動(dòng)力學(xué)有限元模型的復(fù)模態(tài)評(píng)估

余好文，王 軻

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

目前常用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型評(píng)估方法主要適用于實(shí)模態(tài)情況下的模型評(píng)估，一般是從頻率和振型兩方面來(lái)評(píng)估所建立有限元模型的模態(tài)準(zhǔn)確性，具體的方法是從試驗(yàn)所測(cè)得復(fù)模態(tài)中提取實(shí)模態(tài)的相關(guān)信息，然后與所建立的有限元模型計(jì)算結(jié)果比較。對(duì)于一個(gè)模型，即使經(jīng)典評(píng)估方法的結(jié)果良好，用于響應(yīng)計(jì)算可能仍具有較大誤差。其產(chǎn)生誤差的原因主要在于兩方面，首先，經(jīng)典方法評(píng)估結(jié)果多，難以整體把握模型；其次，振型MAC[1]評(píng)估并不能全方面反映各階模態(tài)相位差的準(zhǔn)確性，此外實(shí)際結(jié)構(gòu)都是含有阻尼的，較大的阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響是不可忽略的。

對(duì)于含有阻尼的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，各自由度將在不同時(shí)刻到達(dá)平衡位置或最大值，復(fù)振型完備描述了各個(gè)自由度作純模態(tài)振動(dòng)時(shí)幅值間的比例關(guān)系和相對(duì)相位值，基于復(fù)模態(tài)理論[2]，本文提出了一種復(fù)模態(tài)下的頻率和振型評(píng)估方法，該方法從復(fù)頻率、振型幅值及振型相位值三個(gè)方面進(jìn)行試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的相關(guān)性評(píng)估。

首先，通過(guò)試驗(yàn)復(fù)頻率和仿真復(fù)頻率的相對(duì)誤差求出復(fù)頻率相關(guān)性系數(shù)，試驗(yàn)和仿真的復(fù)振型幅值相關(guān)性系數(shù)可通過(guò)模態(tài)置信度準(zhǔn)則求出，而復(fù)振型相位值相關(guān)性系數(shù)可通過(guò)定義的矩陣范數(shù)求出。然后依據(jù)各類評(píng)估結(jié)果提出了一種綜合評(píng)判方法[3]，該方法將復(fù)頻率、振型幅值及振型相位值看做3個(gè)影響因素，首先通過(guò)各階模態(tài)取不同權(quán)重形成每一個(gè)影響因素的評(píng)估結(jié)果，然后通過(guò)3個(gè)影響因素取不同權(quán)重形成最終的一個(gè)評(píng)估參數(shù)。本文最后通過(guò)一個(gè)算例，證明了復(fù)模態(tài)評(píng)估相對(duì)于經(jīng)典方法在評(píng)價(jià)模型方面具有更好的可靠性，該方法以評(píng)估模型響應(yīng)計(jì)算能力為目標(biāo)，評(píng)估結(jié)果更能反映該模型優(yōu)劣。

1 經(jīng)典有限元模型評(píng)估

經(jīng)典有限元模型評(píng)估方法通過(guò)計(jì)算頻率相對(duì)誤差和振型MAC矩陣來(lái)評(píng)估模型準(zhǔn)確程度，兩種方法定義如下：

同1階模態(tài)的試驗(yàn)頻率和仿真頻率做比較，即為相對(duì)誤差，可表示為

其中ωA表示有限元仿真的頻率，ωT表示試驗(yàn)所測(cè)得的頻率，ε的值在0～1之間，值越小表示兩個(gè)頻率越接近，該方法是非常常用的一種評(píng)估手段。

模態(tài)置信度準(zhǔn)則（Modal Assurance Criteria，MAC），該方法定義為

MAC矩陣中的每一個(gè)元素表示兩個(gè)振型間的夾角余弦，MAC矩陣中非對(duì)角元素越小，各階固有模態(tài)振型區(qū)別越明顯，MAC矩陣中對(duì)角線元素越接近于1，表示試驗(yàn)和仿真分析模態(tài)相關(guān)性越高，在有限元模型中常常采用該方法評(píng)估振型的相關(guān)性。

