直齒行星齒輪動(dòng)力學(xué)建模與分析研究*

潘博 孫京 于登云 胡華君,3

(1.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094) (2.中國航天科技集團(tuán)公司,北京 100048) (3. 北京衛(wèi)星制造廠, 北京 100094)

引言

行星齒輪由于具有體積小、重量輕、傳動(dòng)比大、效率高等特點(diǎn),在空間機(jī)構(gòu),尤其是星球車車輪[1]、空間機(jī)械臂[2]中得到了廣泛的應(yīng)用.全面、系統(tǒng)地對(duì)行星齒輪的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析,是研究這些空間機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ).

行星齒輪的動(dòng)力學(xué)研究中,大多數(shù)問題都可以參照齒輪系的動(dòng)力學(xué)分析方法進(jìn)行分析,如嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙的描述等.不同的是,行星齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且存在過約束,對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究時(shí)必須考慮多個(gè)構(gòu)件或運(yùn)動(dòng)副的彈性,因此,行星齒輪的建模、仿真更為困難.

根據(jù)建模方法和考慮因素的不同,可將行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型劃分為有限元模型和集中參數(shù)模型[3].通常有限元模型比集中參數(shù)模型的求解精度高,但運(yùn)算量較大,不利于動(dòng)態(tài)分析和實(shí)時(shí)仿真.集中參數(shù)模型是將行星傳動(dòng)的各個(gè)構(gòu)件簡化為集中質(zhì)量,將各構(gòu)件之間以及構(gòu)件與殼體之間的連接簡化為彈簧-阻尼器等,從而使行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等效為典型的多自由度彈簧-質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng),更便于實(shí)時(shí)求解和動(dòng)態(tài)分析.

動(dòng)力學(xué)建模的目標(biāo)是以最簡單的表達(dá)形式來正確地描述系統(tǒng)中最重要的物理現(xiàn)象.集中參數(shù)模型物理概念清晰、表達(dá)簡單,且適于動(dòng)態(tài)分析和仿真計(jì)算.因此,本文采用集中參數(shù)模型對(duì)行星齒輪進(jìn)行建模,以簡化模型,忽略次要因素,分析其動(dòng)力學(xué)特性.

1 行星齒輪純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)一般模型

本文所研究的行星齒輪,針對(duì)直齒嚙合,所以軸向載荷很小,可以忽略.另外,軸承支承剛度較大,由Kahraman[4]通過對(duì)行星齒輪固有模態(tài)計(jì)算結(jié)果的比較分析可知,當(dāng)支承剛度與輪齒嚙合剛度之比大于10時(shí),可以忽略行星齒輪中軸承支承剛度的影響.并且由于關(guān)節(jié)中傳動(dòng)系統(tǒng)主要任務(wù)是承擔(dān)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力的傳遞,而結(jié)構(gòu)載荷主要由殼體和軸承承擔(dān),傳動(dòng)系統(tǒng)只占結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的很小一部分.因此,這里可以只考慮行星齒輪扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)特性.

本文在Kahraman研究成果的基礎(chǔ)上,在時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合誤差的表示方法上進(jìn)行改進(jìn),采用純扭轉(zhuǎn)集中參數(shù)模型進(jìn)行行星齒輪的動(dòng)力學(xué)建模,如圖1所示.

根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn),首先給出行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型的基本前提假設(shè):(1)假設(shè)每個(gè)齒輪均為剛體,輪齒的柔性由一個(gè)具有時(shí)變剛度的彈簧模型模擬,作用于齒輪嚙合線上；(2)假設(shè)行星架和每個(gè)齒輪僅沿扭轉(zhuǎn)方向運(yùn)動(dòng),即僅有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；(3)假設(shè)行星架和每個(gè)齒輪的偏心誤差和圓度誤差較小,可以忽略其影響；(4)行星架扭轉(zhuǎn)剛度較大,忽略行星架的扭轉(zhuǎn)柔性；(5)假設(shè)各齒輪支承剛度很大,忽略其柔性的影響.

圖1 行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamical model of planetary gear

在此基礎(chǔ)上,可以得到行星齒輪的純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)一般方程[5]如下,對(duì)于太陽輪s:

(1)

其中,Js為太陽輪繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θs為太陽輪相對(duì)慣性坐標(biāo)系繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角；kspi為太陽輪與第i個(gè)行星輪之間的時(shí)變嚙合剛度,其具體表達(dá)見3節(jié)；cspi為太陽輪與第i個(gè)行星輪之間的嚙合阻尼,其具體表達(dá)參見文獻(xiàn)[6]；f(*,*)為間隙函數(shù),其具體表達(dá)參見文獻(xiàn)[7]；δspi為太陽輪與第i個(gè)行星輪之間嚙合線上的相對(duì)位移；rbs為太陽輪的基圓半徑；τm為驅(qū)動(dòng)力矩；n為行星輪個(gè)數(shù).

