考慮間隙運動副的桁架單胞等效建模與分析*

張偉 劉宏利 郭翔鷹

(北京工業(yè)大學機電學院,機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

引言

航空航天事業(yè)的高速發(fā)展對太空空間站、宇航用天線等提出了越來越高的要求.運載技術的限制使得可展結構在空間任務中得到了廣泛應用,如太陽帆、太陽能電池陣和空間天線支撐機構等[1].這些結構往往具有尺寸大、重量輕、柔性大、大折疊比的特點,從而也導致機構中含有大量的鉸鏈,在星體進行姿態(tài)調整或受到外部擾動時,鉸鏈的摩擦碰撞等非線性特性嚴重影響了可展結構的支撐定位精度和動態(tài)穩(wěn)定性.在復雜構形航天器中存在著帶活動鉸連接的機構(簡稱空間機構),是一種典型的航天多鉸接機械系統(tǒng).由于加工、裝配、磨損等原因,大型網架式可展開空間結構中不可避免地有許多含間隙運動副,例如含間隙的圓柱副、移動副及同步嚙合齒輪副等.這些運動副間隙可能導致空間結構展開時的非線性振動、磨損以及結構各部分展開不同步等問題.更為嚴重的情況是可能導致運動副卡死,甚至系統(tǒng)失穩(wěn).

大型網架式可展開空間結構的顯著特點是存在大量的重復單元,所以在動力學研究的過程中可以通過對單胞性能的研究獲得整體結構的屬性.國外在上個世紀六七十年代就對運動副的結構進行建模和動力學分析,考慮了摩擦、碰撞等復雜的動力學因素.九十年代左右,麻省理工(MIT)針對大型網架式可展開空間結構進行了大量的研究,包括考慮鉸間隙、關節(jié)的非線性特征以及各種實驗論證[10-12].國內對于此類結構的研究始于上世紀末,主要在實驗和理論研究方面取得了進展.

隨著我國國家航空航天事業(yè)太空戰(zhàn)略的實施,近幾年國內對可展結構的研究又興起了一股熱潮[6].研究整體結構必須以研究單胞結構為基礎,縱觀國內外以往的研究工作,對于桁架胞元的分析分為兩種情況:一種是單獨考慮鉸關節(jié)的建模和動力學行為,這包含了最近幾十年來新發(fā)展的非光滑動力學[8-9].這種情況往往把鉸關節(jié)建模為彈簧系統(tǒng)和慣性系統(tǒng)的組合體,慣性系統(tǒng)的形狀各異,類別繁雜.另外一種是基于成熟的梁板理論,直接將單胞結構等效地看作是梁或者板,并直接給出剛度和相關參數(shù),建立動力學方程進行求解[13].這兩種情況前者對鉸關節(jié)過于孤立,分析往往和整體單胞結構沒有聯(lián)系;后者對于如何等效又過于省略.如何將這些齒輪傳動模型集成到大型網架式空間結構的動力學模型中并反映真實展開動力學特性,仍需深入研究.

本文主要研究了環(huán)形桁架天線單胞結構的等效模型,建立了含間隙運動副的結構簡化動力學模型.

1 鉸梁單元混合等效模型

典型的平面桁架結構中含有大量的鉸鏈,建立如圖1所示的鉸、梁混合的力學模型,在考慮不同的鉸鏈因素條件下,用替代法找出等效梁的剛度.

圖1 間隙鉸-梁-鉸等效模型Fig. 1 Equivalent model of joint-beam-joint considering clearance

欲研究上述模型,首先要對梁端的鉸鏈進行單獨的力學建模與分析.迄今為止,考慮鉸間隙的建模方法主要可以歸納為三種:間隙桿模型建模方法、“接觸—連續(xù)”二狀態(tài)模型建模方法和“分離—碰撞—接觸”三狀態(tài)模型建模方法.其他研究所建立的接觸碰撞模型基本上是這三種模型的延伸,如通過在鉸鏈建模中考慮摩擦力、切向粘滯阻力、斜碰撞等問題,建立更加完整的滑動副、轉動副、球面副模型.

在鉸鏈關節(jié)的分析過程中,總體來說會考慮摩擦、間隙、剛度、阻尼3種非線性動力學因素.建立如圖1所示的包含上述3種非線性特性的一維彈簧慣性系統(tǒng)模型,該模型考慮了阻尼、間隙和剛度三個因素,以及自身的慣性系統(tǒng).