上述兩種評(píng)估方法存在一些不足，首先，頻率評(píng)估結(jié)果為一個(gè)m×1的列向量，振型MAC評(píng)估結(jié)果為一個(gè)m×m的矩陣（m為模態(tài)階數(shù)），此時(shí)評(píng)估參數(shù)多，并且不同模態(tài)相關(guān)性有好有壞，難以把握整個(gè)模型優(yōu)劣；其次，MAC評(píng)估也只從振型幅值上評(píng)估，無(wú)法反映振型相位差異；對(duì)于一般模態(tài)試驗(yàn)測(cè)得的復(fù)模態(tài)，在實(shí)模態(tài)化過(guò)程中會(huì)形成二次誤差。

2 復(fù)模態(tài)相關(guān)評(píng)估

一般黏性阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為

得到二次特征值問(wèn)題

它具有非零解的充分必要條件是

該方程可解出2N個(gè)特征值λr以及2N個(gè)N維特征向量φr，由于上式是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程，故復(fù)特征值和復(fù)特征向量必共軛成對(duì)出現(xiàn)，分別稱為第r階復(fù)頻率和復(fù)振型。

復(fù)模態(tài)評(píng)估方法分為3個(gè)方面，復(fù)頻率相關(guān)性分析、復(fù)振型幅值相關(guān)性分析及復(fù)振型相位值誤差分析，前兩者在取?；?qū)崝?shù)化后有較為成熟的評(píng)估方法，但相位相關(guān)性迄今沒(méi)有合適的描述方法。

設(shè)有限元仿真復(fù)頻率為λA，試驗(yàn)復(fù)頻率為λT，則復(fù)頻率相對(duì)誤差定義為式（6）

復(fù)頻率相關(guān)性則可定義為式（7）

該方法為常用的頻率相關(guān)性分析方法，只有λA和λT的實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)接近相等時(shí)，相對(duì)誤差δf才趨于零，復(fù)頻率相關(guān)性Rf趨于1，該方法為各階復(fù)頻率單獨(dú)評(píng)估，最終評(píng)估結(jié)果為m×1的列向量，m為評(píng)估模態(tài)階數(shù)。

復(fù)振型的相關(guān)性若采用模態(tài)置信因子的共軛取模算法，其MAC矩陣為復(fù)振型的綜合反映，無(wú)法單獨(dú)體現(xiàn)幅值與相位值的誤差情況，且模態(tài)置信因子對(duì)試驗(yàn)與仿真各自由度上相位值差異的靈敏度較低，但復(fù)振型相位值的誤差對(duì)響應(yīng)計(jì)算有較大影響。因此，為較全面反映復(fù)振型的誤差情況，本研究將從幅值和相位值兩方面來(lái)進(jìn)行相關(guān)性分析，且該評(píng)估方法有明確的物理意義。

試驗(yàn)測(cè)得復(fù)振型和有限元仿真復(fù)振型分別為ΦT和ΦA(chǔ)，則其各點(diǎn)的相位值分別為

振型幅值為，其中相位大于零則取正，反之取負(fù)

復(fù)振型幅值相關(guān)性分析可通過(guò)求模態(tài)置信度準(zhǔn)則MAC。

其中：φAi、φTj分別為上述所求得仿真第i階、試驗(yàn)第j階的復(fù)振型幅值。MAC值反映復(fù)復(fù)振型幅值的相關(guān)性大小，該方法最終評(píng)估結(jié)果為m×m矩陣，m為評(píng)估模態(tài)階數(shù)，在進(jìn)行綜合評(píng)估時(shí)，取矩陣對(duì)角線元素作為相關(guān)性系數(shù)。

