電動(dòng)帆改進(jìn)推力模型及深空探測(cè)性能分析*

霍明英 齊乃明 劉宇飛 曹世磊 葉炎茂

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系,哈爾濱 150001) (2.中國(guó)航天科技集團(tuán)公司錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

引言

電動(dòng)帆是由芬蘭學(xué)者Janhunen于2004年提出的一種無(wú)質(zhì)損的推進(jìn)方式[1].與太陽(yáng)帆不同的是,電動(dòng)帆的動(dòng)力來(lái)源不是太陽(yáng)光壓,而是太陽(yáng)風(fēng)帶電粒子的動(dòng)能沖力,其飛行原理示意圖如圖1所示.電動(dòng)帆由很多根長(zhǎng)而細(xì)的柔性金屬鏈所組成,這些金屬鏈通過飛行器自旋展開.空間飛行器上的太陽(yáng)能電子槍向外噴射電子,使金屬鏈?zhǔn)冀K保持在高度的正電位,這些帶電的金屬鏈會(huì)排斥太陽(yáng)風(fēng)正電粒子,從而利用太陽(yáng)風(fēng)的動(dòng)能沖力推動(dòng)空間飛行器駛向目標(biāo)方向.由于電動(dòng)帆能夠利用太陽(yáng)風(fēng)的動(dòng)能沖力飛行而不需要消耗推進(jìn)劑,因此電動(dòng)帆非常適用于長(zhǎng)期的空間飛行任務(wù)[2,3].

歐盟第七框架協(xié)議資助電動(dòng)帆項(xiàng)目組數(shù)百萬(wàn)歐元開展理論研究及原型樣機(jī)研制.美國(guó)航空航天局(NASA)馬歇爾航天中心也正在實(shí)施HERTS(太陽(yáng)風(fēng)靜電高速運(yùn)輸系統(tǒng))計(jì)劃,計(jì)劃將電動(dòng)帆應(yīng)用于太陽(yáng)風(fēng)層頂?shù)奶綔y(cè).電動(dòng)帆的飛行原理已經(jīng)經(jīng)過空間飛行測(cè)試(ESTCube-1衛(wèi)星),其原型樣機(jī)的測(cè)試將在未來(lái)的幾年內(nèi)完成(Aalto-1衛(wèi)星[4,5],如圖2所示).目前,國(guó)內(nèi)已有航天科技集團(tuán)五院502所[6,7]、北京理工大學(xué)[8]和哈爾濱工業(yè)大學(xué)[9,11]等正在開展相關(guān)的研究工作.

近年來(lái),電動(dòng)帆推力矢量數(shù)學(xué)模型方面的研究得到了相關(guān)研究團(tuán)體的關(guān)注.在電動(dòng)帆的傳統(tǒng)推力模型中,忽略了電動(dòng)帆姿態(tài)對(duì)推力標(biāo)量的影響,并假設(shè)電動(dòng)帆的推進(jìn)角為入射角的一半[12].針對(duì)此問題,本文推導(dǎo)得出一種解析形式的改進(jìn)推力模型,并與最新的多項(xiàng)式擬合改進(jìn)推力模型[13]進(jìn)行了對(duì)比.另外,為了重新評(píng)估電動(dòng)帆在深空探測(cè)中的性能,以地球至火星飛行任務(wù)為算例,分別采用傳統(tǒng)推力模型和解析改進(jìn)推力模型進(jìn)行了電動(dòng)帆軌跡優(yōu)化仿真,并以不同的特征加速度情況進(jìn)行對(duì)比分析.

圖1 電動(dòng)帆原理示意圖Fig.1 Conceptual sketch of an electric sail

圖2 電動(dòng)帆原型樣機(jī)Aalto-1試驗(yàn)衛(wèi)星Fig.2 Aalto-1 prototype test satellite of electric sail