圖2 間隙鉸鏈徑向的等效模型Fig. 2 Equivalent model of joint with clearance in radial direction

鉸鏈關節(jié)的動力學方程:

(1)

式中,kt1、kt3為鉸鏈受拉時恢復力中的一次、三次項系數(shù);kp1、kp3為鉸鏈受壓時恢復力中的一次、三次項系數(shù).上式可表示為表示鉸鏈等效非線性剛度kj與位移的乘積,可表示為分段函數(shù):

(2)

在現(xiàn)實問題研究中,則往往根據分段光滑的理論,研究間隙為零和間隙大于零的兩種情況,在間隙為零時只考慮彈簧和阻尼.下面對三種常見的鉸鏈情況進行分析.

1.1 綜合考慮鉸鏈的彈簧、間隙、阻尼因素

根據含鉸單元軸向力處處相等,以及軸向力與軸向變形的關系,可得:

(3)

kL為等效后的單元剛度,xL為等效后的總位移量.考慮鉸鏈間隙對結構的影響,kj即為分段光滑非線性剛度.

鉸鏈接觸力為:kj(xj±e),當xj≥e時取負號,當xj

(4)

1.2 當間隙為零時,只考慮鉸鏈的彈簧、阻尼因素

如圖1所示,有以下位移關系:

(5)

假設單元上的力是處處相等,可得:

(6)

對前兩項等式運用拉普拉斯變換,得出x1和x2之間的關系:

(7)

將上式代入到原方程得到x1和x2以及x3和x2的關系:

(8)

將這些代入到原方程就可以得到整體的力和位移關系:

(9)

s=iω,將上式分離為實部和虛部,實部對應等效剛度,虛部對應等效阻尼,兩者相關聯(lián).

(10)

無量綱:

(11)

類似于線性結構的剛度在超出了一定幅度范圍就會發(fā)生改變,鉸關節(jié)的剛度變化如下:

(12)

式中,δ是線性范圍值.

1.3 考慮鉸鏈非線性立方彈簧因素

描述函數(shù)系數(shù)對輸入輸出非線性性質的線性描述, 即為非線性元件經過傅立葉級數(shù)展開后的第一階正弦和余弦系數(shù)描述函數(shù)近似形式:

(13)

式中,描述函數(shù)的剛度系數(shù)為:

(14)

阻尼系數(shù)為:

(15)

當只考慮系統(tǒng)的立方非線性彈簧因素時,圖1中所存在的關系式是:FNL=k3xj3,k3是立方彈簧的彈性系數(shù).橫跨每個鉸關節(jié)處的位移被假定為是相等的.在鉸關節(jié)處的總力為:

F=kbxj+k3xj3

(16)

假設力沿單元是恒定的,所以有:

(17)

設單元總位移為x,位移之間的關系:x=2xj+xb,兩式消去xb,得

(18)

將xj看作是未知數(shù),解一元三次方程,唯一的實根是:

xj=B1+B2

(19)

代入消去xj得到總力和總位移的關系式:

F=kb(B1+B2)+k3(B1+B2)3

(20)

當系統(tǒng)不存在阻尼時,cq=0,公式(20)代入公式(14),得出

(21)

式中,B1、B2包括x=Asinφ,φ=ωt.

2 單胞結構等效模型

桁架是一種由桿件彼此在兩端鉸接的結構,一般是三角形的平面或空間結構,主要承受軸向力,大跨度比較常用,剛度大自重低.框架結構是由梁柱剛接或鉸接而成的承重結構,可以承受軸力、剪力和彎矩.剛性和半剛性是針對結點連接方式而言的,一般分為剛性、半剛性和鉸接.

圖3 環(huán)形桁架天線及典型胞元結構Fig. 3 Astromesh deployable antenna and typical structural unit

剛性連接的兩個桿件無相對轉角,能完全傳遞彎矩,如框架結構的梁柱節(jié)點一般為剛接;而鉸接則不限制相連桿件的相對轉角,無法傳遞彎矩,如桁架結構;半剛性節(jié)點則介于二者之間.當然剛性、半剛性、鉸接是力學簡化模型,實際結構大多為半剛性.

