含間隙齒輪碰振系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)分析*

張思進(jìn) 王緊業(yè) 文桂林

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410082)

引言

非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)以其表現(xiàn)出的與光滑系統(tǒng)截然不同的動(dòng)力學(xué)特性而備受學(xué)者關(guān)注.其中,齒輪系統(tǒng)就是典型的分段線彈性碰振系統(tǒng),具有非常復(fù)雜的非光滑動(dòng)力學(xué)特性.眾所周知,齒輪系統(tǒng)是各類機(jī)械設(shè)備的主要傳動(dòng)裝置,齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性直接影響著機(jī)械設(shè)備的工作穩(wěn)定性能和可靠性,因此研究齒輪系統(tǒng)碰振動(dòng)力學(xué)意義重大.

王建平[1]等人以含有動(dòng)態(tài)剛度、傳遞誤差和齒側(cè)間隙的直齒輪系統(tǒng)為研究對(duì)象,齒側(cè)間隙擬合成3次多項(xiàng)式的形式,分析齒輪系統(tǒng)在參數(shù)激勵(lì)、內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)共同作用下的組合共振特性.Natsiava[2]等人研究了具有時(shí)變系數(shù)及弱非線性特性的齒輪副系統(tǒng),運(yùn)用經(jīng)典的攝動(dòng)分析方法,消去久期項(xiàng)確定了周期解的存在,并驗(yàn)證了周期解的穩(wěn)定性.祁常君等人[3]研究了齒側(cè)間隙和隨機(jī)齒側(cè)間隙兩種情況對(duì)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響.張晨旭[4]等將間隙分段函數(shù)擬合為光滑函數(shù),對(duì)比了擬合后齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)與原非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.有關(guān)多自由度齒輪系統(tǒng)的更多文獻(xiàn)見(jiàn)[5-9],這些文獻(xiàn)更多的是用數(shù)值模擬或擬合多項(xiàng)式方法來(lái)處理分段函數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響,而從非光滑動(dòng)力學(xué)理論的高度來(lái)研究齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的工作相對(duì)較少.

本文將齒輪系統(tǒng)中的間隙函數(shù)直接視為分段線性函數(shù),不做多次項(xiàng)擬合處理,因而能更好反應(yīng)齒輪系統(tǒng)的實(shí)際嚙合狀況.通過(guò)拓展Melnikov方法使其適用于分段連續(xù)函數(shù),并借助該方法分析了系統(tǒng)全局異宿軌道分岔的條件.然后,求得每個(gè)分段方程的解析通解并以切換面作為Poincaré截面,進(jìn)一步建立了分段光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré映射.通過(guò)對(duì)組合映射的分析,確定了系統(tǒng)周期碰振運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.最后,運(yùn)用數(shù)值方法模擬了阻尼,彈簧剛度及外部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)周期解及復(fù)雜混沌運(yùn)動(dòng)的影響.

1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

假定齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)軸為剛性且考慮支撐軸的扭振,建立如圖1所示一個(gè)等效的主動(dòng)輪單自由度簡(jiǎn)化模型,主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等特性等效為質(zhì)塊M,與從動(dòng)輪嚙合時(shí)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)均發(fā)生改變(從動(dòng)輪未給出),這里僅分析主動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).質(zhì)量為M的主動(dòng)輪由等效剛度系數(shù)為K1的線性彈簧和等效阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接于支撐板,同時(shí)受簡(jiǎn)諧激力PcosΩτ的作用在水平方向移動(dòng).以輪齒之間的間隙中點(diǎn)建立坐標(biāo)系,當(dāng)質(zhì)量塊的位移等于B時(shí),將會(huì)與剛度為K2的彈簧(右邊)接觸即齒輪開(kāi)始嚙合,一段時(shí)間后嚙合開(kāi)始分離,然后質(zhì)塊M位移等于-B時(shí)再與剛度為K2的彈簧(左邊)接觸,如此反復(fù)嚙合運(yùn)動(dòng).