相位值誤差分析可分為3部分，各自由度上的相位值誤差分析、各階模態(tài)誤差分析及總體相位值誤差分析。

各個(gè)自由度上的相位值相對(duì)誤差Δθij可定義為

通過(guò)各個(gè)自由度相對(duì)誤差矩陣Δθ，可判斷該模型的相位值誤差在各個(gè)自由度上的分布情況。

各階模態(tài)相位值誤差及總體相位值誤差可通過(guò)求解相關(guān)矩陣范數(shù)來(lái)分析，首先定義一個(gè)矩陣范數(shù)‖.‖

則各階模態(tài)相位值相對(duì)誤差定義為

各階模態(tài)相位值相關(guān)性定義為

其中：θTi與θAi分比為試驗(yàn)和仿真第i階復(fù)振型相位值，Rθ可評(píng)估每1階模態(tài)相位值的相關(guān)性大小，相位值相關(guān)性評(píng)估結(jié)果為m×1矩陣，m為評(píng)估模態(tài)階數(shù)。

總體相對(duì)誤差ΔF定義為式（17）

總體相對(duì)誤差可定量評(píng)價(jià)總體振型相位值的誤差大小，總體相對(duì)誤差值越小，模型越好，該值可為比較不同模型之間的優(yōu)劣提供數(shù)據(jù)支持。

復(fù)模態(tài)評(píng)估主要從3個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)該模型的好壞，數(shù)據(jù)量眾多，難以從整體上判斷模型的好壞，或者說(shuō)缺少一個(gè)具有特征指示意義的標(biāo)量，現(xiàn)利用模糊理論[4]和層次分析法，以評(píng)估響應(yīng)計(jì)算精度為目標(biāo)，提出一種能綜合衡量該模型的參數(shù)。

根據(jù)復(fù)頻率、復(fù)振型幅值、復(fù)振型相位值3個(gè)影響因素可分為兩個(gè)階段的評(píng)估，第1階段為復(fù)頻率、復(fù)振型幅值、復(fù)振型相位值3個(gè)方面的單獨(dú)評(píng)估，第2階段為3個(gè)影響因素的綜合評(píng)估，每1階段評(píng)估的權(quán)重系數(shù)由層次分析法得到。

在第1階段評(píng)估中，復(fù)頻率、復(fù)振型幅值及復(fù)振型相位值相關(guān)性分析都是對(duì)m階模態(tài)進(jìn)行的，因此3個(gè)影響因素都包含m階模態(tài)的影響，各個(gè)模態(tài)的權(quán)重系數(shù)可根據(jù)各階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的影響來(lái)判定，對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大的模態(tài)其權(quán)重系數(shù)高。

各階模態(tài)權(quán)重系數(shù)選取可根據(jù)頻響函數(shù)固有頻率處幅值來(lái)確定，由研究人員選取結(jié)構(gòu)上比較重要或具有代表性的點(diǎn)，設(shè)結(jié)構(gòu)上該點(diǎn)的頻響函數(shù)固有頻率處的幅值分別為a1、a2、…、am，其中m為模態(tài)階數(shù)，設(shè)

則各階模態(tài)所構(gòu)成的權(quán)重系數(shù)向量為

此為第1階段的權(quán)重系數(shù)，3類影響因素選取相同的權(quán)重系數(shù)集AI；在第2階段評(píng)估中，認(rèn)為復(fù)振型幅值及相位值的影響略大于復(fù)頻率的影響，則根據(jù)層次分析法求得3個(gè)影響因素的權(quán)重如表1所示。

表13類影響因素權(quán)重

則有第2階段權(quán)重系數(shù)

根據(jù)模糊評(píng)估理論，將評(píng)判結(jié)果設(shè)為5個(gè)等級(jí)：

{很好，好，一般，較差，很差}

模糊綜合評(píng)判的目的就是在綜合考慮上述3個(gè)影響因素的基礎(chǔ)上，從評(píng)判結(jié)果選擇最合適的結(jié)果。

為進(jìn)行綜合評(píng)估首先確定隸屬度函數(shù)，隸屬度函數(shù)是各個(gè)影響因素從屬于上述5個(gè)評(píng)判結(jié)果的程度，本研究選擇梯形隸屬度函數(shù)r()x，如下式