對(duì)于行星輪pi:

(i=1,2,…,n)

(2)

其中,Jp為行星輪繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θpi為行星輪相對(duì)行星架的轉(zhuǎn)角；krpi為內(nèi)齒輪與第i個(gè)行星輪之間的時(shí)變嚙合剛度；crpi為內(nèi)齒輪與第i個(gè)行星輪之間的嚙合阻尼；δrpi為內(nèi)齒輪與第i個(gè)行星輪之間嚙合線上的相對(duì)位移；rbp為行星輪的基圓半徑.

太陽輪與第i個(gè)行星輪之間以及內(nèi)齒圈與第i個(gè)行星輪之間在嚙合線方向的相對(duì)位移,如式(3)和(4)所示:

δspi=rbsθs+rbpθpi-rcθccosαspi-espi

(3)

δrpi=rbpθpi-rbrθr+rcθccosαrpi-erpi

(4)

其中,rc為行星架有效半徑；rbr為內(nèi)齒輪的基圓半徑；θc為行星架相對(duì)慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角；αspi和αrpi分別為太陽輪與第i個(gè)行星輪之間和內(nèi)齒輪與第i個(gè)行星輪之間的嚙合角；espi和erpi分別為太陽輪與第i個(gè)行星輪之間以及內(nèi)齒圈與第i個(gè)行星輪之間的嚙合誤差,其具體表達(dá)見4節(jié).

在不考慮齒輪變位的情況下,齒輪的分度圓壓力角和嚙合角相同,按國標(biāo)中對(duì)直齒輪嚙合的規(guī)定:

αs=αpi=αspi=20°

(5)

其中αs和αpi分別為太陽輪和第i個(gè)行星輪的分度圓壓力角.

由rc=rs+rpi,得:

rccosαspi=rscosαpi+rpicosαspi

=rbs+rbpi

(6)

因此,δspi和δrpi可簡化為:

δspi=rbs(θs-θc)+rbpi(θpi-θc)-espi

(7)

δrpi=rbpi(θpi-θc)+rbr(θc-θr)-erpi

(8)

δrpi=rbpi(θpi-θc)+rbrθc-erpi

(9)

對(duì)行星架c,有:

(10)

同理,可化簡為:

(rbr-rbpi)=-τL

(11)

其中,Jc為行星架繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mpi為行星輪質(zhì)量；τL為負(fù)載力矩.

將式(1～11)所示動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行組合,可得動(dòng)力學(xué)方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式:

(12)

其中,Θ=[θs,θp1,θp2,θp3,θc]T,J為常值對(duì)角慣量矩陣,C和K為常值阻尼矩陣和時(shí)變剛度矩陣,f為間隙函數(shù)向量,F包括電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩、負(fù)載力矩以及由傳動(dòng)誤差構(gòu)成的偽激勵(lì)力矩.

2 時(shí)變嚙合剛度的求解

對(duì)于嚙合剛度的計(jì)算有多種方法,主要包括經(jīng)典材料力學(xué)和彈性力學(xué)方法、有限元法[8]、經(jīng)驗(yàn)公式法[9,10]和試驗(yàn)測(cè)試法[11]等.本節(jié)主要采用ISO標(biāo)準(zhǔn)提供的經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)嚙合剛度進(jìn)行估算.Vladimír Moravec和Tomá? Havlík[12]分別利用ISO標(biāo)準(zhǔn)提供的經(jīng)驗(yàn)公式和有限元方法對(duì)齒輪的嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,發(fā)現(xiàn)二者的結(jié)果相差不超過15%,可見ISO標(biāo)準(zhǔn)提供的經(jīng)驗(yàn)公式,在一定程度上可以反映齒輪真實(shí)的剛度值.