圖1 含間隙彈性約束齒輪系統(tǒng)嚙合的簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of restrain gear system with clearance

圖示主動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示如下：

(1)

式中：

(2)

對(duì)方程(1)和(2)進(jìn)行無(wú)量綱化處理,形式如下：

(3)

(4)

因此,可得:

(5)

圖2 分段函數(shù)表達(dá)式Fig.2 Expression of the piecewise function

圖2表示齒輪副嚙合接觸前后引起的輪齒間彈性力的變化過(guò)程.可見(jiàn),齒輪系統(tǒng)的嚙合過(guò)程是典型的分段光滑動(dòng)力學(xué)行為,會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的倍周期分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

2 異宿軌道Melnikov全局分析方法

這里研究的齒輪嚙合系統(tǒng)中含有分段函數(shù),導(dǎo)致Melnikov方法不能很好的應(yīng)用于非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)當(dāng)中.因此,必須對(duì)Melnikov函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的拓展以適應(yīng)非光滑系統(tǒng).首先將系統(tǒng)(3)的未擾系統(tǒng)(令ε=0)重新整理為如下形式：

(6)

這里,分段Hamilton函數(shù)可以表達(dá)為如下形式：

當(dāng)x≤-b時(shí),分段系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

(7)

當(dāng)|x|

(8)

當(dāng)x≥b時(shí),分段系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

(9)

通過(guò)計(jì)算可知,系統(tǒng)(6)存在著三個(gè)平衡點(diǎn),其中(0,0)為中心型,(±βb/(1+β),0)為鞍點(diǎn)型.因此,系統(tǒng)(6)存在著如圖 3所示的分段非光滑異宿軌道.

圖3 未擾異宿軌道示意圖Fig.3 Heteroclinic orbit of the unperturbed system

由圖3知系統(tǒng)的非光滑異宿軌道具有對(duì)稱的特性,這里只考慮y>0的情況.因此,分段形式的異宿軌道表達(dá)式如下：

當(dāng)x≤-b時(shí),

(10)

當(dāng)|x|

(11)

當(dāng)x≥b時(shí),

(12)

上述3段非光滑分段異宿軌道把鞍點(diǎn)(±βb/(1+β),0)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形鏈接在一起如圖 4,ε表示小的數(shù)量級(jí).系統(tǒng)中的異宿軌道是接下來(lái)要研究的主要問(wèn)題.

圖4 擾動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形Fig.4 Stable and unstable mainfold of perturbed system

(13)

(14)

假設(shè):

(15)

其導(dǎo)數(shù)在光滑條件下成立(即離開(kāi)切換面時(shí)),

(16)

由此我們可以定義以下能量函數(shù)：

(17)

因此,可得:

O(ε2)

(18)

其中,

由參考文獻(xiàn)[10]可得分段光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)為：

(19)

依據(jù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Melnikov理論[11-12],系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件為：

(20)

方程(20)定義的臨界線將參數(shù)區(qū)域(εf,ω)分為周期區(qū)域和非周期區(qū)域如圖5.其中,位于水平線(f=0)下方的取值表示外激勵(lì)力的方向與規(guī)定的正方向相反.當(dāng)εf的取值位于分界線的非周期區(qū)域時(shí),系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)；εf的取值位于分界線的周期區(qū)域時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)呈現(xiàn)出有規(guī)律的周期特性.為了驗(yàn)證上述結(jié)論,這里選取分別位于周期區(qū)域的A點(diǎn)、C點(diǎn)和位于非周期區(qū)域的B和D點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值仿真,并逐一列出了四個(gè)點(diǎn)的相圖,如圖6所示.

圖5 全局異宿分岔的參數(shù)域Fig.5 Parametric regions of global heteroclinic bifurcation

圖6 臨界線取點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相圖Fig.6 Phase portrait of the points above/under the critical line

改變外激勵(lì)頻率和外激勵(lì)力的取值,觀察齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.從圖6((a)-(d))四幅圖中可以得知：A點(diǎn)取值ω=0.85,f=2.6時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)出單倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；改變頻率和激勵(lì)力的取值為ω=0.6,f=0.3,(b)相圖表明此時(shí)系統(tǒng)處于復(fù)雜的混沌狀態(tài)；然而,當(dāng)位于C點(diǎn)處的取值為ω=1.36,f=0.4時(shí),相圖(c)表明系統(tǒng)處于四倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；頻率進(jìn)一步增加時(shí),D點(diǎn)處的相圖最終通向了混沌運(yùn)動(dòng)如圖(d).可見(jiàn),參數(shù)ω,f發(fā)生變化時(shí),齒輪系統(tǒng)表現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的規(guī)律.

3 周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

3.1 分段方程的解析通解

方程(3)在各分段條件下的解析解[13-14]如下：

x(t)= e-μ(t-t0)[c1cosη(t-t0)+c2sinη(t-t0)]+

Acosω(t+t0)+Bsinω(t+t0)

(21)

e-μ(t-t0)(-μc1+ηc2)cosη(t-t0)-

e-μ(t-t0)(ηc1+μc2)sinη(t-t0)

(22)

c1=b-Acost0-Bsint0,

c2=(y0+Aωsint0-Bωcost0+μc1)/η.

