考慮含間隙與潤(rùn)滑平面機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化算法*

李貞靖 姚文莉 宋克偉

(青島理工大學(xué)理學(xué)院,青島 266000)

引言

對(duì)機(jī)械系統(tǒng)而言,間隙的存在往往是不可避免的,由于生產(chǎn)加工的精度可以產(chǎn)生間隙,機(jī)構(gòu)在長(zhǎng)時(shí)間工作中的磨損現(xiàn)象也會(huì)產(chǎn)生間隙,并且在設(shè)計(jì)機(jī)械系統(tǒng)時(shí),為了保證機(jī)構(gòu)的正常運(yùn)動(dòng),防止機(jī)構(gòu)出現(xiàn)卡死現(xiàn)象,也會(huì)刻意地在構(gòu)件之間引入合理的間隙.但是,間隙的存在會(huì)降低機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度與穩(wěn)定性,特別是間隙所帶來碰撞力,會(huì)使得機(jī)構(gòu)發(fā)生機(jī)械振動(dòng),加重運(yùn)動(dòng)副元素之間的磨損現(xiàn)象.為了降低間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的影響,通常會(huì)在構(gòu)件之間加入潤(rùn)滑液,潤(rùn)滑液的存在會(huì)使軸套與軸徑相互分離,減少構(gòu)件之間的相互碰撞與彈性變形,減低噪音.但是,分析含潤(rùn)滑的機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性比較復(fù)雜,需要把多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與流體動(dòng)力學(xué)結(jié)合起來,還需要求解非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組.

王國(guó)慶等人討論了邊界潤(rùn)滑對(duì)運(yùn)動(dòng)副的影響,在考慮邊界潤(rùn)滑條件下,基于非線性彈簧阻尼模型建立了一種接觸摩擦模型,并進(jìn)一步得到間隙機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副表面的磨損計(jì)算公式[1].師平基于含間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu),分別建立了干摩擦動(dòng)力學(xué)模型與含潤(rùn)滑的動(dòng)力學(xué)模型,系統(tǒng)地討論了不同的間隙模型對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的影響,其結(jié)果表明含潤(rùn)滑的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性更接近于理想的模型[2].國(guó)外學(xué)者Flores對(duì)含潤(rùn)滑的間隙機(jī)構(gòu)進(jìn)行了大量的研究,對(duì)模型的建立和動(dòng)力學(xué)特性的分析等都做了比較系統(tǒng)的研究[3,4].王旭鵬等人建立了一種過渡力模型,在考慮油膜潤(rùn)滑的情況下,該模型同時(shí)適用于長(zhǎng)軸與短軸兩種不同的工況[9].在采用簡(jiǎn)化算法求解間隙碰撞力方面,張勁夫等人建立了一種求解曲柄滑塊機(jī)構(gòu)間隙反力的簡(jiǎn)單算法[5];陳渭提出一種求解曲柄滑塊機(jī)構(gòu)間隙副反力的靜態(tài)間隙桿簡(jiǎn)化算法[6].這兩種算法都是基于無質(zhì)量桿模型,并且通過簡(jiǎn)化間隙角來簡(jiǎn)化計(jì)算.

以含關(guān)節(jié)潤(rùn)滑間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,本文就如何簡(jiǎn)單、高效的求解含潤(rùn)滑間隙旋轉(zhuǎn)鉸機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性,提出了一種新的思路.含間隙模型與理想模型得到的位移參數(shù)并沒有什么差別,這已經(jīng)被多位學(xué)者證明,意味可以用理想模型的位移參數(shù)代替含間隙機(jī)構(gòu)的位移參數(shù),求出間隙處的間隙矢量的大小以及其與X軸的夾角,把求出的這些運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)帶入雷諾方程,就可以求出間隙處的流體壓力,進(jìn)一步把間隙力以主動(dòng)力的形式帶入動(dòng)力學(xué)方程,得到機(jī)構(gòu)的相應(yīng)動(dòng)態(tài)特性.根據(jù)本文的思路建立Simulink仿真模型,進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的可行性與正確性.

1 力學(xué)模型

1.1 雷諾方程

對(duì)潤(rùn)滑模型而言,關(guān)節(jié)間隙處的流體壓力可以通過雷諾方程來求解,該公式可以表示為[2]:

(1)

其中,U為運(yùn)動(dòng)副元素之間的相對(duì)切向速度；h和μ1代表了潤(rùn)滑液的特性,分別表示潤(rùn)滑液的厚度與絕對(duì)黏度；p為產(chǎn)生的流體壓力,X與Z為運(yùn)動(dòng)副的法向與切向.