1 電動(dòng)帆推力模型及對(duì)比

1.1 坐標(biāo)系及角度定義

本文所涉及到的參考系共三個(gè),分別是日心黃道參考系、軌道參考系和體參考系,如圖3所示.日心黃道參考系os-xsyszs的原點(diǎn)為太陽(yáng)中心,正xs軸指向歷元J2000.0時(shí)刻平春分點(diǎn)方向,正zs軸垂直于J2000.0時(shí)刻黃道面并指向黃道北極方向,ys軸與xs軸和zs構(gòu)成右手系.軌道參考系oo-xoyozo的原點(diǎn)位于電動(dòng)帆航天器質(zhì)心,正zo軸為太陽(yáng)-電動(dòng)帆航天器的矢量方向,yo軸與zo軸和日心黃道參考系中的zs軸垂直,方向指向飛行運(yùn)動(dòng)方向,xo軸與yo軸和zo構(gòu)成右手系.電動(dòng)帆體參考系ob-xbybzb的原點(diǎn)位于電動(dòng)帆航天器質(zhì)心,正xb軸沿著1號(hào)金屬鏈方向,正zb軸垂直于電動(dòng)帆工作面,并指向自旋角速度矢量方向,yb與xb和zb構(gòu)成右手系.

如圖3所示,太陽(yáng)風(fēng)入射角αn為太陽(yáng)風(fēng)入射方向zo與電動(dòng)帆回轉(zhuǎn)體軸zb之間的夾角,推進(jìn)錐角α為推進(jìn)加速度矢量a與電動(dòng)帆回轉(zhuǎn)體軸zb之間的夾角,推進(jìn)鐘角δ為推進(jìn)加速度矢量在ooxoyo平面內(nèi)分量與xo軸之間的夾角.電動(dòng)帆航天器在軌道參考系下的姿態(tài)可以通過三個(gè)角進(jìn)行描述,即φ,θ和ψ三個(gè)姿態(tài)角,由軌道參考系轉(zhuǎn)換至體參考系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換順序?yàn)閤(φ)-y(θ)-z(ψ),姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣為Abo(φ,θ,ψ).

圖3 參考系及角度示意圖Fig.3 Reference frame and angles

1.2 傳統(tǒng)推力模型

在意大利比薩大學(xué)Mengali教授提出的電動(dòng)帆傳統(tǒng)推力模型[12]中,忽略了電動(dòng)帆姿態(tài)對(duì)推力標(biāo)量的影響,即假設(shè)在電動(dòng)帆工作面與太陽(yáng)風(fēng)入射方向不垂直時(shí),推力幅值不變.實(shí)際上電動(dòng)帆與太陽(yáng)帆一樣,不只推力的方向由帆體姿態(tài)所決定,推力大小也一定程度上取決于帆體相對(duì)太陽(yáng)風(fēng)速度方向的姿態(tài),原因是當(dāng)電動(dòng)帆帆體平面相對(duì)太陽(yáng)風(fēng)粒子運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生角度變化時(shí),太陽(yáng)風(fēng)粒子與帶電金屬量的動(dòng)量交互效率將發(fā)生改變,從而最終影響推力的大小.另外,傳統(tǒng)推力模型中還假設(shè)推進(jìn)錐角α近似等于太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的一半,即α?αn/2.傳統(tǒng)推力模型中電動(dòng)帆推力矢量a在軌道參考系oo-xoyozo下可寫為:

(1)

其中a⊕為電動(dòng)帆的特征加速度,即電動(dòng)帆距離太陽(yáng)r⊕=1AU處所能產(chǎn)生的最大加速度值；κ∈[0,1]為電動(dòng)帆推力開關(guān)系數(shù),可以通過電子槍調(diào)整金屬鏈電壓來(lái)調(diào)整電動(dòng)帆整體的推力.

為了表征太陽(yáng)風(fēng)入射角對(duì)推力大小的影響,引入無(wú)量綱加速度γ,其表達(dá)式為:

γ

(2)

由等式(1)可知,電動(dòng)帆傳統(tǒng)推力模型中無(wú)量綱加速度γ1,即假設(shè)推力大小不受姿態(tài)的影響.