為研究環(huán)形桁架的動力學特性,需要對其模型進行等效,根據本研究對象的結構特點,環(huán)形桁架是由Warren桁架單胞循環(huán)重復組成的,將單胞假設為剛性連接,等效為平面板結構,只要得出板的剛度矩陣,就等于求出了環(huán)形桁架天線整體等效薄壁圓柱殼的剛度矩陣,從而為下一步建立其動力學方程和進行模態(tài)分析打下基礎.簡化后的整體的剛度矩陣如下[4]:

(22)

式中,分別是和面內拉壓有關的剛度、剪切剛度以及扭轉剛度.對于單胞結構受剪切以及彎曲情況下的受力以及等效剛度計算公式如下:

(23)

剛度系數(shù)的表達式:

(24)

在單元結構的兩端加上含間隙鉸鏈的部分,經過計算得出整體的剛度,該剛度就是等效替代后的梁桿單元剛度,然后對結構進行位移法整合成整體的結構剛度矩陣.通過等效代替法,或者采用修改結構剛度矩陣對角元素的方法把含有彈簧和阻尼器的桿件簡化為普通的梁單元.通過力和位移關系,算出單胞結構的位移,均勻化等效后,得出等效板的平面拉壓剛度.

圖4 在單胞結構中普遍存在的間隙Fig. 4 Joints with clearance in structure

建立平面鋼架單胞等效模型如下:

平面剛架單元的桿力列向量為:

平面剛架單元的桿端位移列向量為:

梁單元的單元剛度矩陣為:

梁單元的單元質量矩陣為:

根據結構對稱性原理,建立如下模型:

圖5 平面剛架單元等效模型Fig. 5 Equivalent model of plane frame elements

離散化域分為4個節(jié)點和5個單元.表1給出了單元連通性:

表1 平面剛架單元連通性Table 1 Connectivity of plane frame element

根據坐標變換矩陣,把每個單元在整體坐標系下的剛度矩陣表示出來,都是6×6的矩陣,結構有4個節(jié)點,桁架結構整體的剛度矩陣規(guī)模是12×12,根據表1所示的平面單元連通性,疊加建立結構整體剛度矩陣:

(25)

然后按照相同的方法建立起結構的質量矩陣:

(26)

根據[K]-ω2[M]=0,得出結構的前十二階固有頻率為:

λ1=λ2=0Hz,λ3=6.93Hz,λ4=8.37Hz,

λ5=10.01Hz,λ6=11.56Hz,λ7=13.1Hz,

λ8=17.29Hz,λ9=44.68Hz,λ10=59.11Hz,

λ11=77.43Hz,λ12=157.47Hz

另由平衡條件列出總體的力、位移關系式:[K]{U}={F},在方程中,U是結構節(jié)點的位移矢量,F是結構節(jié)點的載荷矢量.

{U}={u1,v1,θ1,u2,v2,θ2,u3,v3,θ3,u4,v4,θ4}

{F}= {N1,Q1,M1,N2,Q2,M2,N3,Q3,M3,N4,

Q4,M4}

如圖6(a)所示,平面桁架單胞受到橫向載荷時的邊界條件如下:

u1=v1=u2=θ1=θ2=0

Q2=Q3=M3=Q4=M4=0

N3=F1,N4=F2

(27)

引入邊界條件,運用高斯消去法求解節(jié)點位移,由于每個節(jié)點有兩個自由度,所以每個節(jié)點都在x、y方向有位移,得到各個節(jié)點的位移,下面主要運用位移法對平面內的桁架結構進行均勻化等價,等效的基本原理是假定桁架與平板在相同的力的作用下產生相同的位移:

(28)

將公式(28)代入公式(23)計算得出E1e,ν12e.

同理,圖6(b)所示的邊界條件下位移關系:

(29)

將公式(29)代入公式(23)計算得出:ν21e,E2e.

圖6(c)和(d)所示的邊界條件下位移關系:

(30)

分別表示單胞結構受到面內剪力產生的剪切變形情況和受到垂直于平面的外力產生的彎曲變形,按照邊界條件分別計算得出相應的剛度項.