將式（21）用圖1表示為

圖15種評(píng)價(jià)結(jié)果隸屬區(qū)間圖

根據(jù)梯形隸屬函數(shù)，可分別確定復(fù)頻率模糊關(guān)系矩陣R1、復(fù)振型幅值模糊關(guān)系矩陣R2及復(fù)振型相位值模糊關(guān)系矩陣R3，即

在上式中：k=1,2,3，m為評(píng)估模態(tài)階數(shù)。

在復(fù)頻率模糊關(guān)系矩陣R1中某元素r1ij表示第i階頻率相關(guān)性系數(shù)在第j種評(píng)價(jià)結(jié)果的隸屬度，復(fù)振型幅值模糊關(guān)系矩陣R2中某元素r2ij表示復(fù)振型幅值評(píng)估MAC矩陣中第i個(gè)對(duì)角線元素在第j種評(píng)價(jià)結(jié)果的隸屬度，復(fù)振型相位值模糊關(guān)系矩陣R3中某元素r3ij表示第i階復(fù)振型相位值相關(guān)性系數(shù)在第j種評(píng)價(jià)結(jié)果的隸屬度。

則第1階段的評(píng)估結(jié)果為

第2階段評(píng)估結(jié)果為

第2階段的評(píng)估結(jié)果BII為該模型綜合評(píng)估結(jié)果在各個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)的隸屬度，將5個(gè)評(píng)判等級(jí)量化，取量化參數(shù)C，即

最終評(píng)估結(jié)果為

P值為0～1范圍內(nèi)的某一值，P值越接近1，模型越好，在整個(gè)評(píng)估過(guò)程中，各階模態(tài)權(quán)重系數(shù)選擇與對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)有關(guān)，并且復(fù)振型幅值和相位值權(quán)重系數(shù)較高，故該綜合評(píng)估數(shù)值主要是反映模型響應(yīng)求解精度的總體情況。

3 算例

某板結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 黏彈性阻尼板

共有24個(gè)測(cè)量點(diǎn)，該結(jié)構(gòu)底部粘貼有阻尼層，其運(yùn)動(dòng)特性受阻尼影響較大，試驗(yàn)測(cè)得其前4階復(fù)模態(tài)，通過(guò)有限元建模仿真分析其前4階復(fù)模態(tài)。

3.1 經(jīng)典方法評(píng)估

首先通過(guò)經(jīng)典評(píng)估方法評(píng)估該模型，在試驗(yàn)結(jié)果中提取實(shí)模態(tài)相關(guān)信息，評(píng)估結(jié)果如表2。

通過(guò)經(jīng)典方法評(píng)估結(jié)果可以看出，該模型的每1階頻率和幅值相關(guān)性都很高，則根據(jù)該方法可認(rèn)為該模型具有較高精度。

3.2 復(fù)模態(tài)評(píng)估

根據(jù)測(cè)得的試驗(yàn)結(jié)果，選擇合適的阻尼模型，仿真時(shí)選用3參數(shù)阻尼模型[5]，復(fù)模態(tài)評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表4和表5。

表2 頻率相關(guān)性

表3 振型相關(guān)性

表4 復(fù)頻率相關(guān)性

表5 復(fù)振型相關(guān)性

從復(fù)振型相位值評(píng)估結(jié)果來(lái)看來(lái)看，各階模態(tài)相位值相關(guān)性不理想，誤差的分布可通過(guò)計(jì)算各個(gè)自由度相位值誤差得出。

在進(jìn)行綜合評(píng)估時(shí)，對(duì)該結(jié)構(gòu)模型來(lái)說(shuō)，低階模態(tài)的影響應(yīng)大于高階模態(tài)，因此設(shè)定各階模態(tài)的權(quán)重系數(shù)及3類影響因子的權(quán)重系數(shù)分別為