1.3 多項(xiàng)式改進(jìn)推力模型

為了討論太陽(yáng)風(fēng)入射角αn對(duì)推進(jìn)錐角α和推力大小γ的影響,日本學(xué)者Yamaguchi和Yamakawa[13]通過部分實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)仿真的方法,以多項(xiàng)式擬合的形式得出了太陽(yáng)風(fēng)入射角αn與推進(jìn)錐角α的關(guān)系式(等式3)和太陽(yáng)風(fēng)入射角αn與推力大小γ的關(guān)系式(等式4).意大利學(xué)者Quarta[14]在此模型基礎(chǔ)上采用間接優(yōu)化方法得出了多組優(yōu)化軌跡:

(3)

(4)

其中bk(k=0,1,…,6)和ck(k=0,1,…,6)是多項(xiàng)式擬合系數(shù),如表1所示.

表1 多項(xiàng)式擬合系數(shù)Table 1 Polynomial fitting coefficient

1.4 解析改進(jìn)推力模型

在本文作者前期的研究[15]中,以電動(dòng)帆單根帶電金屬鏈推力模型為基礎(chǔ),采用有限傅里葉級(jí)數(shù)加和方法,推導(dǎo)得出了考慮電動(dòng)帆姿態(tài)影響的推力矢量模型,在軌道參考系oo-xoyozo下的表達(dá)式為:

(5)

其中φ和θ為體參考系相對(duì)軌道系的姿態(tài)角(定義見2.1節(jié)).由姿態(tài)角角度定義可知,太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的余弦、推進(jìn)鐘角δ的正弦和余弦可以寫作如下形式:

=cosφcosθ

(6)

=sinθ/sinαn

(7)

=-cosθsinφ/sinαn

(8)

將等式(6)-等式(8)帶入等式(5),可得到以太陽(yáng)風(fēng)入射角αn和推進(jìn)鐘角δ描述的推力模型:

(9)

由圖3可知,推進(jìn)錐角α的余弦可寫成如下形式:

(10)

化簡(jiǎn)等式(10)后,可得到推進(jìn)錐角α與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的解析關(guān)系式:

(11)

參考γ的定義(等式(2)),可得到無(wú)量綱加速度γ與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的解析關(guān)系式:

(12)

1.5 推力模型對(duì)比

推進(jìn)錐角α與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系如圖4所示,上述的三個(gè)推力模型在αn∈[0°,20°]區(qū)間內(nèi)能夠很好地重合,說明傳統(tǒng)推力模型的推進(jìn)錐角假設(shè)α?αn/2在小太陽(yáng)風(fēng)入射角的情況下是適用的.但隨著太陽(yáng)風(fēng)入射角的增加,Yamaguchi得到的多項(xiàng)式改進(jìn)模型和本文得到的解析改進(jìn)模型都表現(xiàn)出了非常顯著的非線性變化行為.本文所得到的推力模型在αn=54.75°時(shí),推進(jìn)錐角α達(dá)到最大值19.47°.

無(wú)量綱加速度γ與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系如圖5所示,在兩種改進(jìn)的推力模型中無(wú)量綱加速度γ隨著太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的增大而單調(diào)減小,并在αn=90°時(shí)達(dá)到最小γ=0.5.另外,本文還對(duì)無(wú)量綱加速度徑向分量(zo軸分量)和切向分量(ooxoyo平面內(nèi)分量)進(jìn)行了對(duì)比,如圖6和圖7所示.兩種改進(jìn)推力模型的無(wú)量綱徑向加速度γr和無(wú)量綱切向加速度γt均小于傳統(tǒng)模型的估計(jì)值.另外,由圖4～圖7可知,本文的解析改進(jìn)推力模型與多項(xiàng)式改進(jìn)推力模型數(shù)值結(jié)果很接近,但本文的解析模型形式更簡(jiǎn)單.

圖4 推進(jìn)錐角α與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系Fig.4 The relationship between the thrust cone angle α and inclined angle αn

圖5 無(wú)量綱加速度γ與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系Fig.5 The relationship between dimensionless acceleration γ and inclined angle αn

圖6 徑向無(wú)量綱加速度γr與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系Fig.6 The relationship between radial dimensionless acceleration γr and inclined angle αn