A=6.67×10-4m2,E=4.5×1010Pa,L=0.8m,

Ff=3×103N,h=0.026m,I=6.27×10-5m4

得到等效后板的剛度矩陣為:

(31)

3 數(shù)值模擬

運用ANSYS有限元數(shù)據模態(tài)分析軟件對單胞結構進行分析.主要思路是首先用三維軟件Pro/E建立單胞結構的三維實體模型,然后對結構進行網格劃分,尤其是在鉸鏈關節(jié)處進行細致的網格劃分.接下來根據模型參數(shù)和邊界條件對結構進行模態(tài)分析,邊界條件分別為自由、固定和鉸支三種情況.有限元軟件對結構進行簡單處理后的三維模型如圖所示:

單胞結構的尺寸和參數(shù)如表2所示.

表2 桁架單胞尺寸參數(shù)Table 2 Dimension and parameters of truss bay

結構中不同的部件材質不同,在部分機械結構中,比如鉸關節(jié)和扭簧等結構,采用的是航空鋁材或鋼材,在建模分析時假設結構為整體碳纖維材料.具體的材料參數(shù)如表3所示.

表3 桁架單胞材料參數(shù)Table 3 Material parameter of truss bay

ANSYS有限元網格劃分是進行數(shù)值模擬分析至關重要的一步,它直接影響著后續(xù)數(shù)值計算分析結果的精確性.網格疏密是指在結構不同部位采用大小不同的網格,這是為了適應計算數(shù)據的分布特點.為了較好地反映數(shù)據變化規(guī)律,在結構鉸鏈關節(jié)處載荷變化梯度較大的部位(如應力集中處),需要采用比較密集的網格.而對于計算數(shù)據變化梯度較小的桿件部位,則劃分相對稀疏的網格:

圖7 單胞結構主要部件有限單元網格劃分Fig. 7 Finite element mesh for main parts of truss bay

在單胞的一側豎桿兩端施加邊界條件,分別為固定、鉸支和自由三種情況,其他位置均為自由狀態(tài).得出單胞結構在固定、鉸支、自由三種情況下的前6階固有頻率:

圖8 單胞結構在不同邊界條件下的固有頻率Fig. 8 Natural frequency of elements at different boundary conditions

依據上圖中得出的頻率數(shù)據,分析得出,在固支邊界條件下結構的固有頻率大于鉸支邊界條件下的結構固有頻率,鉸支邊界條件下的結構固有頻率大于自由邊界條件下的結構固有頻率.

下面將運用ANSYS模擬出的振動頻率與解析結果做對比,結果表明桁架結構的前12階固有頻率基本吻合.如圖9所示.

圖10列出了在鉸支邊界條件下桁架結構的前6階振動模態(tài)圖,依次對應的振動形式是:(a)縱向振動;(b)橫向振動;(c)扭轉振動;(d)彎曲振動;(e)彎扭組合;(f)縱向振動和彎曲振動組合.鉸鏈關節(jié)和對角梁所受到的應力相對于其他部件而言比較集中,從而證明運動副間隙對空間結構展開動力學特性的影響不容忽視.

圖9 單胞結構前12階固有頻率解析解與自由狀態(tài)下數(shù)值解Fig.9 Analytic solution of natural frequencies for first twelve orders of truss bay and numerical solutions under free condition

圖10 鉸支邊界條件下單胞結構前6階振型Fig. 10 First six-order mode shapes of truss bay under hinged condition

4 結論

本文對大型網架式可展開空間結構的單胞進行了建模與分析,把Warren桁架單胞結構等效成板結構進行分析和研究.首先考慮桁架鉸鏈的間隙、接觸、碰撞等因素,并對這些因素導致的非線性剛度和阻尼進行了研究.基于該等效模型利用位移法得到含鉸鏈可展桁架單胞結構的等效剛度矩陣,進而建立動力學模型.結論是由于鉸鏈關節(jié)的存在,結構的整體剛度降低,柔性增加.

通過運用ANSYS分析軟件對單胞結構在不同邊界條件下的固有頻率和振動模態(tài)進行了分析,通過數(shù)值模擬和解析解的固有頻率對比,發(fā)現(xiàn)二者前12階固有頻率基本吻合.在不同邊界條件下,結構的固有頻率不同.鉸鏈關節(jié)存在應力集中問題,所以針對含間隙鉸鏈的桁架單胞結構以及運動狀態(tài)的分析具有非常重要的實際意義.

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