復(fù)頻率影響因素隸屬函數(shù)取值區(qū)間

復(fù)振型幅值影響因素隸屬函數(shù)取值區(qū)間

復(fù)振型相位值影響因素隸屬函數(shù)取值區(qū)間

根據(jù)上述所求得3類因子的相關(guān)性系數(shù)，求得模糊關(guān)系矩陣R1、R2、R3

則第1階段評(píng)估結(jié)果為

第2階段評(píng)估結(jié)果為

最終結(jié)果為

該模型綜合評(píng)估結(jié)果為0.6318，處于一般水平，模型不是十分理想，其響應(yīng)計(jì)算精度可能仍具有較大的誤差，這與經(jīng)典方法的評(píng)估結(jié)果不同，現(xiàn)通過(guò)響應(yīng)計(jì)算分析其誤差大小。

3.3 響應(yīng)計(jì)算分析

經(jīng)典評(píng)估方法認(rèn)為該模型精度較高，從復(fù)模態(tài)綜合評(píng)估方法可以看出，該模型響應(yīng)計(jì)算方面并不具有較高的準(zhǔn)確性，為驗(yàn)證兩種方法的可靠性，現(xiàn)通過(guò)仿真與試驗(yàn)的響應(yīng)結(jié)果來(lái)分析，激勵(lì)點(diǎn)為10號(hào)點(diǎn)，對(duì)比24號(hào)點(diǎn)的響應(yīng)，響應(yīng)曲線見(jiàn)圖3。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，該模型響應(yīng)計(jì)算誤差較大，第1階幅值誤差甚至達(dá)到74.2%，復(fù)模態(tài)的評(píng)估結(jié)果能更準(zhǔn)確反映該模型計(jì)算準(zhǔn)確度，現(xiàn)通過(guò)相關(guān)模型修正[6–8]技術(shù)進(jìn)行修正，修正后該模型復(fù)模態(tài)相關(guān)性如下表6。

修正后該模型綜合評(píng)估結(jié)果為0.7064，響應(yīng)曲線結(jié)果如圖4，修正后該模型響應(yīng)誤差減小，第1階幅值誤差為20%，并且仿真與試驗(yàn)響應(yīng)曲線更相近。

圖3 修正前響應(yīng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4 修正后模型響應(yīng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表6 修正后模型復(fù)模態(tài)相關(guān)性

綜上所述，經(jīng)典評(píng)估方法對(duì)于含阻尼結(jié)構(gòu)模型的響應(yīng)評(píng)估會(huì)產(chǎn)生較大誤差，而復(fù)模態(tài)下的評(píng)估方法則能一定程度預(yù)估該模型響應(yīng)計(jì)算的準(zhǔn)確程度，可為最優(yōu)模型的選擇提供數(shù)據(jù)支持。

4 結(jié)語(yǔ)

進(jìn)行模型評(píng)估的主要目的是選取能夠反應(yīng)結(jié)構(gòu)動(dòng)特性的最優(yōu)模型，一般評(píng)估方法并未考慮阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，其選取出來(lái)的模型在進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算時(shí)仍然具有較大誤差。本文方法在復(fù)模態(tài)域內(nèi)進(jìn)行模型評(píng)估，通過(guò)復(fù)頻率、復(fù)振型幅值及相位值三方的評(píng)估，可以很好反映阻尼所引起的模態(tài)相位值差異，并通過(guò)建立評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)和權(quán)重集，將3個(gè)單方面的評(píng)估結(jié)果綜合為一個(gè)整體的評(píng)估值，避免了多個(gè)參數(shù)評(píng)估的弊端。

本文算例表明該方法相比于傳統(tǒng)方法，可較好地預(yù)估模型的響應(yīng)準(zhǔn)確度，為多個(gè)模型的篩選提供數(shù)據(jù)參考，該方法可廣泛應(yīng)用于含阻尼模型的評(píng)估及修正工作。

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