對(duì)于雷諾方程的求解需要大量數(shù)值計(jì)算,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,通常會(huì)把模型分為兩類,無限長(zhǎng)模型與無限短模型[3].當(dāng)旋轉(zhuǎn)鉸的長(zhǎng)度大于其半徑的2倍時(shí),可以把模型看成是無限長(zhǎng)模型,這時(shí)可以忽略在運(yùn)動(dòng)過程中潤(rùn)滑液在Z方向上的泄露,并且在受力分析時(shí),只需要研究其中點(diǎn)的受力情況.這時(shí)的雷諾方程可以簡(jiǎn)化為:

(2)

對(duì)公式(2)積分,便可以得到流體壓力,可用公式(3)表示:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中k表示為:

(8)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

通過對(duì)比分析曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在理想與含間隙的位移曲線,如圖1所示.可以看到間隙對(duì)滑塊的位移影響很小,同樣,白爭(zhēng)鋒[8]研究發(fā)現(xiàn)間隙對(duì)角位移幾乎沒有影響.所以在對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí),可以利用理想的滑塊位移與角位移來表示非理想機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性,從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

圖1 理想與含間隙的位移時(shí)間曲線Fig.1 Displacement time curve with ideal and clearance

理想的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的矢量模型如圖2所示,把矢量模型向X軸與Y軸投影,便可以得到兩個(gè)幾何約束方程:

(9)

對(duì)這兩個(gè)方程求導(dǎo)便可以得到速度約束方程:

圖2 理想矢量模型Fig.2 Ideal vector model

(10)

含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的矢量模型如圖3所示,這里用r3和θ3來表示滑塊與連桿之間的間隙.通過將矢量模型向X軸方向與Y軸方向投影,得到兩個(gè)幾何約束方程:

(11)

圖3 含間隙矢量模型Fig.3 Clearance vector model

對(duì)這兩個(gè)方程求導(dǎo),便可以得到速度約束方程:

(12)

進(jìn)一步寫成矩陣的形式:

(13)

1.3 動(dòng)力學(xué)分析

采用牛頓歐拉法建立動(dòng)力學(xué)方程,各機(jī)構(gòu)的受力分布圖如圖4所示.

圖4 各機(jī)構(gòu)受力模型Fig.4 Force model of mechanisms

曲柄受力分析:

對(duì)連桿受力分析:

對(duì)滑塊受力分析:

其中,各桿件的質(zhì)心加速度可以表示為:

通過求解上述方程,便可以得到滑塊加速度,經(jīng)過積分得到滑塊的速度與位移.通過該簡(jiǎn)化算法求出曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性,并與理想模型和干摩擦模型進(jìn)行對(duì)比分析,來驗(yàn)證該方法的可行性.

2 建立算法流程與SIMULINK仿真模型

2.1 算法流程

2.2 建立Simulink仿真模型

Simulink是基于MATLAB的一種仿真工具,具有強(qiáng)大的計(jì)算能力,可以利用用戶自定義模塊調(diào)用編寫的m文件,并且通過連線順序決定運(yùn)算的順序,本文便是基于Simulink來計(jì)算力學(xué)模型.仿真模型圖如6所示.

該仿真模型從左往右一共包含了五個(gè)Function函數(shù)模塊,Function函數(shù)通過調(diào)用編寫的m文件,以及通過連線提供給它的輸入與輸出值,便可以計(jì)算文中所提到的公式,其中每一個(gè)Function模塊的內(nèi)容如下:

圖5 算法流程圖Fig.5 Algorithm flow

圖6 仿真模型圖Fig.6 Simulation model

(3)模塊3與模塊4可以合并為一個(gè)模塊,模塊3主要是計(jì)算參數(shù)k,為計(jì)算模塊4(雷諾方程)做準(zhǔn)備,模塊4的輸入為求出的間隙處參數(shù)和參數(shù)k,調(diào)用的m函數(shù)為編寫的雷諾方程函數(shù),輸出為流體壓力Fr和Ft.該模塊對(duì)應(yīng)了算法流程的第三步,即把間隙處的運(yùn)動(dòng)參數(shù)帶入雷諾方程,求出考慮潤(rùn)滑條件下的法向力與切向力.

(4)模塊5也是最復(fù)雜的模塊,其目的是把求出的流體壓力Fr和Ft帶入到動(dòng)力學(xué)方程中,通過求解動(dòng)力學(xué)模型來驗(yàn)證該方法的可行性.

2.3 結(jié)果對(duì)比分析

根據(jù)Simulink建立的仿真模型,按照本文建立的簡(jiǎn)易算法求得的含潤(rùn)滑的間隙反力,如圖7所示；干摩擦模型得到的間隙反力,如圖8所示.

圖7 本文得到的間隙力Fig.7 The clearance force of this paper

圖8 干摩擦得到的間隙力Fig.8 The clearance force of dry friction

對(duì)比圖7與圖8可知,本模型與理想模型的間隙反力十分接近,并且與干摩擦模型相比,得到的數(shù)據(jù)并沒有太多的波動(dòng).因此,本文的方法可以用來預(yù)測(cè)間隙處的碰撞力.

