=0,1,2,…,n-1)在G平面上是解析的。

證明對任意的 z∈ G,設 z=rei(θ0+2kπ),

這里-π＜θ0＜π。因為

所以ωk=（ zn）k這一單值分支函數的實部及虛部分別為

它們在G內皆為r,θ0的可微函數，并且

利用變換θ=θ0+2kπ,我們發(fā)現wk的實部及虛部在G內滿足極坐標的C-R方程

由定理1知wk=(zn)k在點z可微，并且

由z在G平面上的任意性可知，wk=(zn)k在G平面上處處可微，即在G平面上解析。

例 設ω= z3定義在從原點起沿負實軸割破的z平面上，并且ω(i)=-i,試求ω(-i)之值。

解因為G為從原點起沿負實軸割破的z平面，所以由定理1和定理3知，G為ω= z3的單值解析區(qū)域。設

當 z=i時，要使成立，必須k=2。所以滿足初始條件ω(i)=-i的單值解析分支為

(2)求 ω2(-i)。

因為 z=-i,所以所以

(1)由已知條件定k。

3 總結

常見的初等多值函數有根式函數、對數函數、反雙曲函數與反三角函數等，多值函數一直都是復變函數教學中的一個難點。目前多復變分析是復變函數論研究的熱點，它廣泛地應用了李群、代數幾何、拓撲學、微分幾何學和微分方程等相關學科中的方法和概念，與單復變函數有著顯著的區(qū)別。

[1]金庭枝,王長慶.多值函數的單值解析分支[J].遼寧師范大學學報(自然科學版),2000,23(2):217-21.

[2]朱順東.關于求根式函數單值解析分支上輻角的一點注記[J].安徽師范大學學報(自然科學版),2006,29(4):299-331.

[3]張忠誠，柳翠華.確定多值函數單值解析分支值的一種簡易方法[J].長春師范學院學報(自然科學版),2010,29(5):3-5.

[4]段輝明,張清華,李玲.有關多值函數的教學[J].高師理科學刊,2015（8）：60-62.

[5]何美.多值函數單值解析分支上計算函數值的一個注記[J].山西大同大學學報(自然科學版)，2016,32(4):1-2.

[6]王金花.一類多值函數的單值解析分支[J].滄州師范學院學報,2016,32(1):17-19.

[7]鐘玉泉.復變函數論(第四版)[M].北京：高等教育出版社.2013:65-85.

[8]趙志勇,薛運華.復分析(第三版)[M].北京：機械工業(yè)出版社.2006：70-76.