時(shí)滯加速度反饋控制下懸索的主共振分析

李祿欣，彭 劍，2，向明姣，謝獻(xiàn)忠

（1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201）

懸索結(jié)構(gòu)是大跨度空間結(jié)構(gòu)的一種重要形式，在建筑、橋梁、電力電訊等工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但是，隨著懸索跨度的增大，在外部荷載下懸索的振動(dòng)愈加顯著，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞破壞，給人們的生產(chǎn)生活帶來(lái)極大的危害。因此懸索的振動(dòng)控制逐漸成為了工程實(shí)際亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)懸索結(jié)構(gòu)的線性/非線性動(dòng)力學(xué)行為和振動(dòng)控制策略進(jìn)行了研究[1–3]。謝獻(xiàn)忠等[4]考慮了鄰檔輸電線通過(guò)懸垂絕緣子串產(chǎn)生的相互影響，建立了輸電線路非線性耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)算例進(jìn)行了分析。楊立軍等[5]分析了溫度變化、振幅、外激勵(lì)等因素對(duì)橢圓型雙曲拋物面索網(wǎng)非線性振動(dòng)的影響。趙珧冰等[6]對(duì)比分析了懸索主共振響應(yīng)的多尺度解與同倫分析解。Iyengar等[7]分析了受橫向加載懸索的自由振動(dòng)和參數(shù)不穩(wěn)定性。Fujino等[8]從主動(dòng)剛度控制對(duì)索進(jìn)行了研究，同時(shí)，通過(guò)邊界控制來(lái)抑制懸索振動(dòng)的方法被提出[9–10]。此外，被動(dòng)阻尼器是振動(dòng)控制常用的設(shè)備，其作用位置一般靠近懸索支座（尤其對(duì)于較長(zhǎng)的懸索），盡可能限制可實(shí)現(xiàn)的最大模態(tài)阻尼[11]。Pasca等和Gattull等[12–13]利用可移動(dòng)支座對(duì)懸索面內(nèi)/面外的非線性振動(dòng)進(jìn)行縱向反饋控制。

近年來(lái)，時(shí)滯問(wèn)題受到許多學(xué)者[14–15]的廣泛關(guān)注與研究，時(shí)滯反饋控制也有了一定的發(fā)展。趙艷影和徐鑒[16]研究了時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器的減振機(jī)理。齊歡歡等[17]對(duì)超音速飛行器機(jī)翼顫振進(jìn)行了時(shí)滯反饋控制研究。劉曉平等[18]研究了主動(dòng)引入時(shí)滯的結(jié)構(gòu)振動(dòng)輸出反饋控制方法，并取得較好的振動(dòng)控制效果。呂書(shū)清[19]對(duì)時(shí)滯反饋系統(tǒng)的主動(dòng)控制方法進(jìn)行了研究，并得出系統(tǒng)最大允許時(shí)滯量的解析確定方法。劉燦昌等[20]研究了參數(shù)激勵(lì)下非線性振動(dòng)時(shí)滯反饋?zhàn)顑?yōu)化控制參數(shù)的確定。孫藝瑕和徐鑒[21]對(duì)時(shí)滯動(dòng)力吸振器的控制參數(shù)對(duì)其減振效果的影響進(jìn)行了分析。孫洪鑫等[22]通過(guò)仿真分析得到了基于磁致伸縮作動(dòng)器的拉索的振動(dòng)控制時(shí)滯補(bǔ)償效果。陳茂生等[23]研究了考慮時(shí)滯的結(jié)構(gòu)主動(dòng)質(zhì)量阻尼(AMD)控制系統(tǒng)的主動(dòng)最優(yōu)化控制方法。彭劍等[24]研究了斜拉索控制系統(tǒng)中的時(shí)滯效應(yīng)及其參數(shù)穩(wěn)定性。

時(shí)滯反饋控制為兩參數(shù)控制問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整反饋控制增益和時(shí)滯參數(shù)可以達(dá)到最優(yōu)控制，本文基于時(shí)滯吸振技術(shù)，采用軸向時(shí)滯加速度反饋控制策略對(duì)懸索的非線性主共振響應(yīng)進(jìn)行了分析。

1 數(shù)學(xué)模型及控制方程

如圖1所示的水平懸索，利用Hamilton變分原理，引入擬靜態(tài)假設(shè)，忽略其彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度以及剪切剛度的影響，可以得到懸索的面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)方程為[6,13]

式中：m為懸索的線重，c是懸索的阻尼系數(shù)，E為彈性模量，A為橫截面積，H為水平張力(H=mgL2/8b,H≤EA)，L為懸索的跨徑，b為垂度，g為重力加速度，uc(t)為施加于右端移動(dòng)支承的縱向位移，外激勵(lì)F(x,t)假定為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，其表達(dá)式為F(x,t)=P(x)cos(Ωt)，Ω為外激勵(lì)的頻率，P(x)為外激勵(lì)的分布函數(shù)。

本文假設(shè)懸索垂跨比較小(b/L＜1/8)，因此其線形可用拋物線描述為y(x)=4b[x/L-(x/L)2]。采用軸向線性時(shí)滯反饋策略進(jìn)行振動(dòng)控制，即

圖1 受控懸索系統(tǒng)的構(gòu)形與特性

其中：gl為控制系統(tǒng)的控制系數(shù)，τ為控制系統(tǒng)的時(shí)滯值。引入無(wú)量綱參數(shù)為

無(wú)量綱化之后的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

此外，方程(4)及下文中的星號(hào)均去掉。

運(yùn)用Galerkin方法對(duì)方程(4)進(jìn)行離散，設(shè)無(wú)量綱化之后的位移函數(shù)v(x,t)可表示為

方程中：qn(t)為廣義坐標(biāo)函數(shù)，?n(x)為懸索的第n階模態(tài)函數(shù).將方程(5)代入方程(4)可得

式中：

其它參數(shù)及模態(tài)函數(shù)?n(x)見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