Ccos(ωt+t1)+Dsin(ωt+t1)

(23)

(24)

其中,

c3=x1-Ccost1-Dsint1-βb/(1+β)

x≤-b時(shí)與上述情況類似,這里不再給出詳細(xì)的通解表達(dá)式.

3.2 Poincaré映射及穩(wěn)定性分析

將分段解的表達(dá)式結(jié)合起來(lái),利用區(qū)域與區(qū)域間的邊界條件,即可建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射關(guān)系[15-16],從而得到系統(tǒng)的周期解進(jìn)而分析其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.首先,我們構(gòu)造了質(zhì)量塊M與右邊彈簧的映射關(guān)系,P1表示物塊M與右邊彈簧發(fā)生碰撞時(shí)的接觸狀態(tài),P2表示物塊M與右邊彈簧碰撞完成后的脫離狀態(tài).

圖7 切換面及基本映射關(guān)系圖Fig.7 Relationship between witching planes and basic mappings

映射關(guān)系P1可以由式(21)和(22)構(gòu)造:

e-μ(t-t0)[c1cosη(t-t0)+c2sinη(t-t0)]+

Acosω(t+t0)+Bsinω(t+t0)-b=0

(25)

e-μ(t-t0)(-μc1+ηc2)cosη(t-t0)-

e-μ(t-t0)(ηc1+μc2)sinη(t-t0)

(26)

映射關(guān)系P2可以由式(23)和(24)構(gòu)造:

Ccos(ωt+t1)+Dsin(ωt+t1)-b=0

(27)

(28)

同理可以得到質(zhì)量塊M與左邊彈簧的映射關(guān)系P3和P4以及映射表達(dá)式,這里不再詳細(xì)列出.

因此Poincaré映射可以表示為：

DP=DP1·DP2·DP3·DP4

(29)

為了討論此新系統(tǒng)周期碰振運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,我們還需要計(jì)算Poincaré映射P在不動(dòng)點(diǎn)處的Jacobi矩陣.依據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,其線性化矩陣可以由下面的表達(dá)式得到(因表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜,本文略去詳細(xì)結(jié)果)：

(30)

根據(jù)(30)式在不動(dòng)點(diǎn)處的特征根,我們可以得到系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.數(shù)值仿真得到質(zhì)量塊M與左、右邊彈簧接觸和外激勵(lì)共同作用下的整體運(yùn)動(dòng)特性見(jiàn)下圖.

圖8 雙邊碰振時(shí)系統(tǒng)的周期1相圖Fig.8 Period-1 phase portrait of bilateral impact

圖9 雙邊碰振時(shí)系統(tǒng)的周期4相圖Fig.9 Period-4 phase portrait of bilateral impact

圖10 全局混沌運(yùn)動(dòng)相圖Fig.10 Global phase diagram of chaotic motion

取值β=0.8及間隙b=1不變,阻尼μ=0.32時(shí)可以得到質(zhì)量塊M與左右兩邊的彈簧發(fā)生碰撞,齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)如圖8所示；減小阻尼值,當(dāng)阻尼位于μ=0.24附近時(shí)相圖變?yōu)閳D9所示的閉合曲線,系統(tǒng)由穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱朔€(wěn)定的周期四運(yùn)動(dòng)；阻尼值繼續(xù)減小到0.13,此時(shí)平面相圖變成了比較雜亂的曲線,齒輪系統(tǒng)已經(jīng)由穩(wěn)態(tài)狀態(tài)進(jìn)入了混沌響應(yīng)特性.由上述分析可知,適當(dāng)?shù)目刂谱枘嵯禂?shù)μ的值,可以避免齒輪系統(tǒng)出現(xiàn)多周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的情形.

4 結(jié)論

建立齒輪副主動(dòng)輪的單自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型,并將齒輪系統(tǒng)中的間隙函數(shù)視為分段線性函數(shù),在此基礎(chǔ)上研究含間隙齒輪系統(tǒng)碰振的全局特性及周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,更好地反應(yīng)齒輪的實(shí)際嚙合狀況.

(1)通過(guò)拓展Melnikov方法使其適用于分段連續(xù)函數(shù),并借助該方法分析了系統(tǒng)異宿軌道的全局運(yùn)動(dòng),得到了全局異宿軌道分岔的條件.

(2)建立分段非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré映射,分析了系統(tǒng)的簡(jiǎn)單周期碰振運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.

(3)運(yùn)用數(shù)值方法計(jì)算分岔圖中不同區(qū)域參數(shù)對(duì)應(yīng)的相圖.得到系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌線,驗(yàn)證Melnikov方法分析分段非光滑系統(tǒng)的有效性.

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