此外,直齒輪嚙合剛度存在時(shí)變性,其原因[13]有兩個(gè):一是單對(duì)輪齒在作用線不同的嚙合位置的嚙合剛度變化；二是參加嚙合的齒對(duì)數(shù)的變化.因此,對(duì)于直齒行星齒輪的建模,要正確描述這種嚙合剛度的時(shí)變性.Al-shyyab A等[14]、Hbaieb R等[15]和王世宇等[3]根據(jù)直齒輪嚙合剛度的這一特點(diǎn),忽略單對(duì)輪齒嚙合剛度的變化,假設(shè)其符合矩形波的變化規(guī)律.他們將時(shí)變嚙合剛度看作時(shí)間的函數(shù),并假設(shè)矩形波的周期恒定.這種描述方法,在分析行星齒輪穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的固有特性時(shí)是有效的.但在啟動(dòng)或制動(dòng)階段,嚙合周期是變化的,時(shí)變嚙合剛度的恒定周期函數(shù)形式將不能表征真實(shí)的運(yùn)動(dòng)情況.對(duì)于空間機(jī)構(gòu),出于穩(wěn)定性的考慮,要限制關(guān)節(jié)電機(jī)的帶寬,通常機(jī)械臂關(guān)節(jié)存在較長時(shí)間的加減速過程；對(duì)于工業(yè)機(jī)器人,提高工作效率使得機(jī)械臂運(yùn)轉(zhuǎn)速度加快,需要頻繁變化臂桿姿態(tài),這也導(dǎo)致機(jī)械臂的加減速過程更為突出.而將時(shí)變嚙合剛度視為時(shí)間的定周期函數(shù),顯然無法體現(xiàn)加減速過程中的嚙合剛度變化情況.此外,矩形波的形式忽略單對(duì)輪齒嚙合剛度的變化,因此與真實(shí)的嚙合剛度曲線的變化形式也存在差異.本文采用時(shí)變嚙合剛度的表達(dá)形式.首先,參照張建云[16]的方法,用二次曲線擬合單對(duì)齒的嚙合剛度,并經(jīng)過疊加求得直齒輪嚙合剛度的數(shù)學(xué)表達(dá)式,這樣表達(dá)比矩形波更為精確.然后,將嚙合剛度假設(shè)為行星輪轉(zhuǎn)角的周期函數(shù),即嚙合位置的函數(shù)(見圖2).此時(shí),嚙合周期為行星輪齒數(shù)的倒數(shù),即在任何轉(zhuǎn)速下均為常數(shù).因此,有效地解決了上述表示形式在加減速過程中嚙合剛度的描述問題.最后,利用Fourier級(jí)數(shù)將表達(dá)式展開,如圖3所示,從而簡化了計(jì)算,易于工程應(yīng)用.

圖2 以行星輪轉(zhuǎn)角表示的時(shí)變嚙合剛度曲線Fig.2 Time-varying meshing stiffness curve expressed in terms of planet rotation angle

圖3 新的時(shí)變嚙合剛度模型的Fourier展開形式Fig.3 Fourier expansion of a new time-varying meshing stiffness model

具體作法是將時(shí)變嚙合剛度表示為均值與波動(dòng)值相加的形式:

(13)

這里θpi為行星輪相對(duì)慣性坐標(biāo)系繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角.

這時(shí),時(shí)變嚙合剛度的周期為一恒值,它只和行星輪的齒數(shù)zp有關(guān):

(14)

其中,pbp為行星輪基圓齒距,rbp為行星輪基圓半徑,mp為行星輪模數(shù),αp為行星輪分度圓壓力角.

將時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)成分進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開,得:

(15)

其中:

(16)

(17)

(18)

n=1,2,3,…

式中θ0為時(shí)變嚙合剛度的初始相位.

3 嚙合誤差的描述

對(duì)于綜合嚙合誤差的描述來說,王世宇[3]、孫智民[6]等將嚙合誤差假定為頻率為嚙頻的正弦波.Jia等[17]將嚙合誤差分為幾何誤差和節(jié)距誤差兩部分,并分別假設(shè)為齒輪嚙合角和齒輪轉(zhuǎn)角的三次諧波函數(shù)之和.這兩種描述方式的本質(zhì)是一致的,都是利用Fourier級(jí)數(shù)的方式對(duì)嚙合誤差進(jìn)行擬合,只是選取的截?cái)嗾`差不同.

本節(jié)主要分析嚙合誤差對(duì)行星齒輪整體動(dòng)力學(xué)特性影響的趨勢(shì).因此為簡化計(jì)算,這里采用前者的描述方法.此外,與時(shí)變嚙合剛度的表示方法類似,假設(shè)嚙合誤差是行星輪轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)[18],則太陽輪與行星輪之間的動(dòng)態(tài)嚙合誤差為:

espi=Espisin(zpθpi+?spi) (i=1,2,…,n)

(19)

內(nèi)齒圈與行星輪之間的動(dòng)態(tài)嚙合誤差為:

erpi=Erpisin(zpθpi+?spi+?sr)

(i=1,2,…,n)

(20)

其中,θpi為行星輪相對(duì)慣性坐標(biāo)系繞其旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角,zp為行星輪的齒數(shù),n為行星輪個(gè)數(shù).