2 主共振響應(yīng)

根據(jù)多尺度法[25]，引入小量ε（ε＜＜1），調(diào)整方程(6)各項(xiàng)的系數(shù) ，即：μn≈ε2μn,Λnnnn≈ε2Λnnnn,Γnnn≈εΓnnn,gl≈ε2gl,fn≈ε2fn·Ω≈ωn+ε2σ,其中：σ為調(diào)諧參數(shù)。設(shè)方程(6)的解為

其中：Tn=εmt(m=0,1,2)。將方程(7)代入方程(6)，并令兩端ε0，ε1和ε2的系數(shù)相等，得到

通過(guò)求解方程(8)到方程(10)，并消去久期項(xiàng)，可得

將An表示成極坐標(biāo)

其中：a(T2)和β(T2)皆為實(shí)函數(shù)，將方程(12)代入方程(11)，并分離實(shí)虛部，得

其中：

則幅頻響應(yīng)方程為

由方程(15)可知，可得主共振響應(yīng)幅值的峰值為

3 數(shù)值分析與討論

本節(jié)對(duì)受控懸索第1階正對(duì)稱(chēng)模態(tài)的主共振響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析,基本參數(shù)如下[26]：橫截面面積A=0.1257 mm2，跨 徑L=600.5 mm，線 重m=4.8655×10-5kg/m，彈性模量E=1340.83 MPa，阻尼系數(shù)μ1=0.005。

圖2給出的是當(dāng)時(shí)滯值τ=0.3π，外激勵(lì)幅值f1=0.003，不同控制增益gl值時(shí)，懸索第1階正對(duì)稱(chēng)模態(tài)(n=1)主共振響應(yīng)的幅頻曲線。

從圖中可以看出，在無(wú)控狀態(tài)(gl=0)下，幅值較大，當(dāng)gl≠0時(shí)，即采取時(shí)滯反饋控制后，隨著控制增益gl值增大，懸索的第1階正對(duì)稱(chēng)模態(tài)的響應(yīng)幅值迅速下降，控制效果較明顯，注意到，gl=0.005時(shí)的響應(yīng)幅值比gl=0.002時(shí)降低了近50%，同時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線也從多值變成單值，跳躍現(xiàn)象消失，共振區(qū)有明顯偏移。

圖2 不同控制增益時(shí)受控懸索第1階模態(tài)主共振幅頻響應(yīng)曲線

給定f1=0.003，由圖3可以看到，當(dāng)控制增益gl=0.001，不同時(shí)滯值時(shí)受控懸索第1階正對(duì)稱(chēng)模態(tài)主共振響應(yīng)的幅頻曲線。圖中顯示，隨著時(shí)滯，從0.1增大到0.4，響應(yīng)幅值明顯減小，而這一點(diǎn)由圖4給出的峰值ap響應(yīng)曲線可以更加直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，即 響 應(yīng) 幅 值 隨 時(shí) 滯τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1))，k=01…,增 大 而 減 小 ， 而 隨 時(shí) 滯τ∈(kπ/ω1+π/(2ω1),kπ/ω1+π/ω1),k=0,1,增大而增大,呈周期性變化，且幅值的變化率明顯高于時(shí)滯值變化率。同時(shí)，隨著時(shí)滯值增大，幅頻響應(yīng)曲線彎曲程度增強(qiáng)，共振區(qū)域有些許偏移。

圖3不同時(shí)滯值時(shí)受控懸索第1階模態(tài)主共振幅頻響應(yīng)曲線

圖5 給出了當(dāng)gl=0.001時(shí)，不同時(shí)滯和調(diào)諧參數(shù)情況下受控懸索第1階正對(duì)稱(chēng)模態(tài)的激勵(lì)幅值與響應(yīng)幅值的關(guān)系曲線。注意到，隨著調(diào)諧參數(shù)σ從-0.05增大到0.15，曲線也從單值變化為多值；隨著時(shí)滯值τ的減小，曲線彎曲程度增強(qiáng)。

圖6可以看出，索力在不同時(shí)滯下均呈現(xiàn)出周期性變化，且在τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1)),k=0,1…時(shí),隨著時(shí)滯的增大，索力的變化幅值有小幅度減小。因此，可以通過(guò)調(diào)整時(shí)滯值的大小來(lái)減少索力的幅值。

圖4 不同時(shí)滯值時(shí)受控懸索第1階模態(tài)主共振響應(yīng)峰值曲線

圖5 時(shí)滯作用下主共振響應(yīng)幅頻-激勵(lì)幅值曲線

圖6 時(shí)滯作用下拉索的張力變化

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了懸索的面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)方程，采用軸向時(shí)滯反饋控制策略，對(duì)懸索結(jié)構(gòu)的主共振響應(yīng)進(jìn)行研究，通過(guò)算例分析，可得如下結(jié)論：

(1)主共振幅頻響應(yīng)幅值隨時(shí)滯變化呈現(xiàn)周期性，

(2)控制增益對(duì)振幅影響較大，隨著控制增益的增大，懸索的響應(yīng)幅值迅速下降。選取合適控制增益和時(shí)滯值，可以避免共振區(qū)，有效抑制大幅振動(dòng)。

(3)可以通過(guò)調(diào)整時(shí)滯值的大小來(lái)減少索力的幅值。

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