2 電動(dòng)帆地球至火星軌跡優(yōu)化及對(duì)比分析

為了重新評(píng)估電動(dòng)帆在深空探測(cè)中的性能,本文以地球至火星的飛行任務(wù)為算例,分別采用傳統(tǒng)推力模型和解析改進(jìn)推力模型進(jìn)行電動(dòng)帆軌跡優(yōu)化仿真.在電動(dòng)帆航天器地球至火星軌跡優(yōu)化問題中,優(yōu)化性能指標(biāo)為飛行時(shí)間最優(yōu)；在邊界約束方面,假設(shè)電動(dòng)帆航天器在初始時(shí)刻位于地球逃逸拋物線軌跡上,且逃逸剩余能量為零,并考慮了真實(shí)星歷約束.所采用的方法為一種結(jié)合遺傳算法和高斯偽譜法的混合優(yōu)化方法[9],能夠在無(wú)任何初值猜測(cè)的情況下完成電動(dòng)帆航天器飛行軌跡的優(yōu)化,避免了單純高斯偽譜法初值賦值繁瑣的問題.

圖7 切向無(wú)量綱加速度γt與太陽(yáng)風(fēng)入射角αn的關(guān)系Fig.7 The relationship between tangential dimensionless acceleration γt and inclined angle αn

圖8 不同特征加速度下的地球-火星過渡時(shí)間Fig.8 Earth-Mars transition time with different characteristic acceleration

以不同特征加速度下電動(dòng)帆自地球至火星的過渡軌跡進(jìn)行優(yōu)化仿真,考慮的特征加速度范圍為0.5～1.1mm/s2,每個(gè)仿真之間的特征加速度間隔為0.1mm/s2,基于傳統(tǒng)推力模型和解析改進(jìn)推力模型優(yōu)化得出的飛行時(shí)間與特推力模型進(jìn)行優(yōu)化仿真,電動(dòng)帆航天器特征加速度越大,完成過渡所需要的飛行時(shí)間均越短.這說明電動(dòng)帆的推進(jìn)能力越強(qiáng),完成任務(wù)所需的飛行時(shí)間也就越短.

而兩者之間不同的是,基于電動(dòng)帆改進(jìn)推力模型優(yōu)化得出的飛行時(shí)間要大于基于傳統(tǒng)模型優(yōu)化得出的飛行時(shí)間.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因一共有兩點(diǎn):①傳統(tǒng)推力模型中忽略了姿態(tài)改變對(duì)推力加速度大小的影響,假定即使帆體平面與太陽(yáng)風(fēng)粒子速度方向不垂直時(shí),動(dòng)量交換效率依然不會(huì)減弱；②傳統(tǒng)模型中估計(jì)得出的最大推進(jìn)錐角αmax假定為35°,比改進(jìn)推力模型計(jì)算得出的最大推進(jìn)錐角αmax=19.47°大,即傳統(tǒng)推力模型高估了電動(dòng)帆的切向推進(jìn)能力.

3 結(jié)論

本文針對(duì)電動(dòng)帆傳統(tǒng)推力模型中忽略姿態(tài)對(duì)推力幅值影響的問題,在原有基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出了一種解析形式的電動(dòng)帆改進(jìn)推力模型,并與最新提出的多項(xiàng)式擬合改進(jìn)推力模型進(jìn)行了對(duì)比.對(duì)比結(jié)果顯示:①傳統(tǒng)推力模型的推進(jìn)錐角假設(shè)在小太陽(yáng)風(fēng)入射角的情況下是適用的,但隨著太陽(yáng)風(fēng)入射角的增大,估計(jì)偏差會(huì)越來(lái)越大；②兩種改進(jìn)推力模型數(shù)值結(jié)果很接近,但本文的解析改進(jìn)推力模型形式更簡(jiǎn)單.另外,為了重新評(píng)估電動(dòng)帆在深空探測(cè)中的性能,本文以地球至火星的飛行任務(wù)為算例,分別采用傳統(tǒng)推力模型和解析改進(jìn)推力模型進(jìn)行了電動(dòng)帆軌跡優(yōu)化仿真.仿真結(jié)果顯示,在相同特征加速度情況下采用改進(jìn)解析推力模型完成任務(wù)所需時(shí)間大于采用傳統(tǒng)推力模型所用時(shí)間.分析結(jié)果認(rèn)為,出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因在于傳統(tǒng)推力模型中忽略了姿態(tài)改變對(duì)推力加速度大小的影響,且高估了電動(dòng)帆所能產(chǎn)生的最大推進(jìn)角.

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