由行星齒輪的安裝原理,行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈之間的相位關(guān)系可表示如下:

1)第i個(gè)行星輪與太陽輪嚙合的初相位:

(21)

2)第i個(gè)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合的初相位:

(22)

3)第i個(gè)行星輪內(nèi)、外嚙合之間的相位差:

(23)

其中zs和zr分別為太陽輪和內(nèi)齒輪的齒數(shù).

根據(jù)正弦函數(shù)的周期性特點(diǎn),得:

(24)

和

(25)

4 計(jì)算結(jié)果與分析

通常,對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的振動(dòng)特性研究,采用量綱歸一化的方法即無量綱化的方法.這樣可以不用去考慮具體的單位或物理意義,使得數(shù)學(xué)求解和分析更為方便；但為了從物理概念或力學(xué)意義角度分析問題,還需將計(jì)算完的結(jié)果轉(zhuǎn)換回來.此外,學(xué)者們常通過引入時(shí)間尺度和位移尺度來消除剛體位移,從而方便對(duì)模型的求解以及振動(dòng)特性的分析,這同樣是為了數(shù)學(xué)上求解的方便,而缺少物理意義.本節(jié)采用動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差來研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,不僅消除了剛體位移,從而方便模型求解和振動(dòng)特性的研究,又具有明顯的物理意義,方便從真實(shí)概念角度分析系統(tǒng).

這里以大增益比例環(huán)節(jié)來模擬電機(jī)等動(dòng)力源的恒轉(zhuǎn)速動(dòng)力學(xué)特性.由于負(fù)載的波動(dòng)勢(shì)必影響電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性,以大增益比例環(huán)節(jié)來模擬電機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性,可以實(shí)現(xiàn)近似的恒定轉(zhuǎn)速,實(shí)際上與真實(shí)工況更為相近,因此可以認(rèn)為這種假設(shè)是合適的.精細(xì)時(shí)程積分法相對(duì)吉爾法等算法,具有高效、高精度和無條件穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)[19,20].為消除系統(tǒng)存在剛體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的剛度矩陣奇異性,李偉東等[21]將動(dòng)力學(xué)方程兩端同時(shí)加入附加剛度項(xiàng),既消除了剛度矩陣的奇異性,又不影響方程的等式關(guān)系,進(jìn)一步提高了這一算法的適用范圍.為提高計(jì)算效率和計(jì)算精度,利用精細(xì)時(shí)程積分法對(duì)式(12)所示的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解,積分步長0.5ms,積分時(shí)間34s.行星齒輪的基本參數(shù)為:模數(shù)均為1,齒數(shù)分別為zs=zp=21、zr=63,齒寬均為5mm,密度均為7.85×103kg/m3,分度圓壓力角均為20°.

4.1 輸入轉(zhuǎn)速的影響分析

不考慮負(fù)載和嚙合誤差的影響,假定行星齒輪的齒側(cè)間隙為100μm,改變行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)速分別為500rpm、1500rpm和2500rpm.則不同的輸入轉(zhuǎn)速下,行星齒輪的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差曲線如圖4所示.從圖中可以看出,低速下,行星齒輪的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的振動(dòng)幅值較小,隨著轉(zhuǎn)速的增加,幅值明顯增大,且其均值偏差也明顯增大.這主要是由于齒側(cè)間隙的存在,高轉(zhuǎn)速下輪齒之間的沖擊載荷更大所致.通過對(duì)時(shí)域曲線的頻譜分析可知,行星齒輪動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的主要頻率為行星齒輪的嚙合頻率,其與轉(zhuǎn)速成線性關(guān)系,如圖5所示.

圖4 不同輸入轉(zhuǎn)速下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差時(shí)程曲線Fig.4 Dynamic transmission error time history curve under different input speed

圖5 不同輸入轉(zhuǎn)速下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差頻譜特性Fig.5 The spectrum of dynamic transmission errors under different input speeds

4.2 齒側(cè)間隙的影響分析

在其它基本參數(shù)不變的情況下,改變行星齒輪的齒側(cè)間隙分別為0、10μm和100μm.存在間隙時(shí),動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差曲線表現(xiàn)為近似的簡諧振動(dòng),其振動(dòng)頻率為行星齒輪的嚙合頻率,如圖6和圖7所示.隨著齒側(cè)間隙增大,動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的振動(dòng)幅值顯著增大,且大間隙下,傳動(dòng)誤差主要呈現(xiàn)為負(fù)值,如圖6所示.在無間隙的條件下,系統(tǒng)的振動(dòng)幅值雖小,但頻率特性中的高階分量明顯,主要呈現(xiàn)出前三倍嚙合頻率的非簡諧周期振動(dòng),如圖7所示.