通過動(dòng)力學(xué)分析得到動(dòng)力學(xué)特性,以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的加速度為例,來驗(yàn)證該方法的正確性,潤(rùn)滑模型與理想模型得到連桿角加速度,如圖9所示；干摩擦與理想模型得到的連桿角加速度,如圖10所示.潤(rùn)滑模型與理想模型得到的滑塊加速度,如圖11所示；干摩擦模型與理想模型得到的滑塊加速度,如圖12所示.通過仿真數(shù)據(jù)的對(duì)比可知,基于本文的簡(jiǎn)易算法求解的潤(rùn)滑模型,更接近于理想模型,能夠明顯地抑制機(jī)構(gòu)的振動(dòng).其結(jié)果與師平[2]和王旭鵬[9]等人得到的結(jié)論一致,說明了本文建立的簡(jiǎn)易算法模型的正確性與可行性.

圖9 潤(rùn)滑模型的連桿角加速度Fig.9 Link angular acceleration of lubrication model

圖10 干摩擦模型的連桿角加速度Fig.10 Link angular acceleration of dry friction model

3 結(jié)語

本文提供了一種新的求解含間隙潤(rùn)滑機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的簡(jiǎn)易算法,并以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,驗(yàn)證了該方法的正確性.本文的思路是首先求解理想曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,其次求解含關(guān)節(jié)間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,接下來把得到的運(yùn)動(dòng)參數(shù)帶入雷諾方程求出間隙處的流體壓力,最后把間隙力作為主動(dòng)力求解動(dòng)力學(xué)方程,得到機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性.該方法采用新的簡(jiǎn)化算法提前預(yù)測(cè)出間隙力,間隙力就可以作為主動(dòng)力去求解機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性,從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.Simulink的仿真結(jié)果表明,相比于干摩擦模型,本文建立的潤(rùn)滑模型能明顯地抑制機(jī)構(gòu)的振動(dòng),其動(dòng)力學(xué)特性更接近于理想情況,說明了該簡(jiǎn)化算法的正確性.

圖11 潤(rùn)滑模型滑塊加速度Fig.11 Slider acceleration of lubrication model

圖12 干摩擦模型滑塊加速度Fig.12 Slider acceleration of dry friction model

1王國(guó)慶,劉宏昭,孫百俊. 考慮邊界潤(rùn)滑的間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副接觸磨損. 長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)報(bào), 2002,22(6):85～88 (Wang G Q, Liu H Z, Sun B J. Contact wear of four-bar planar linkage with clearance joint under boundary lubrication.JournalofChanganUniversity, 2002,22(6):85～88 (in Chinese))

2師平,白亞瓊. 考慮關(guān)節(jié)潤(rùn)滑的平面機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析. 機(jī)械傳動(dòng), 2015,39(7):141～145 (Shi P, Bai Y Q. Dynamics analysis for planar mechanical system with joint lubricated.JournalofMechanicalTransmission, 2015,39(7):141～145 (in Chinese))

3Flores P, Ambrósio J, Claro J C P, et al. A study on dynamics of mechanical systems including joints with clearance and lubrication.MechanismandMachineTheory, 2006,41(3):247～261

4Flores P, Ambrósio J, Claro J P. Dynamic analysis for planar multi-body mechanical systems with lubricated joints.MultibodySystemDynamics, 2004,12(1):47～74

5張勁夫,許慶余,張陵. 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)間隙反力的算法及其應(yīng)用. 應(yīng)用力學(xué)報(bào), 2001,18(4):93～97 (Zhang J F, Xu Q Y, Zhang L. The algorithm for the clearance joint reaction force of slider-crank mechanism and its application.ChineseJournalofAppliedMechanics, 2001,18(4):93～97 (in Chinese))

6陳渭,于如飛,李培. 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)間隙副反力的靜態(tài)間隙桿簡(jiǎn)化算法. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2017,37(1):15～18 (Chen W, Yu R F, Li P. Stationary clearance link algorithm for solving the counter-force in the clearance revolute joint of crank slider system.JournalofBeijingInstituteofTechnology, 2017,37(1):15～18 (in Chinese))

7Pinkus O, Sternlicht B, Saibel E. Theory of Hydrodynamic Lubrication. New York:Mc Graw-Hill, 1961

8白爭(zhēng)鋒. 考慮鉸間間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性研究[博士學(xué)位論文]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011 (Bai Z F. Research on dynamic characteristics of mechanism with joint clearance[Ph.D thesis]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2011 (in Chinese))

9王旭鵬,劉更,馬尚君等. 考慮油膜潤(rùn)滑時(shí)含間隙鉸鏈機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能研究. 機(jī)械傳動(dòng), 2016,40(9):1～5 (Wang X P, Liu G, Ma S G, et al. Study on the dynamic performance of joint mechanism with considering oil film lubrication clearance.JournalofMechanicalTransmission, 2016,40(9):1～5 (in Chinese))