圖6 不同齒側(cè)間隙下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差時(shí)程曲線Fig.6 Dynamic transmission error time history cure under different tooth side clearance

圖7 不同齒側(cè)間隙下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差頻譜特性Fig.7 The spectrum of transmission errors under different tooth side clearance

4.3 嚙合誤差的影響分析

在其它基本參數(shù)不變的情況下,改變行星齒輪的輪齒嚙合誤差分別為10μm、20μm和50μm.則在不同嚙合誤差下,行星齒輪的動(dòng)態(tài)特性及分析如圖8和圖9所示.改變行星齒輪的嚙合誤差不會(huì)影響動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的振動(dòng)形式,即仍保持近似的簡諧振動(dòng).但增大嚙合誤差的幅值會(huì)大幅增加動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的幅值.可見,提高齒輪的精度有助于改善行星齒輪整體的動(dòng)態(tài)特性.

圖8 不同嚙合誤差下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差時(shí)程曲線Fig.8 Dynamic transmission error time history curve under different mesh errors

圖9 不同嚙合誤差下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差頻譜特性Fig.9 The spectrum of dynamic transmission error under different mesh errors

4.4 力矩負(fù)載的影響分析

在其它基本參數(shù)不變的情況下,改變行星齒輪的力矩負(fù)載分別為0、25N·m和50N·m.隨著力矩負(fù)載的增大,動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差幅值減小,且增大到一定程度時(shí),完全為負(fù)值誤差,如圖10和圖11所示,從受力分析角度很容易理解這種現(xiàn)象.但隨著負(fù)載的增大,振動(dòng)分量中的高頻成分逐步呈現(xiàn),且在大負(fù)載下,振動(dòng)頻率中的高頻成分明顯增多,振動(dòng)曲線也呈現(xiàn)出行星齒輪嚙合頻率及其倍頻的非簡諧的周期振動(dòng).對(duì)比零間隙下行星齒輪的頻譜特性,如圖7,可以發(fā)現(xiàn)二者是相似的.可見,力矩負(fù)載的增大使輪齒的彈性變形增大,大載荷下,輪齒的間隙甚至被“吃掉”,因此,表現(xiàn)出零間隙下的動(dòng)力學(xué)特征.

圖10 不同力矩負(fù)載下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差時(shí)程曲線Fig.10 Dynamic transmission error time history curve under different torque load

圖11 不同力矩負(fù)載下動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差頻譜特性Fig.11 The spectrum of dynamic transmission error under different torque load

5 小結(jié)

綜合考慮了時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和嚙合誤差等非線性因素,利用集中參數(shù)模型建立了直齒行星齒輪的動(dòng)力學(xué)模型.提出了將時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合誤差表示為行星輪轉(zhuǎn)角的函數(shù),實(shí)現(xiàn)了時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合誤差在轉(zhuǎn)速變化的情況下仍能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開,從而有效解決變轉(zhuǎn)速下動(dòng)力學(xué)模型的描述和求解問題.并通過數(shù)值求解,得到了轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙、嚙合誤差以及負(fù)載等重要參數(shù)對(duì)行星齒輪動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1Florian K, Cody H, Taj M, et al. 2011 Oregon state mars rover design report. Oregon State University Robotics Club, Oregon State University, Corvallis, Oregon, USA

2于登云,潘博,孫京. 空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模與分析的研究進(jìn)展. 航天器工程, 2010,19(2):1～10 (Yu D Y, Pan B, Sun J. A literature review on dynamic modeling and analysis of the joints in space manipulator.SpaceEngineering, 2010,19(2):1～10 (in Chinese))

3王世宇. 基于相位調(diào)諧的直齒行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)理論與試驗(yàn)研究[博士學(xué)位論文]. 天津:天津大學(xué), 2005(Wang S Y. Theoretical and experimental investigation on dynamics of spur planetary gear transmissions based on planet phasing theory[Ph.D Thesis]. Tianjin:Tianjin University, 2005 (in Chinese))

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